第一章 三角函数
§9 三角函数的简单应用
课时跟踪检测
一、选择题
1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，选C．
答案：C
2．函数s＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)表示一个振动量，振幅是2，频率是，初相是，则这个函数为( )
A．s＝2sin(t≥0)
B．s＝sin(t≥0)
C．s＝2sin(t≥0)
D．s＝sin(t≥0)
解析：由＝＝，得ω＝3.又A＝2，φ＝，∴s＝2sin.
答案：C
3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin；s2＝－10cos.
则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
解析：当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.
答案：C
4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N＋)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
解析：把点(3,9)和(7,5)代入解析式验证知，A、C正确，又由题可知得排除C．故选A．
答案：A
5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图像如图所示，则当t＝ 秒时，电流强度是( )
A．－5安 B．5安
C．5安 D．10安
解析：解法一：由图知，当t＝秒时，电流强度I<0，故选A．
解法二：由图可知A＝10，周期T＝2×＝，∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．当t＝时，I取最大值10，∴100π×＋φ＝，∴φ＝.
∴I＝10sin.
∴当t＝时，I＝10sin＝10×＝－5.
答案：A
6．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )
解析：∵表示单位圆上的弧长，∴＝∠POA，即l＝∠POA.过O作弦AP的垂线，则|PA|＝2sin，即d＝2sin.其图像是周期为4π的正弦曲线，故选C．
答案：C
二、填空题
7．一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为α(rad)，α作为时间t(s)的函数，满足关系α(t)＝sin.经过________s单摆完成5次完整摆动．
解析：由解析式知，周期T＝＝π，∴单摆完成一次完整摆动需要π s，则完成5次完整摆动要经过5π s.
答案：5π
8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标有12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析：将解析式写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin.
答案：10sin
9．如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________________．
解析：设该振子振动的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t轴，振幅A为2，周期T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝＝，则y＝2sin.将点(0.1,2)代入，得φ＝.
故该振子振动的函数解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
三、解答题
10．心脏跳动时，血压在增加或减小．心脏每完成一次跳动，血压就完成一次改变，血压的最大值和最小值分别为收缩压和舒张压．设某人的血压满足函数关系式P(t)＝95＋Asinωx，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，其函数图像如图所示．
(1)根据图像写出该人的血压随时间变化的函数解析式；
(2)求出该人的收缩压，舒张压及每分钟心跳的次数．
解：(1)由图像可知，振幅A＝120－95＝25，周期T＝，由＝，知ω＝160π，于是P(t)＝95＋25sin160πt.
(2)收缩压为95＋25＝120(mmHg)；
舒张压为95－25＝70(mmHg)，
心跳次数为f＝＝80次．
11．如图，半径为4 m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2 m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻(P0)开始计算时间．
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求点P距离水面的高度y(m)与时间t(s)满足的函数关系；
(2)求点P第一次到达最高点需要的时间．
解：(1)建立如图所示的直角坐标系．
由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足函数关系
y＝Asin(ωt＋φ)＋2，
∵水轮每分钟旋转4圈，
∴T＝＝15.
∴ω＝＝.
∵水轮半径为4 m，
∴A＝4.
∴y＝4sin＋2.
当t＝0时，y＝0，
∴φ＝－.
∴y＝4sin＋2.
(2)由于最高点距离水面的距离为6，
∴6＝4sin＋2.
∴sin＝1.
∴t－＝＋2kπ(k∈Z)．
∴t＝5＋15k(k∈Z)．
∴当k＝0时，即t＝5(s)时，点P第一次到达最高点．
12．稳定房价是我国近几年实施宏观调控的重点，某市房地产介绍所对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(单位面积的价格，单位为元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？
求此楼盘在第三季度的平均单价大约是多少元．
解：当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000，
当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，
∴
∴
∴ω＝，φ＝0，
∴y＝500sinx＋9 500，
当x＝3时，y＝9 000.
∴此楼盘在第三季度的平均单价大约为9 000元．
13．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
解：(1)∵x∈[4,16]，
∴－≤x－≤，
∴－1≤sin≤1.
∴当sin＝1，即x＝14时，函数取最大值，此时最高温度为30 ℃；当sin＝－1，即x＝6时，函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，
∴最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin＋20＝15，得
sin＝－，
∴x－＝2kπ－(k∈Z)．
∵x∈[4,16]，∴x＝.
令10sin＋20＝25，得
sin＝，
∴x－＝2kπ＋(k∈Z)．
∵x∈[4,16]，
∴x＝.
∴该细菌能存活的最长时间为－＝(小时)．
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