第三章 §3 3．3 指数函数的图像和性质
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一、选择题
1．函数?(x)＝在[－1，0]上的最大值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：∵?(x)＝在[－1，0]上是减函数，∴最大值为?(－1)＝＝3.
答案：D
2．为了得到函数y＝3×的图像，可以把函数y＝的图像( )
A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
解析：y＝3×＝，
把y＝右移1个单位即可．
答案：D
3．函数y＝的单调增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
解析：y＝＝·＝·2x，∴函数在(－∞，＋∞)上单调递增．
答案：A
4．函数f(x)＝ax－b的图像如图，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．0
0 D．0解析：由图像知f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以00，即b<0.故选D．
答案：D
5．函数?(x)＝a－|x|(a>0，a≠1)，若?(2)＝4，则( )
A．?(－1)>?(－2) B．?(1)>?(2)
C．?(2)?(－2)
解析：由?(2)＝4，得a－2＝4，又a>0，∴a＝，∴?(x)＝＝2|x|.易知?(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴?(3)>?(2)，∴?(－3)>?(－2)．
答案：D
6．已知函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．
C． D．(0，2)
解析：由题意解得≤a<2.
答案：C
二、填空题
7．满足>16的x的取值集合是________．
解析：>16?>?x－3<－2?x<1.
答案：(－∞，1)
8．已知2x≤，则函数y＝的值域为________．
解析：由2x≤，得2x≤2－2(x－3)，∴x≤－2(x－3)，∴x≤2.又y＝为减函数，∴当x≤2时，y＝≥＝.
答案：
9．设0≤x≤2，则函数y＝4－3×2x＋5的值域为________．
解析：f(x)＝4－3×2x＋5＝(2x)2－3×2x＋5，令2x＝t，则1≤t≤4，则y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，∵1≤t≤4，∴≤(t－3)2＋≤，即函数的值域为.
答案：
三、解答题
10．已知函数y＝?(x)的图像与g(x)＝2x的图像关于y轴对称，且?(2x－1)>f(3x)，求x的取值范围．
解：由题意得?(x)＝2－x＝.∵?(2x－1)>f(3x)，∴>，
∴2x－1<3x，∴x>－1.
11．已知函数f(x)＝
(1)作出f(x)的图像；
(2)若f(m)＝1，求实数m的值．
解：(1)作出函数?(x)＝的图像如图所示．
(2)若f(m)＝1，则或
解得m＝1或m＝3＋.
12．已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的值域；
(3)证明f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
解：(1)∵2x>0，
∴2x＋1≠0.f(x)的定义域为R.
又f(－x)＝＝＝＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)＝＝＝1－.
∵2x>0，
∴2x＋1>1，0<<1，－2<－<0.
∴－1<1－<1，即f(x)的值域是(－1，1)．
(3)证明：由(2)知f(x)＝1－.
设x1∵x1又∵2x2＋1>0，2x1＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
13．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)若对任意的实数t，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝＝0，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＝－＋是减函数，
又∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立等价于
f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)恒成立，
∵f(x)是减函数，∴t2－2t>－2t2＋k即3t2－2t>k恒成立．
而函数y＝3t2－2t的最小值是－，
∴k∈.
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