第二章 平面向量
§7 向量应用举例
7.1 点到直线的距离公式
7.2 向量的应用举例
课时跟踪检测
一、选择题
1．已知直线l：5x－y－7＝0，向量P＝(k＋1,2k－3)，且P∥v，则k的值为(向量v为l的方向向量)( )
A． B．
C． D．－
解析：l的方向向量v＝(1,5)，由v与P平行得
5(k＋1)＝2k－3.解得k＝－.
答案：D
2．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分别是( )
A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)
B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)
D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
解析：直线3x－4y＋7＝0的方向向量为(4,3)，法向量为(3，－4)，故a＝(4,3)，b＝(3，－4)．
答案：C
3．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：(＋)·＝||2，则·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴2·＝0，∴⊥，∴∠A＝90°.故选C．
答案：C
4．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
解析：设5秒后点P运动到点A，则＝＋＝5v＝(20，－15)，∴＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．
答案：C
5．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为两边的三角形的面积
B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
解析：∵|b·c|＝|b|·|c|·|cosθ|，如图，∵a⊥c，∴|b|·|cosθ|就是以a，b为邻边的平行四边形的高，
而|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a|(|b|·|cosθ|)，
∴|b·c|表示以a，b为邻边的平行四边形的面积，故选C．
答案：C
6．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．6 B．2
C．2 D．2
解析：∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)，
∴|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＋2|F1|·|F2|·cos60°＝20＋2×2×4×＝28.
∴|F3|＝2.
答案：D
二、填空题
7．已知作用在A(1,1)点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为________．
解析：F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．
答案：(9,1)
8．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，则向量a与向量b夹角的大小是________．
解析：设a与b夹角为θ，则a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋cosθ＝0，整理得cosθ＝－，∴θ＝.
答案：
9．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于________．
解析：·＝·(－)＝·－·，因为OA＝OB，所以在上的投影为||，所以·＝||·||＝2，同理·＝
||·||＝，故·＝－2＝.
答案：
三、解答题
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为a，则B，D，C的坐标分别为(a,0)，(0，a)，(a，a)．
∵E，F分别为AB，BC的中点，∴E，F.从而＝－(0，a)＝，＝－(0,0)＝，
∴·＝×a＋(－a)×＝0.
∴⊥，故AF⊥DE.
11．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求||.
解：(1)由题知，＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
∴·＝(3，－1)·(－1，－3)＝－3＋3＝0.
设向量、夹角为θ，
根据夹角公式cos∠ACB＝cosθ＝.
∵＝(1,3)，＝(4,2)，∴cos∠ACB＝
＝，∴∠ACB＝.
∵·＝0，∴⊥，即AB⊥AC.
又∵||＝ ＝，
||＝ ＝.
∴||＝||，即AC＝AB，
∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)∵M为BC的中点，∴M(2,0)，∴＝(1，－2)，
∴||＝＝.
12．已知正方形ABCD的面积为36，E为AB中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
解：分别以AB、AD所在直线为x轴和y轴，建立坐标系．
∵正方形面积为36，∴其边长为6.
则B(6,0)，C(6,6)，E(3,0)，
F(6,4)，
∴＝(6,4)，＝(3,6)，
设P(x，y)，则＝(x，y)，
＝(x－3，y)，
由于∥，且∥，
∴解得
∴S△APE＝×3×3＝，S△BCE＝×3×6＝9.
∴S四边形APCD＝36－－9＝.
能力提升
13.如图，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
解：(1)设B的坐标为(x0，y0)，
则x0＝||＋||cos＝2＋＝，
y0＝||sin＝.∴＝.
∴＝＋＝＋(－1，)＝，
∴B，C.
(2)证明：连接OC，
∵＝，＝，
∴＝3，∴∥.
又||≠||，
||＝||＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
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7.1 点到直线的距离公式
7.2 向量的应用举例自主学习 梳理知识课前基础梳理垂直几何物理典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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