第三章 三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系(1)
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一、选择题
1．已知α是第四象限角，并且cosα＝，那么tanα的值等于( )
A． B．
C．－ D．－
解析：∵α为第四象限角，且cosα＝，
∴sinα＝－＝－ ＝－，
∴tanα＝＝－.
答案：D
2．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinθ，cosθ)，且a∥b，则tanα＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：∵a∥b，∴3cosθ＝4sinθ，∴tanθ＝.
答案：A
3．下列等式中正确的是( )
A．sin2＋cos2＝
B．若α∈(0,2π)，则一定有tanα＝
C．sin＝±
D．sinα＝tanα·cosα
解析：同角的三角函数基本关系式中要求角是“同角”，且对于“任意角”都成立，所以A不正确；利用同角三角函数的基本关系时一定要注意其隐含的条件，对于B中cosα≠0，即α≠kπ＋(k∈Z)，因而B不正确；因为0＜＜，所以sin＞0，所以C不正确．
答案：D
4．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，sin(105°＋α)的值为( )
A． B．
C．－ D．
解析：∵(105°＋α)－(α－75°)＝180°，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)．
又∵α为第四象限角且cos(α－75°)＜0，
∴α－75°为第三象限角，
∴原式＝ ＝.
答案：A
5．某同学在做老师布置的课后作业时，遇到某一题是这样写的，已知α是第一象限角，且sinα＝________cosα，则tanα＝________.由于横线处的纸张破损，现只知道sinα>cosα，则tanα的值可能为( )
A．－1 B．
C． D．
解析：由α是第一象限角，且sinα>cosα>0，
∴tanα＝>1.
答案：B
6．函数y＝－sin2x－3cosx的最小值是( )
A．－ B．－2
C． D．－
解析：y＝－(1－cos2x)－3cosx
＝cos2x－3cosx＋
＝2－2，
当cosx＝1时，ymin＝2－2＝－.
答案：A
二、填空题
7．若sinα＋cosα＝，则tanα＋的值为________．
解析：解法一：∵sinα＋cosα＝，
∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝2，
∴sinαcosα＝，
∴tanα＋＝＋＝＝2.
解法二：∵sinα＋cosα＝，∴α＝＋2kπ，k∈Z，
∴tanα＋＝2.
答案：2
8．已知α是第三象限角，tanα＝1，则sinαcosα＝________.
解析：解法一：∵tanα＝＝1，
∴sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1，
∴2sin2α＝1，又α为第三象限角，
∴sinα＝－，cosα＝－.
∴sinαcosα＝·＝.
解法二：∵α是第三象限角且tanα＝1，
∴α＝π＋2kπ，k∈Z.
∴sinαcosα＝sinπcosπ＝.
答案：
9．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为________．
解析：由sinα＝得cos2α＝1－sin2α＝.
∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝－＝－.
答案：－
三、简答题
10．若sinα与cosα是方程x2－x＋n＝0的两根，求n及α的值．
解：由题设知
②2－2×③，得2－2n＝1，即n＝.
∴解得
∴α＝2kπ＋，k∈Z.
11．已知sinθ＋cosθ＝－.
求：(1)＋的值；(2)tanθ的值．
解：(1)因为sinθ＋cosθ＝－，
所以1＋2sinθcosθ＝，sinθcosθ＝－.
所以＋＝＝.
(2)由(1)得＝－，
所以＝－，即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0，
所以tanθ＝－3或tanθ＝－.
12．(1)已知tanα＝3，求sin2α＋cos2α的值；
(2)已知＝1，求的值．
解：(1)sin2α＋cos2α＝＝＝＝.
(2)由＝1得tanα＝2，
＝＝＝＝.
13．已知sinθ，cosθ是方程6x2－6ax＋1－4a＝0的两根．
(1)求a的值；
(2)若θ∈(0，π)，求sinθ－cosθ，tanθ的值．
解：(1)sinθ＋cosθ＝a，sinθcosθ＝，且Δ≥0，
∴(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝a2，
∴1＋＝a2，解得a＝或a＝－2(舍)．
(2)由(1)知sinθ＋cosθ＝＞0，sinθcosθ＝－＜0，
且θ∈(0，π)，∴＜θ＜π.
sinθ－cosθ＝＝.
∵sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝－，θ∈(0，π)．
∴sinθ＝，cosθ＝，
tanθ＝＝－.
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§1 同角三角函数的基本关系(2)
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一、选择题
1．若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：∵sinα＋cosα＝，∴1＋2sinαcosα＝，
∴2sinαcosα＝－<0，∵0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，
∴<α<π，∴三角形是钝角三角形．
答案：D
2．已知tanα＝且α∈，则sinα的值是( )
A．－ B．
C． D．－
解析：因为α∈，所以sinα＜0，由tanα＝＝及sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－.
答案：A
3．若α为第三象限角，则＋ 的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：原式＝＋.∵α为第三象限角，
∴原式＝＋＝－1－2＝－3.
答案：B
4．若4tan2α－12tanα＋9＝0，则的值为( )
A． B．
C． D．
解析：由已知得tanα＝，
∴＝＝.
答案：C
5．若tanα－＝，则＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：tanα－＝－＝，
∴＝－.
答案：B
6．使 ＝成立的角α的范围是( )
A．2kπ－π＜α＜2kπ(k∈Z)
B．2kπ－π≤α≤2kπ(k∈Z)
C．2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)
D．只能是第三或第四象限角
解析：∵ ＝ ＝＝，
∴sinα＜0.∴2kπ－π＜α＜2kπ(k∈Z)．
答案：A
二、填空题
7．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β的结果是________．
解析：原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β
＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β
＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝cos2β＋sin2β＝1.
答案：1
8．若α为第二象限角，则＝________.
解析：原式＝＝＝.
∵α为第二象限角，∴cosα＜0，
∴上式＝＝－sinα.
答案：－sinα
9．在△ABC中，若sinA＝，则A＝________.
解析：∵sinA＝，∴2sin2A＝3cosA，
∴2(1－cos2A)＝3cosA，∴2cos2A＋3cosA－2＝0，
∴(2cosA－1)(cosA＋2)＝0.∵cosA＋2≠0，∴2cosA－1＝0，即cosA＝.
由题意知0
答案：
三、解答题
10．若cosα＝－且tanα＞0，求的值．
解：＝
＝＝
＝＝sinα(1＋sinα)．
∵tanα＝＞0，cosα＝－＜0，
∴sinα＜0.又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sinα＝－＝－，
∴原式＝sinα(1＋sinα)＝－·＝－.
11．化简 ＋ .
解：原式＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋
＝1＋cos2x＋1＋sin2x＝3.
12．证明：＝.
证明：左边＝
＝
＝＝＝右边．
13．若cosθ＋cos2θ＝1，求证：sin2θ＋sin6θ＋sin8θ＝1.
证明：∵cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ，左边＝sin2θ(1＋sin4θ＋sin6θ)＝sin2θ(1＋cos2θ＋cos3θ)
＝sin2θ[1＋cosθ(cosθ＋cos2θ)]
＝sin2θ(1＋cosθ)
＝cosθ(1＋cosθ)
＝cosθ＋cos2θ
＝1＝右边．
∴原式成立．
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