第一章 §8 最小二乘估计
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一、选择题
1．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y＝a＋bx中，回归系数b( )
A．可以小于0 B．只能大于0
C．只能等于0 D．只能小于0
解析：b的取值任意．
答案：A
2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别都是s、t，那么下列说法正确的是( )
A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)
B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)
C．必有l1∥l2
D．l1与l2必定重合
解析：线性回归方程为y＝a＋bx，a＝－b，即a＝t－bs，t＝a＋bs，∴(s，t)在回归直线上，∴l1与l2必有公共点(s，t)．
答案：A
3．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程为z＝0.3x＋4，则c＝( )
A．0.3 B．e0.3
C．4 D．e4
解析：z＝ln y＝ln(cekx)＝ln c＋kx，因为z＝0.3x＋4，所以ln c＝4，c＝e4.
答案：D
4．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如下：
x
0
1
2
3
4
y
2.2
4.3
t
4.8
6.7
且回归方程是y＝0.95x＋2.6，则t＝( )
A．2.5 B．3.5
C．4.5 D．5.5
解析：＝＝2，
＝＝，样本中心点在回归直线上，所以代入得，＝0.95×2＋2.6，解得t＝4.5.
答案：C
5．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x
4
6
8
10
识图能力y
3
5
6
8
由表中数据，求得线性回归方程为y＝x＋a，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为( )
A．8.5 B．9.5
C．10.5 D．11.5
解析：＝＝7，＝＝，样本中心点(，)必在回归直线上，所以代入a＝－×7＝－，所以当x＝12时，代入得，×12－＝9.5.
答案：B
6．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的．他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子身高y与父亲的身高x的回归方程y＝β0＋β1x中，β1( )
A．在(－1,0)内 B．等于0
C．在(0,1)内 D．在[1，＋∞)内
解析：由“回归”一词的含义得，在父辈x的身高太高的情况下，子辈y的值会比x小，而父辈x值太低的情况下，子辈y值会相对增高．如图，l1：y＝x，则y与x的回归直线方程l2：y＝β0＋β1x中，β1应处于(0,1)之间．
答案：C
二、填空题
7．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为y＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均工资为9 000元，则其居民人均消费水平为________千元．
解析：当x＝9千元时，y＝0.66×9＋1.562＝7.502.
答案：7.502
8．若直线y＝a＋bx是四组数据(1,3)，(2,5)，(3,7)，(4,9)的回归直线方程，则a与b的关系为________．
解析：因为＝×(1＋2＋3＋4)＝，＝×(3＋5＋7＋9)＝6，因为＝a＋b，所以6＝a＋b.所以2a＋5b＝12.
答案：2a＋5b＝12
9．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：度)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机抽取了4天的用电量与当地气温，并制作了对照表：
x
18
13
10
－1
y
24
34
38
64
由表中数据，得回归方程y＝－2x＋a，当气温为－5 ℃时，预测用电量为________度．
解析：＝10，＝40，则回归直线方程过点(10,40)，
∴40＝－20＋a，a＝60，∴回归直线方程为y＝－2x＋60，当x＝－5时，y＝－2×(－5)＋60＝70.
答案：70
三、解答题
10．观察两相关变量得如下数据：
x
－1
－2
－3
－4
－5
5
4
3
2
1
y
－9
－7
－5
－3
－1
1
3
5
7
9
求两变量间的回归方程．
解：＝0，＝0，x＋x＋…＋x＝110，x1y1＋x2y2＋…＋x10y10＝110，b＝＝1.
∴所求回归直线方程为y＝x.
11．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解：(1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，＝i＝＝2，又lxx＝－n 2＝720－10×82＝80，lxy＝iyi－n·＝184－10×8×2＝24.由此b＝＝＝0.3，a＝－b ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加且b＝0.3>0，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7.
12．某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系如下表：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
已知：x＝280，y＝45 309，xiyi＝3 487.
(1)画出散点图；
(2)求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程．
解：(1)散点图如图．
(2)由散点图知，y与x有线性相关关系，设回归直线方程为y＝bx＋a，＝＝6，＝＝，
∵x＝280，y＝45 309，xiyi＝3 487，
∴b＝＝＝4.75，a＝－6×4.75≈51.36，
故回归直线方程为y＝4.75x＋51.36.
13．某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商品名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
(1)画出销售额和利润额的散点图；
(2)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；
(3)据(2)的结果估计当销售额为1亿元时的利润额．
解：(1)销售额和利润额的散点图如图．
(2)销售额和利润额具有相关关系，列表如下：
xi
3
5
6
7
9
yi
2
3
3
4
5
xiyi
6
15
18
28
45
＝6，＝3.4，xiyi＝112，x＝200
所以b＝＝0.5，a＝－b＝3.4－6×0.5＝0.4.从而得回归直线方程为y＝0.5x＋0.4.
(3)当x＝10时，y＝0.5×10＋0.4＝5.4(百万元)．
故当销售额为1亿元时，利润额估计为540万元．
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