第三章 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
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一、选择题
1．如图是变量所对应的散点图，采用哪一种拟合函数较好( )
A．一次函数模型 B．指数函数模型
C．对数函数模型 D．幂函数模型
解析：由散点图知，随着x的增大，y的值呈“爆炸式”增长，因此适用于指数函数模型拟合较好．
答案：B
2．浔阳中心城区现有绿化面积为1 000 hm2，计划每年增长4%，经过x(x∈N＋)年，绿化面积为y hm2，则x，y间的函数关系式为( )
A．y＝1 000x4%
B．y＝1 000x4%(x∈N＋)
C．y＝1 000(1＋4%)x
D．y＝1 000(1＋4%)x(x∈N＋)
答案：D
3.鸡年到了，农民李老汉进城购买年货，如图是李老汉从家里出发进城往返示意图，图中y(单位：千米)表示离家的距离，x(单位：分钟)表示经过的时间，县城可看做一个点，即李老汉在城内所走的路程不计，下列说法正确的是( )
①李老汉购买年货往返共用80分钟；②李老汉的家距离县城40千米；③李老汉进城的平均速度要大于回来的平均速度；④李老汉回来的平均速度要大于进城的平均速度．
A．①②④ B．①④
C．①②③ D．①②③④
答案：C
4．某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
解析：把x＝1，2，3，4分别代入计算，x＝1时，A为100，B为100，C为100，D为100; x＝2时，A为200，B为200，C为200，D为200；x＝3时，A为300，B为400，C为400，D为258；x＝4时，A为400，B为700，C为800，D为300，比较知只有C中x＝4时偏差很小，所以C较好．
答案：C
5．面对函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
解析：函数f(x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的图像如图所示．
观察图像可知，函数f(x)的图像在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；
同样，函数g(x)的图像在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图像在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C．
答案：C
6．某工厂2016年生产某产品4万件，计划从2017年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件(已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．2021年 B．2022年
C．2023年 D．2024年
解析：设从第n年开始这家工厂的年产量超过12万件，则4(1＋20%)n－2016>12，即1.2n－2016＞3.
取对数(n－2016)lg1.2＞lg 3，
∴n＞2016＋.
∵lg1.2＝lg＝lg 3＋2lg 2－1
＝0.477 1＋2×0.301 0－1＝0.079 1，
∴＝≈6.03，
∴n＞2022.03.又n∈N＋，∴n＝2023.
答案：C
二、填空题
7．若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax中最大的是________．
答案：ax
8．不等式4x＋log3x＋x2>5的解集为__________．
解析：y＝4x＋log3x＋x2在(0，＋∞)是递增的，且x＝1时，y＝5.
∴当x>1时，y>5.
答案：(1，＋∞)
9．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析：因为x比ln x在(0，＋∞)上增长较快，所以y＝x2比y＝xln x在(0，＋∞)上增长较快．
答案：y＝x2
10．里氏震级是由两位来自美国加州理工学院的地震学家里克特(C．F.Richter)和古登堡(B．Gutenberg)于1935年提出的一种震级标度．里氏震级M的计算公式是M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的________倍．
解析：设6级地震最大振幅为x，9级地震最大振幅为y.
则两式相减得lg y－lg x＝3，lg ＝lg 103，＝103，y＝1 000x，即9级地震最大振幅是6级地震最大振幅的1 000倍．
答案：1 000
三、解答题
11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．
解：由题意得，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20再由已知得解得
则v(x)＝－x＋.
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
12．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
解：(1)当t∈[0，1]，函数的解析式为y＝kt，
将M(1，4)代入得k＝4.∴y＝4t.
又当t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y＝，
将点(3，1)代入得a＝3.
∴y＝.
综上有：y＝f(t)＝
(2)由f(t)≥0.25，解得≤t≤5.
所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝个小时．
13．已知a为方程 2x＋x＝0的根，b为方程 log2x＝2的根，c为方程logx＝x的根，试判断a，b，c的大小关系．
解：由2x＋x＝0得2x＝－x，设y1＝2x，y2＝－x；由log2x＝2得x＝4，即b＝4；由logx＝x，设y3＝logx，y4＝x，在同一坐标系中分别作出四个函数的图像，如图
所示，则a，c分别是y1＝2x与y2＝－x，y3＝logx与y4＝x图像的交点A、B的横坐标，显然xA<0，0综上可得a<0，b＝4，0课件47张PPT。§6 指数函数、幂函数、
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