因式分解
知识点1 因式分解的意义
把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
知识点2 公因式
多项式中各项都含有的 ，叫做各项的公因式．
知识点3 提公因式法分解因式
如果一个多项式的各项有公因式，那么可把该公因式提到括号外面分解成两个因式的 ，这种因式分解的方法叫做提公因式法．用字母表示：ma＋mb＋mc＝ ．
提公因式法分解因式的关键是找公因式，即找各项系数的 ，相同字母的 ．
提公因式法的一般步骤：第一步找出 ；第二步确定另一个因式；第三步写成 的形式．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
2．(知识点2)(3分)多项式9a2x2－18a3x3－36a4x4各项的公因式是( )
A．a2x2 B．a3x3
C．9a2x2 D．9a4x4
3．(知识点2)(3分)下列各组式子中，没有公因式的是( )
A．4a2bc与8abc2
B．a3b2＋1与a2b3－1
C．b(a－2b)2与a(2b－a)2
D．x＋1与x2－1
4．(知识点3)(3分)把2a2－4a因式分解的最终结果是( )
A．2a(a－2) B．2(a2－2a)
C．a(2a－4) D．(a－2)(a＋2)
5．(知识点3)(3分)下列各式分解正确的是( )
A．12xyz－9x2y2＝3xyz(4－3xy)
B．3a2y－3ay＋3y＝3y(a2－a＋1)
C．－x2＋xy－xz＝－x(x＋y－z)
D．a2b＋5ab－b＝b(a2＋5a)
6．(综合题)(3分)已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝ ．
7．(综合题)(6分)利用简便方法计算：
(1)3.2×900.9＋4.7×900.9＋2.1×900.9；
(2)36.8×＋20.2×－2×.
8．(综合题)(6分)已知a＋b＝－4，ab＝2，求多项式4a2b＋4ab2－4a－4b的值．
知识点1 平方差公式分解因式
两个数的平方差，等于两个数的 与这两个数的 的积．即a2－b2＝ ．
知识点2 完全平方公式分解因式
形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式．即两个数的平方 加上(或减去)这两个数的积的 的式子是完全平方式．
两数的 ，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝ ；a2－2ab＋b2＝ ．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)将x2－16分解因式正确的是( )
A．(x－4)2 B．(x－4)(x＋4)
C．(x＋8)(x－8) D．(x－4)2＋8x
2．(知识点1、2)(3分)下列因式分解正确的是( )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)
3．(知识点2)(3分)已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( )
A．8 B．±8
C．24 D．±24
4．(知识点2)(3分)把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
5．(知识点2)(3分)把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是( )
A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y)
C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2
6．(知识点1)(3分)若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝ ．
7．(知识点1、2)(6分)把下列各式分解因式：
(1)a3－9a；
(2)－12a2＋18a＋2a3；
8．(综合题)(6分)已知a－b＝1且ab＝2，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值．
知识点 分组分解法
当多项式不能使用提取公因式法和公式法进行分解时，可以将多项式进行分组，这种分解因式的方法叫做分组分解法．一般地，这类多项式有四项或四项以上，分组后利用 或运用 继续分解．
因式分解的一般步骤：一提、二套、三分组，即首先考虑提 ，再看能不能用 ，若前两者都不行，再考虑能不能用 分解因式．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是( )
A．(4x2－y)－(2x＋y2)
B．(4x2－y2)－(2x＋y)
C．4x2－(2x＋y2＋y)
D．(4x2－2x)－(y2＋y)
2．(3分)把x2－y2－2y－1分解因式，结果正确的是( )
A．(x＋y＋1)(x－y－1)
B．(x＋y－1)(x－y－1)
C．(x＋y－1)(x＋y＋1)
D．(x－y＋1)(x＋y＋1)
3．(3分)分解因式a2－b2＋4bc－4c2的结果是( )
A．(a－2b＋c)(a－2b－c)
B．(a＋2b－c)(a－2b＋c)
C．(a＋b－2c)(a－b＋2c)
D．(a＋b＋2c)(a－b＋2c)
4．(3分)下列式子中，因式分解错误的是( )
A．a2－bc＋ac－ab＝(a－b)(a＋c)
B．ab－5a＋3b－15＝(b－5)(a＋3)
C．x2－6xy－1＋9y2＝(x＋3y＋1)(x＋3y－1)
D．x2＋3xy－2x－6y＝(x＋3y)(x－2)
5．(3分)分解因式与整式乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2－y2＋3x－3y分解因式的结果为( )
A．(x＋y＋3)(x－y)
B．(x－y－3)(x－y)
C．(x＋y－3)(x－y)
D．(x－y＋3)(x－y)
6．(3分)分解因式：
(1)m2－mn＋mx－nx＝ ；
(2)n2－2n＋1－m2＝ ；
7．(6分)把下列各式分解因式：
(1)2＋2x＋x2＋x；
(2)xy2－2xy＋2y－4.
8．(6分)已知长方形的周长为20，相邻两边长分别为a，b(a，b均为整数)，其a，b满足a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0，求a，b的值．
因式分解
知识点1 因式分解的意义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
知识点2 公因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫做各项的公因式．
知识点3 提公因式法分解因式
如果一个多项式的各项有公因式，那么可把该公因式提到括号外面分解成两个因式的积，这种因式分解的方法叫做提公因式法．用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
提公因式法分解因式的关键是找公因式，即找各项系数的最大公约数，相同字母的最低次幂．
提公因式法的一般步骤：第一步找出公因式；第二步确定另一个因式；第三步写成积的形式．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)下列式子从左到右变形是因式分解的是( B )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
2．(知识点2)(3分)多项式9a2x2－18a3x3－36a4x4各项的公因式是( C )
A．a2x2 B．a3x3
C．9a2x2 D．9a4x4
3．(知识点2)(3分)下列各组式子中，没有公因式的是( B )
A．4a2bc与8abc2
B．a3b2＋1与a2b3－1
C．b(a－2b)2与a(2b－a)2
D．x＋1与x2－1
4．(知识点3)(3分)把2a2－4a因式分解的最终结果是( A )
A．2a(a－2) B．2(a2－2a)
C．a(2a－4) D．(a－2)(a＋2)
5．(知识点3)(3分)下列各式分解正确的是( B )
A．12xyz－9x2y2＝3xyz(4－3xy)
B．3a2y－3ay＋3y＝3y(a2－a＋1)
C．－x2＋xy－xz＝－x(x＋y－z)
D．a2b＋5ab－b＝b(a2＋5a)
6．(综合题)(3分)已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝－31．
7．(综合题)(6分)利用简便方法计算：
(1)3.2×900.9＋4.7×900.9＋2.1×900.9；
(2)36.8×＋20.2×－2×.
解：(1)原式＝900.9×(3.2＋4.7＋2.1)＝900.9×10＝9009. (2)原式＝×(36.8＋20.2－2)＝×55＝13.
8．(综合题)(6分)已知a＋b＝－4，ab＝2，求多项式4a2b＋4ab2－4a－4b的值．
解：4a2b＋4ab2－4a－4b＝(4a2b＋4ab2)－(4a＋4b)＝4ab(a＋b)－4(a＋b)＝4(a＋b)(ab－1)，当a＋b＝－4，ab＝2时，原式＝4×(－4)×(2－1)＝－16.
知识点1 平方差公式分解因式
两个数的平方差，等于两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
知识点2 完全平方公式分解因式
形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式．即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍的式子是完全平方式．
两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)将x2－16分解因式正确的是( B )
A．(x－4)2 B．(x－4)(x＋4)
C．(x＋8)(x－8) D．(x－4)2＋8x
2．(知识点1、2)(3分)下列因式分解正确的是( D )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)
3．(知识点2)(3分)已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( D )
A．8 B．±8
C．24 D．±24
4．(知识点2)(3分)把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( C )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
5．(知识点2)(3分)把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是( C )
A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y)
C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2
6．(知识点1)(3分)若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝3．
7．(知识点1、2)(6分)把下列各式分解因式：
(1)a3－9a；
(2)－12a2＋18a＋2a3；
解：(1)原式＝a(a2－9)＝a(a＋3)(a－3)． (2)原式＝2a(a2－6a＋9)＝2a(a－3)2.
8．(综合题)(6分)已知a－b＝1且ab＝2，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值．
解：a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2＝2×12＝2.
知识点 分组分解法
当多项式不能使用提取公因式法和公式法进行分解时，可以将多项式进行分组，这种分解因式的方法叫做分组分解法．一般地，这类多项式有四项或四项以上，分组后利用提公因式法或运用公式法继续分解．
因式分解的一般步骤：一提、二套、三分组，即首先考虑提公因式，再看能不能用公式，若前两者都不行，再考虑能不能用分组法分解因式．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是( B )
A．(4x2－y)－(2x＋y2)
B．(4x2－y2)－(2x＋y)
C．4x2－(2x＋y2＋y)
D．(4x2－2x)－(y2＋y)
2．(3分)把x2－y2－2y－1分解因式，结果正确的是( A )
A．(x＋y＋1)(x－y－1)
B．(x＋y－1)(x－y－1)
C．(x＋y－1)(x＋y＋1)
D．(x－y＋1)(x＋y＋1)
3．(3分)分解因式a2－b2＋4bc－4c2的结果是( C )
A．(a－2b＋c)(a－2b－c)
B．(a＋2b－c)(a－2b＋c)
C．(a＋b－2c)(a－b＋2c)
D．(a＋b＋2c)(a－b＋2c)
4．(3分)下列式子中，因式分解错误的是( C )
A．a2－bc＋ac－ab＝(a－b)(a＋c)
B．ab－5a＋3b－15＝(b－5)(a＋3)
C．x2－6xy－1＋9y2＝(x＋3y＋1)(x＋3y－1)
D．x2＋3xy－2x－6y＝(x＋3y)(x－2)
5．(3分)分解因式与整式乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2－y2＋3x－3y分解因式的结果为( A )
A．(x＋y＋3)(x－y)
B．(x－y－3)(x－y)
C．(x＋y－3)(x－y)
D．(x－y＋3)(x－y)
6．(3分)分解因式：
(1)m2－mn＋mx－nx＝(m－n)(m＋x)；
(2)n2－2n＋1－m2＝(n＋m－1)(n－m－1)；
7．(6分)把下列各式分解因式：
(1)2＋2x＋x2＋x；
(2)xy2－2xy＋2y－4.
解：(1)原式＝(2＋2x)＋(x2＋x)＝2(x＋1)＋x(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)． (2)原式＝xy(y－2)＋2(y－2)＝(xy＋2)(y－2)．
8．(6分)已知长方形的周长为20，相邻两边长分别为a，b(a，b均为整数)，其a，b满足a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0，求a，b的值．
解：因为a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0，所以(a－b)2－4(a－b)＋4＝0，(a－b－2)2＝0.所以a－b－2＝0，a－b＝2.又因为周长为20，所以a＋b＝10，所以a＝6，b＝4.
