第一章 三角函数
§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(1)
课时跟踪检测
一、选择题
1．函数y＝2sin的最大值及振幅分别为( )
A．2，2 B．－2，π
C．2，－2 D．2，π
答案：A
2．函数y＝3sin的相位和初相分别为( )
A．－x＋， B．x＋，
C．x－，－ D．x＋，
解析：y＝3sin＝3sin＝3sin，∴相位是x＋，初相是.
答案：B
3．将函数y＝sinx的图像上所有的点向左平移个单位长度，再将图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的函数解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：将y＝sinx的图像上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin的图像．
答案：A
4．已知函数f(x)＝2sin，如果存在实数x1，x2使得对任意实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是( )
A．8π B．4π
C．2π D．π
解析：由题意可知，|x1－x2|的最小值即函数最小正周期的一半＝×＝4π.
答案：B
5．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，为得到函数f(x)的图像，只需得g(x)＝sinωx的图像( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：由图像知，T＝4＝π，∴ω＝＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)，代入点，
得sin＝－1，又|φ|＜，∴φ＝.
∴f(x)＝sin.又g(x)＝sin2x，∴只需将g(x)的图像向左平移个单位，即得f(x)的图像．
答案：C
6．若把函数y＝sinωx(ω＞0)的图像向左平移个单位后与函数y＝cosωx的图像重合，则ω的值可能是( )
A. B．
C. D．
解析：y＝sinωx向左平移个单位后得到y＝sin＝sin，它与y＝cosωx重合，故π＝2kπ＋(k∈Z)，∴ω的值可能是.
答案：C
二、填空题
7．若函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值为________．
解析：由题意得T＝＝，则＜＜，
∴∵m为正整数，∴m＝26，27或28.
答案：26，27或28
8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像如图所示，则f(x)＝________．
解析：由图知A＝1，T＝4＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
答案：sin
9．一正弦曲线的一个最高点为，从相邻的最低点到这个最高点的图像交x轴于点，最低点的纵坐标为－3，则这一正弦曲线的解析式可以为________．
解析：A＝3，T＝4＝2，
ω＝＝π， π·＋φ＝2π，
φ＝2π＋，
∴y＝3sin＝3sin.
答案：y＝3sin
三、解答题
10．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．
解：(1)由题意知，A＝，T＝×4＝π，
∴ω＝＝2.∴y＝sin(2x＋φ)．把点代入上式，得sin＝1.又φ∈，∴φ＝.
∴y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
0
－
0
作图如下：
11．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，求f(0)的值．
解：＝－＝，
∴T＝π，ω＝2.
由图知A＝，f(x)＝sin(2x＋φ)，把代入得sin＝0，＋φ＝π，则φ＝.
∴f(x)＝sin，
f(0)＝sin＝.
12．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)求函数的最大值，并写出相应的x的值；
(3)求使y≤0时，x的取值范围．
解：(1)由题意知T＝4＝π.∴ω＝＝2.
由2×＋φ＝0，得φ＝－.
又A＝5，∴y＝5sin.
(2)函数的最大值为5，此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
∴x＝kπ＋(k∈Z)．
(3)∵y＝5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴x的取值范围是(k∈Z)．
13．已知函数y＝sin＋，x∈R.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(3)该函数的图像可由y＝sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换而得到？
解：(1)振幅为，周期为π，初相为.
(2)当sin＝1，即2x＋＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值＋＝，此时x＝kπ＋，k∈Z.即.
(3)把y＝sinx的图像向左平移个单位长度得到函数y＝sin的图像，然后再把y＝sin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到y＝sin的图像，然后再把y＝sin的图像上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到y＝sin的图像，最后把y＝sin的图像向上平移个单位长度，就得到y＝sin＋的图像．
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§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(2)
课时跟踪检测
一、选择题
1．函数y＝sin(2x＋π)是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
解析：y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，周期为＝π.
∵f(－x)＝－sin2(－x)＝sin2x＝－f(x)，
∴y＝sin(2x＋π)为奇函数．
答案：A
2．已知函数f(x)＝sin，若存在α∈(0，π)，使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，则α的值是( )
A． B．
C． D．
解析：函数f(x)的周期T＝＝π.
∵f(x＋α)＝f(x＋3α)，∴T＝2α＝π，即α＝.
答案：D
3．已知函数y＝sin，则其图像的下列结论中，正确的是( )
A．向左平移后得到奇函数
B．向左平移后得到偶函数
C．关于点中心对称
D．关于直线x＝轴对称
答案：A
4．若将函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析：由题意，将函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位得y＝2sin2＝2sin，则平移后函数的对称轴为2x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故选B．
答案：B
5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图像关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：由题意得ω＋φ＝k1π＋(k1∈Z)，ω＋φ＝k2π(k2∈Z)，∴ω＝(k1－k2)π＋(k1，k2∈Z)．∴ω＝4(k1－k2)＋2(k1，k2∈Z)．∵ω＞0，∴ω的最小值为2.
答案：A
6．设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )
A． B．3
C．6 D．9
解析：依题意得f＝cos＝cos＝cosωx，
∴－ω＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝－6k.
又ω＞0，∴当k＝－1时，ω有最小值6.
答案：C
二、填空题
7．函数y＝sin，x∈的单调递增区间为________．
解析：由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z得函数的单调递增区间为，k∈Z.
又x∈，∴单调递增区间为.
答案：
8．(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则φ的值是________．
解析：由题意可得sin＝±1，所以π＋φ＝＋kπ，φ＝－＋kπ(k∈Z)，因为－<φ<，所以当k＝0时，φ＝－.
答案：－
9．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且图像关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：
①图像关于点对称；
②图像关于点对称；
③在上是增函数；
④在上是增函数．
那么所有正确结论的编号为________．
解析：∵＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)，
又∵f(x)关于x＝对称，
∴sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，
∴令k＝0得φ＝，
∴f(x)＝sin.
令f(x)＝0得2x＋＝kπ，
∴x＝－，k∈Z，
令k＝1得一个对称中心，
令－≤2x＋≤，
－π≤x≤，
∴f(x)的一个增区间为，
又∵?，
∴②④正确．
答案：②④
三、解答题
10．已知函数f(x)＝sin＋.
(1)求f(x)的最大值、最小值，及相应x的值；
(2)求f(x)的最小正周期、对称轴和对称中心；
(3)函数f(x)的图像至少向左平移多少个单位长度时才为偶函数？
解：(1)当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值，即当x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)max＝，
当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)时，f(x)有最小值，
即当x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)min＝.
(2)由T＝知函数f(x)的最小正周期为T＝π.
令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，
∴对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，
令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，
∴对称中心为(k∈Z)．
(3)由函数性质知若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b为偶函数，φ＞0，则φ至少为，即y＝sin＋＝cos2x＋为偶函数．
∴应将函数y＝sin＋的图像平移至函数y＝sin＋的图像处．由函数图像平移方法知：y＝sin＋的图像y＝sin＋的图像，
∴函数f(x)的图像至少向左平移个单位长度才为偶函数．
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈，求f(x)的值域．
解：(1)由最低点为M得A＝2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得＝，
即T＝π，ω＝＝＝2.
由点M在图像上知，2sin＝－2，
即sin＝－1.
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又∵φ∈，∴φ＝.故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[－1,2]．
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－b(ω＞0,0＜φ＜π)的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将f(x)的图像先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数g(x)为奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的对称轴及单调区间．
解：(1)∵＝2×，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)－b.
又∵g(x)＝sin－b＋为奇函数，且0＜φ＜π，则φ＝，b＝，
故f(x)＝sin－.
(2)由(1)知f(x)＝sin－，
其对称轴由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)，
增区间为(k∈Z)，
减区间为(k∈Z)．
13．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)与对数函数y＝g(x)在同一坐标系中的图像如图所示．
(1)分别写出两个函数的解析式；
(2)方程f(x)＝g(x)共有多少个解？
解：(1)由图像知A＝2，φ＝0，T＝2，
故ω＝π，f(x)＝2sinπx.
设g(x)＝logax，由图像知loga4＝－1，
故a＝，g(x)＝logx.
(2)因g(x)为减函数，f(x)最小值为－2.故当g(x)≥－2时，可能有交点，由logx≥－2，得0＜x≤16.当2≤x≤16时，f(x)与g(x)在f(x)的每一个周期上的图像均有两个交点，共14个交点；
当0＜x＜2时，由图像知有3个交点；
当x＞16时，图像无交点．
综上可知f(x)＝g(x)共有17个解．
课件48张PPT。第一章 三角函数 §8 函数y＝Asin(ωx＋φ)
的图像与性质(2)自主学习 梳理知识课前基础梳理典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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