第三章 三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数
2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
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一、选择题
1．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判定
解析：∵cosAcosB＞sinAsinB，
∴cosAcosB－sinAsinB＞0，
∴cos(A＋B)＞0，
∴cos(π－C)＞0，∴cosC＜0，∴C为钝角，∴选C.
答案：C
2．化简cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα得( )
A．cosα B．cosβ
C．cos(2α＋β) D．sin(2α＋β)
解析：原式＝cos[(α＋β)－α]＝cosβ.
答案：B
3．设函数f(x)＝sin＋cos，则( )
A．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称
B．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称
C．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称
解析：f(x)＝sin＋cos
＝sin2xcos＋cos2xsin＋cos2xcos－sin2xsin＝cos2x，
∴f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称．
答案：D
4．已知sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )
A．1 B．－1
C．0 D．±1
解析：由已知得，sin[(α＋β)－β]＝0，∴sinα＝0.
∴α＝kπ，k∈Z.
当k为偶数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin2β＋
sin(－2β)＝0；当k为奇数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝－sin2β＋sin2β＝0.∴故选C.
答案：C
5．已知cos(α－β)＝，sinβ＝－，且α∈，β∈，则sinα等于( )
A. B．－
C．－ D．
解析：由于α∈，β∈，则0＜α－β＜π.则sin(α－β)＝＝.又sinβ＝－，β∈，则cosβ＝＝.
则sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.
答案：A
6．已知cos＋sinα＝，则sin的值是( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：cos＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα
＝cosα＋sinα＝
＝
＝sin＝，
∴sin＝.
sin＝sin
＝－sin＝－.
答案：C
二、填空题
7．已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，那么
|a－b|等于________．
解析：|a－b|＝
＝
＝＝1.
答案：1
8．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－cosx取得最大值，则cosθ＝________.
解析：f(x)＝2
＝2＝2sin.
当x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，
f(x)取得最大值．
∴cosθ＝cos＝－.
答案：－
9．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tanα＝2，则cos＝________.
解析：∵tanα＝2，α∈，∴sinα＝，
cosα＝，∴cos＝cosαcos＋sinαsin＝
＝＝.
答案：
三、解答题
10．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin的值．
解：由sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，
知sin(α－β－α)＝，
∴sinβ＝－.∵β为第三象限角，∴cosβ＝－.
∴sin＝(sinβ＋cosβ)＝－.
11．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．
解：(1)由角α的终边过点P，得sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.
(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－，由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝－.
12．设cos＝－，sin＝且＜α＜π，0＜β＜，求cos.
解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，
－＜－β＜，
又∵cos＝－，sin＝，
∴sin＝ ＝，
cos＝ ＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
13．已知a，b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．
(1)求证：a＋b与a－b垂直；
(2)若α∈，β＝，且a·b＝，求sinα.
解：(1)证明：∵a2＝cos2α＋sin2α＝1，
b2＝cos2β＋sin2β＝1.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
即(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由已知a·b＝cosαcos＋sinαsin＝
cos，且a·b＝，
∴cos＝.
由－＜α＜，得－＜α－＜0.
∴sin＝－ ＝－.
∴sinα＝sin
＝sincos＋cossin
＝－.
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2.1 两角差的余弦函数
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