课件34张PPT。第三章 三角恒等变形 章末总结归纳阶段性测试题三
第三章 三角恒等变形
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于( )
A．0 B．
C. D．1
解析：sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1.
答案：D
2．设向量a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)，若a⊥b，则cos2θ＝( )
A．－1 B．0
C. D．
解析：∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝cos2θ＝0.
答案：B
3．在△ABC中，若tanA＝，tanB＝－2，则角C＝( )
A. B．
C. D．
解析：∵tan(A＋B)＝＝＝－1，
∴A＋B＝π，
∴C＝.
答案：C
4．已知：函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)，若对任意实数x都有f(x)＝f(－x)，则θ可以是( )
A. B．
C. D．π
解析：f(x)＝sin为偶函数，∴θ＋＝kπ＋(k∈Z)，∴θ＝kπ＋，当k取0时，θ＝.
答案：B
5．已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：设底角为α，则cos(π－2α)＝，cos2α＝－.
又cos2α＝1－2sin2α，∴sinα＝.
答案：C
6．已知x∈，cos＝，则tan2x等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：由已知得：sinx＝，又x∈，
则cosx＝.所以tanx＝＝.
tan2x＝＝－.
答案：D
7．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值等于( )
A．1 B．－
C. D．－
解析：由题意知cosθ－sinθ＝，4·＝，
即sinθcosθ＝.
∴sinθ＋cosθ＝＝ ＝.
∴sin2θ－cos2θ＝(sinθ＋cosθ)(sinθ－cosθ)＝×＝－.
答案：B
8．若sinα＋cosα＝tanα，则α的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：∵tanα＝sinα＋cosα＝
＝sin，又0<α<，∴<α＋<，
∴∴<α<.
答案：C
9．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
解析：f(x)＝sin，T＝＝π，ω＝2.
∴f(x)＝sin.
∵f(－x)＝f(x)，
∴φ＋＝＋kπ，k∈Z.
又∵|φ|<，
∴φ＝.
∴f(x)＝sin＝cos2x.
则f(x)在上单调递减．
答案：A
10．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )
A. B．
C. D．
解析：由已知得m·n＝sinAcosB＋cosAsinB
＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sinC＋cosC＝1，
∴2sin＝1，sin＝.
∵0∴C＋＝，C＝.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．若sin－2cos＝0，则tanθ＝________.
解析：由sin－2cos＝0，得tan＝2，
∴tanθ＝＝＝－.
答案：－
12．(2017·江苏卷)若tan＝，则tanα＝________.
解析：解法一：∵tan＝，
∴＝，
∴6tanα－6＝1＋tanα，∴tanα＝.
解法二：∵tan＝，
∴tanα＝tan＝＝＝.
答案：
13．已知函数f(x)＝sinxcosx，则f(－1)＋f(1)＝________.
解析：∵f(x)＝sinx·cosx＝sin2x，
∴f(x)为奇函数，
∴f(－1)＋f(1)＝0.
答案：0
14．给出下列命题：
①存在x∈，使sinx＋cosx＝；
②存在区间(a，b)，使y＝cosx为减函数而sinx<0；
③y＝cos2x＋sin既有最大值和最小值，又是偶函数；
④y＝sin|x|的最小正周期为π.
其中错误命题的序号是________．
解析：对于①，当x∈时，sinx＋cosx>1，故①错误；对于②，y＝cosx的减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，而sinx在这个区间上不小于0，故②错误；对于③，y＝cos2x＋cosx＝2－，当cosx＝－时，有最小值－；当cosx＝1时，有最大值2，且为偶函数，故③正确；对于④，y＝sin|x|是偶函数，其图像关于y轴对称，不是周期函数，故④错误．
答案：①②④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知A(1,0)，B(0,1)，C(cosα，sinα)，且α∈(0，π)．
(1)O为坐标原点，若|－|＝1，求角α的大小；
(2)若·＝，求cos2α的值．
解：(1)∵|－|＝1，
∴(cosα－1)2＋sin2α＝1，
∴cosα＝，
∵0<α<π，∴α＝.
(2)∵·＝，
∴(cosα－1，sinα)·(cosα，sinα－1)＝，
整理得sinα＋cosα＝，
∴sin2α＝－.
由sinα＋cosα＝可知，
<α<，∴π<2α<，
∴cos2α＝－.
16．(12分)(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期的单调递增区间．
解：(1)∵f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx
＝－cos2x－sin2x
＝－2sin.
∴f＝－2sin＝－2sin
＝2sin＝2.
(2)由f(x)＝－2sin知，f(x)的最小正周期为π.
由正弦函数的性质得
2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
17．(12分)已知cos＝，x∈.
(1)求sinx的值；
(2)求sin的值．
解：(1)因为x∈，所以x－∈，
于是sin＝ ＝.
sinx＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
(2)因为x∈.故cosx＝－＝－ ＝－.
sin2x＝2sinxcosx＝－.cos2x＝2cos2x－1＝－.
所以sin＝sin2xcos＋cos2xsin＝－.
18．(14分)已知：m＝，n＝且f(x)＝m·n.
(1)求f(x)单调递增区间；
(2)若g(x)＝f(x)－2sin2x－m＋在区间上有零点，求m的取值范围．
解：(1)由f(x)＝m·n＝sinx·cosx－cos2
＝sin2x－
＝sin2x－.
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)g(x)＝sin2x－－(1－cos2x)－m＋
＝sin－m.
令g(x)＝0得，m＝sin，
∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈[－1， ]．
∴m∈[－1， ]．
