第四章 §1 1．1 利用函数性质判定方程解的存在
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一、选择题
1．下列图像表示的函数中没有零点的是( )
答案：A
2．二次函数y＝x2＋2x－3的零点和顶点坐标分别为( )
A．3,1；(－1，－4) B．－3，－1；(－1,4)
C．－3,1；(－1，－4) D．－3,1；(1，－4)
解析：配方y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得抛物线的顶点为(－1，－4)．解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝－3，x2＝1.故选C．
答案：C
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：画出函数f(x)的图像，如图所示：
再画出直线y＝－x－a，
当直线过点A(0,1)时，直线与函数图像恰有两个交点，
并且向下移动时，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，
也就是函数g(x)有两个零点，
此时满足－a≤1，即a≥－1，故选C．
答案：C
4．若函数F(x)＝f(x)－2在(－∞，0)内有零点，则y＝f(x)的图像可能是( )
解析：如果f(x)的图像是A，则F(x)＝f(x)－2的零点是0，如果f(x)的图像是B，由于f(x)<2，因此F(x)＝f(x)－2无零点，如果f(x)的图像是C，F(x)＝f(x)－2的零点在(0，＋∞)上，如果f(x)的图像是D，F(x)＝f(x)－2在(－∞，0)和(0，＋∞)各有一个零点，故选D．
答案：D
5．已知实数a
A．仅一个零点且位于区间(c，＋∞)内
B．仅一个零点且位于区间(－∞，a)内
C．有两个零点且分别位于区间(a，b)和(b，c)内
D．有两个零点且分别位于区间(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：∵f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，∴f(x)有两个零点且分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
答案：C
6．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则下列说法中正确的是( )
A．f(x)在区间，(1，e)内均有零点
B．f(x)在区间，(1，e)内均无零点
C．f(x)在区间内有零点，在(1，e)内无零点
D．f(x)在区间内无零点，在(1，e)内有零点
解析：∵f＝×－ln ＝＋1>0，
f(1)＝×1－ln 1＝>0，
f(e)＝e－ln e＝－1<0，
∴f(x)在区间内无零点，在(1，e)内有零点．
答案：D
二、填空题
7．(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
解析：由题意得或所以2≤x<4或1当λ>4时，f(x)＝x－4>0，此时由f(x)＝x2－4x＋3＝0得，x＝1或3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，由f(x)＝x－4＝0得，x＝4，由f(x)＝x2－4x＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4，＋∞)．
答案：(1,4) (1,3]∪(4，＋∞)
8．已知函数f(x)＝2x＋log3x的零点在区间上，则整数k的值为________．
解析：f(1)＝21＋log31＝2>0，f＝2＋log3＝－log32>0，结合函数的定义域，零点所在区间必在内，此时k＝1.
答案：1
9．(2018·天津卷)已知a>0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 ________.
解析：当x≤0时，方程f(x)＝ax，即x2＋2ax＋a＝ax，
整理可得x2＝－a(x＋1)，
显然x＝－1不是方程的实数解，则a＝－，
当x>0时，方程f(x)＝ax，即－x2＋2ax－2a＝ax，
整理可得x2＝a(x－2)，
显然x＝2不是方程的实数解，则a＝，
令g(x)＝
其中－＝－，＝x－2＋＋4，
原问题等价于函数g(x)与函数y＝a有两个不同的交点，求a的取值范围．
结合对勾函数和函数图像平移的规律绘制函数g(x)的图像，
同时绘制函数y＝a的图像如图所示，
结合a>0观察可得，实数a的取值范围是(4,8)．
答案：(4,8)
三、解答题
10．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根，求n的值．
解：由n＝4x－x2＝x(4－x)∈N＋，得0又∵x有整数根，∴x＝1或x＝2或x＝3，则n＝3或4.
11．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，求n的值．
解：∵2a＝3,3b＝2
∴a>1,0又∵0<<1，－1<－b<0，
∴f(－1)<0；f(0)＝1－b>0.
∴f(－1)f(0)<0，因此x0∈(－1,0)，
∵a>1，∴f(x)为R上的增函数，
∴f(x)只有一个零点，∴n＝－1.
12．若函数?(x)＝x2－2x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在(1,3)内，求实数a的取值范围．
解：?(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，依据题意作出示意图，如图所示．
由图可得
解得－313．指出方程2x－＝0存在的实数根，并给出一个实数根的存在区间．
解：令f(x)＝2x－.在同一坐标系中，分别作出函数y＝2x及y＝的图像，如图所示，由图可知方程2x＝仅有一个实数解，即f(x)仅有一个零点．
又f＝－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，即f·f(1)<0，
∴方程2x－＝0在内仅有一个实数根．
课件38张PPT。§1 函数与方程
1．1 利用函数性质判定方程解的存在自主学习 梳理知识1 课前基础梳理典例精析 规律总结2 课堂互动探究即学即练 稳操胜券3 基础知识达标word部分： 请做： 4 课时跟踪检测
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