第三章 三角恒等变形
§3 二倍角的三角函数(1)
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一、选择题
1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝( )
A. B．
C．－ D．－
解析：由公式cos2α＝1－2sin2α可得
cos2α＝1－＝，故选B.
答案：B
2．函数f(x)＝3sincos＋4cos2(x∈R)的最大值等于( )
A．5 B．
C. D．2
解析：∵f(x)＝sinx＋4×＝sinx＋2cosx＋2＝＋2＝sin(x＋θ)＋2，其中cosθ＝，sinθ＝，∴f(x)的最大值等于＋2＝.
答案：B
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知sinα－cosα＝，则sin2α＝( )
A．－ B．－
C. D．
解析：∵sinα－cosα＝，∴sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝，
∴sin2α＝1－＝－.
答案：A
4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ的值为( )
A．－ B．－
C. D．
解析：由题意知，tanθ＝2，∴cos2θ＝＝＝＝－.
答案：B
5．函数y＝cos2x－sinxcosx的最大值是( )
A. B．
C. D．1
解析：y＝cos2x－sinxcosx＝－sin2x
＝cos＋，∴最大值为.
答案：B
6．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝( )
A. B．
C. D．1
解析：根据题的条件，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos2α＝2cos2α－1＝2·2－1＝，解得a2＝，即|a|＝，所以|a－b|＝|a－2a|＝，故选B.
答案：B
二、填空题
7．已知tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ＝________.
解析：原式＝cos2θ＋sinθcosθ
＝＝＝.
答案：
8．设α为△ABC的内角，且tanα＝－，则sin2α＝________.
解析：∵α为△ABC的内角，tanα＝－，
∴＜α＜π，∴sinα＝，cosα＝－.
sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.
答案：－
9．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，且sinAcosA＝，则此三角形的形状是________．
解析：由sinAcosA＝，得sin2A＝，即sin2A＝，
∴2A＝60°或2A＝120°，
∴A＝30°或A＝60°.
又由tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，
∴tan(A＋B)＝－，∴A＋B＝120°.
当A＝30°时，B＝120°－30°＝90°，此时，tanB无意义，与题设矛盾．当A＝60°时，B＝120°－60°＝60°，C＝180°－(60°＋60°)＝60°.故三角形ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
三、解答题
10．已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin2α和tan2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由sinα＋cosα＝得，1＋sin2α＝，
∴sin2α＝，
∵α∈，∴2α∈，∴cos2α＝，
∴tan2α＝＝.
(2)∵β∈，∴β－∈，
∴cos＝.
∵sin2β＝cos(2β－)＝1－2sin2＝，
cos2β＝sin＝－sin(2β－)＝
－2sin·cos＝－.
又∵α∈，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα＝＝＝ ＝和sinα＋cosα＝联立解得，sinα＝，cosα＝.
∴cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinα·sin2β
＝×－×＝－.
11．设T＝.
(1)已知sin(π－θ)＝，θ为钝角，求T的值；
(2)已知cos＝m，且<θ≤，求T的值．
解：(1)由sin＝，得sinθ＝，∵θ为钝角，∴cosθ＝－，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－，T＝＝.
(2)由cos＝m得sinθ＝m，∵<θ≤，
∴cosθ＝－，T＝＝|sinθ＋cosθ|，
∵<θ≤时，sinθ＋cosθ>0，
∴T＝sinθ＋cosθ＝m－.
12．已知函数f(x)＝2cos2－sinx.
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若α为第二象限角，且f＝，
求的值．
解：f(x)＝1＋cosx－sinx
＝2＋1＝2cos＋1，
(1)f(x)的值域为[－1,3]．
(2)f＝2cos＋1＝，
cosα＝－.∴sinα＝.
cos2α＝2cos2α－1＝－，
sin2α＝2××＝－.
∴原式＝＝＝＝－.
13．(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解：(1)因为f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.因为x∈，所以2x－∈.
要使得f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1.所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为.
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§3 二倍角的三角函数(2)
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一、选择题
1．已知α是第三象限角，且sinα＝－，则tan＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：∵α是第三象限角，且sinα＝－，
∴cosα＝－，∴tan＝＝＝－.
答案：C
2．若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝，且β∈，则cos为( )
A．－ B．±
C．－ D．±
解析：由条件知，sin[(α－β)－α]＝，即sinβ＝－，
∵β∈，∴cosβ＝－，
又∈且cosβ＝2cos2－1＝－，
∴cos＝－.
答案：A
3．计算的值为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：原式＝
＝
＝＝＝＝1.
答案：D
4.－＝( )
A．－2cos5° B．2cos5°
C．－2sin5° D．2sin5°
解析：－＝
－
＝cos50°－sin50°
＝2
＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.
答案：C
5．已知函数f(x)＝，则( )
A．函数f(x)的最大值为，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－，无最大值
解析：f(x)＝＝＝－
＝－tanx，
∴f(x)的最小值为－，无最大值．
答案：D
6．已知tanα＝，则＝( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：原式＝＝＝＝＝3.
答案：C
二、填空题
7．已知sinx＝，且解析：∵∴sin＝ ＝＝ ＝＝.
答案：
8．在△ABC中，若cosA＝，则sin2＋cos2A等于________．
解析：∵在△ABC中，＝－，∴sin2＋cos2A＝sin2＋cos2A＝cos2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝＋2×2－1＝＋－1＝－.
答案：－
9．已知tan＝，且－<α<0，则＝________.
解析：tan＝＝，解得tanα＝－.
原式＝＝2sinα.
设α终边上一点P(3，－1)，则sinα＝＝ .
∴2sinα＝－＝－.
答案：－
三、解答题
10．已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)f(x)＝sin2x－2sin2x＝sin2x＋cos2x－1＝sin－1.所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增．
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
11．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.
(2)∵f＝2cos＝2cos
＝－2sinα＝，∴sinα＝－.
又∵α∈，∴cosα＝.
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.
cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
∴f(2α)＝2cos
＝2
＝2×
＝.
12．已知函数f(θ)＝－＋(0＜θ＜π)．
(1)将f(θ)表示成关于cosθ的多项式；
(2)试求使曲线y＝acosθ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时，a的取值范围．
解：(1)f(θ)＝－＋
＝－＋
＝－＋
＝－＋
＝2cos2θ＋cosθ－1.
(2)由2cos2θ＋cosθ－1＝acosθ＋a，得(cosθ＋1)(2cosθ－1)＝a(cosθ＋1)．
所以cosθ＝，所以－1＜＜1，即－3＜a＜1.
13．求证：sin2α＋cosα·cos－sin2的值与α无关，是一个定值．
证明：原式＝sin2α＋cosα·cos－sin2
＝(1－cos2α)＋cosα·cos－
＝＋cosα
＝＋cos2α－sinαcosα
＝cos2α＋sin2α－cos2α＋(1＋cos2α)－
sin2α＝，
所以sin2α＋cosα·cos－sin2的值与α无关，为一个定值.
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