课件28张PPT。第二章 平面向量 章末总结归纳阶段性测试题二
第二章 平面向量
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.＋－＋等于( )
A． B．
C． D．0
解析：原式＝(＋)＋(＋)＝.
答案：A
2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12) B．0
C．－3 D．－11
解析：a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(1，－2)＋(－6,8)＝(－5,6)，(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－15＋12＝－3.
答案：C
3．设向量a＝(1,0)，b＝，给出下列四个结论：
①|a|＝|b|；②a·b＝；③a－b与b垂直；④a∥b，其中真命题的序号是( )
A．① B．③
C．①④ D．②③
解析：∵|a|＝＝1，|b|＝ ＝，∴|a|≠|b|，∴①不正确，可排除A，C；a·b＝1×＋0×＝≠，∴②不正确，可排除D，故选B．
答案：B
4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
解析：∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0，∴a⊥b.
答案：A
5．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于( )
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D．a＋b
解析：∵＝λ，∴－＝λ(－)，
∴(1＋λ)＝＋λ，
∴＝ ＋ ＝a＋b.
答案：D
6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且＝，连接CF并延长交AB于E，则等于( )
A． B．
C． D．
解析：设＝a，＝b，＝λ.∵＝，∴＝＋＝＋＝(＋)－＝－＝a－b.
＝＋＝＋＝－＝a－b.∵，共线，∴＝μ，即a－b＝μ.
∵a与b不共线，∴
解得λ＝.
答案：D
7．下列说法正确的是( )
①0平行于任何向量；②若四边形ABCD是平行四边形，则＝；③若a·b＝0，则a＝0或b＝0；④|a·b|＝|a|·|b|；⑤若非零向量a与b满足a∥b，则a与b的夹角为0°.
A．①② B．②④⑤
C．①⑤ D．②③⑤
解析：规定0平行于任何向量，故①正确；由平行四边形的性质及相等向量的定义知＝，故②正确；a·b＝0，等价于a＝0或b＝0或〈a，b〉＝90°，故③错误；因为|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|，故④错误；若非零向量a与b满足a∥b，则a与b的夹角为0°或180°，故⑤错误，故选A．
答案：A
8．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足 ＝2，则·(＋)等于( )
A．－ B．－
C． D．
解析：·(＋)
＝·2＝2||·||·cos180°
＝2×××(－1)＝－.
答案：A
9．已知a＝，b＝，a∥b,0≤α＜2π，则角α等于( )
A． B．
C．或 D．或
解析：因为a∥b，所以sinα＝cosα，
所以tanα＝，又0≤α＜2π，所以α＝或.
答案：D
10．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝m＋n，其中m，n∈R且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为( )
A．3x＋2y－11＝0
B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0
解析：设＝(x，y)，∵＝m＋n＝m(3,1)＋n(－1,3)＝(3m－n，m＋3n)．
∴∴
又∵m＋n＝1，∴＋＝1，
∴x＋2y－5＝0.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，解得m＝－2.
答案：－2
12．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形面积为________．
解析：∵·＝－4×1＋2×2＝0，∴⊥.
∴S四边形ABCD＝||||＝××＝5.
答案：5
13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
解析：设＝a，＝b，
则·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|b|2＝，|a|2＝.
∴·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝4×－＝.
答案：
14．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
解析：∵＝2，∴＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋.
∵＝λ－，
∴·＝·(λ－)＝－2＋λ2＋·.
∵∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，
∴·＝－×9＋λ×4＋×3×2×
＝－3＋λ＋λ－2＝λ－5＝－4，∴λ＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．
(1)求a－b及|a－b|；
(2)若ka＋b与a－b垂直，求实数k的值．
解：(1)a－b＝(4,0)，|a－b|＝＝4.
(2)ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－b＝(4,0)，∵(ka＋b)⊥(a－b)，
∴(ka＋b)·(a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)·0＝0，解得k＝3.
16．(12分)已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，－1)，m＝a＋3b，n＝a－kb.
(1)若m∥n，求k的值；
(2)当k＝2时，求m与n夹角的余弦值．
解：(1)∵a＝(－2,1)，b＝(1，－1)，
∴m＝a＋3b＝(－2,1)＋3(1，－1)＝(1，－2)，
n＝a－kb＝(－2,1)－k(1，－1)＝(－2－k,1＋k)．
∵m∥n，∴－2(－2－k)＝1×(1＋k)，∴k＝－3.
(2)当k＝2时，m＝(1，－2)，n＝(－4,3)，
∴m·n＝1×(－4)－2×3＝－10，
|m|＝＝，|n|＝＝5，
∴cos〈m，n〉＝＝＝－.
∴m与n夹角的余弦值为－.
17．(12分)在△ABC中，＝，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如右图所示，设＝a，＝b，试用a，b表示.
解：解法一：∵M为BC的中点．
∴＝＝(－)＝(b－a)，＝＋＝(a＋b)．∵∥，∥，
根据向量共线的条件，存在实数λ和μ，使得＝λ＝λ(b－a)，＝μ＝μ(a＋b)，∴＝＋＝a＋λ(b－a)＝a＋b.
根据平面向量基本定理得
解方程得λ＝μ＝，故＝(b－a)．
解法二：∵＝，DE∥BC，且与AC相交于E，△ABC的中线AM与DE交于N，∴＝，＝＝.∵＝a，＝b，∴＝b－a，
∴＝(b－a)．
18．(14分)如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x，＝y.
试问：＋是否为定值．
解：设＝a，＝b，则＝xa，＝yb，由G是AD的中点，得＝＝(＋)＝(a＋b)．
∴＝－＝(a＋b)－xa＝a＋b，＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.
∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ，
∴a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.
∵a与b不共线，∴
消去λ，得＋＝4.
∴＋为定值．
