第三章 三角恒等变形
§2 两角和与差的三角函数
2.3 两角和与差的正切函数
课时跟踪检测
一、选择题
1．已知cosα＝－，且α∈，则tan等于( )
A．－ B．－7
C． D．7
解析：∵α∈，且cosα＝－，
∴sinα＝＝ ＝，
∴tanα＝＝－，
∴tan＝＝＝7.
答案：D
2．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tan等于( )
A．3 B．－3
C． D．－
解析：a∥b，则tanα＝－，∴tan＝＝－3.
答案：B
3．已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两个根，且0＜α＜，π＜β＜，则α＋β的值为( )
A. B．
C. D．
解析：由韦达定理得tanα＋tanβ＝，tanαtanβ＝，
∴tan(α＋β)＝＝1，又π＜α＋β＜2π，故α＋β＝.
答案：C
4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
解析：由已知得
∴tan(A＋B)＝＝＝>0，
∴A＋B为锐角，∴C为钝角，故△ABC为钝角三角形．
答案：A
5．设tanα和tanβ是方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是( )
A. B．
C．－ D．不确定
解析：∵tanα，tanβ是方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两根，
∴
∴m≤，且m≠0，且tan(α＋β)＝＝
＝＝－m＋.
∴当m＝时，tan(α＋β)的最小值是－.
答案：C
6．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用和角的正切公式及其变形可知(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，故(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)＝4.
答案：C
二、填空题
7．已知角α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于________．
解析：由题意得tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，
∴α＝－＋(k∈Z)．
又∵α为锐角，∴k＝1，∴α＝－＝.
答案：π
8．tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝________.
解析：原式＝tan10°tan20°＋tan60°·(tan20°＋tan10°)
＝tan10°tan20°＋[(1－tan20°tan10°)·tan(20°＋10°)]
＝tan10°tan20°＋×(1－tan20°tan10°)
＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°
＝1.
答案：1
9．若a，b是非零实数，且＝tan，则＝________.
解析：＝＝tan
＝tan＝，＝tan＝.
答案：
三、解答题
10．已知tanα＝－.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)因为tanα＝－，
所以tan＝＝－7.
(2)因为tanα＝－，
所以＝＝.
11．已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，判断△ABC的形状．
解：∵tanA＋tanB＝tanAtanB－1，
∴(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1.
∴＝－.
∴tan(A＋B)＝－.
又∵0＜A＋B＜π，
∴A＋B＝.∴C＝.
∵tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanC＝，
∴tanB＋＋tanB＝，tanB＝，B＝.
∴A＝.∴△ABC为等腰三角形．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知
cosα＝，cosβ＝，
因α为锐角，故sinα＞0.
从而sinα＝ ＝.
同理可得sinβ＝.
因此tanα＝7，tanβ＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝－1.
又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜.
从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.
13．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解：(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
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2.3 两角和与差的正切函数自主学习 梳理知识课前基础梳理典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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