第二章 平面向量
§2 从位移的合成到向量的加法
2.1 向量的加法
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一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A． B．
C． D．
解析：向量的加法要注意首尾相连：＋＋＝(＋)＋＝＋＝＋＝.
答案：C
2．下列向量的运算结果为零向量的是( )
A．＋
B．＋＋
C．＋＋＋
D．＋＋＋
解析：∵＋＋＋＝0，∴选D．
答案：D
3．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．＋＝
D．＋＝
解析：＋＋＝＋＝2，∴B错；
＋＝＝，∴C、D错．
答案：A
4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
解析：由|a＋b|＝|a|＋|b|知，a与b必共线且方向相同．
答案：A
5．M为正六边形ABCDEF的中心，O为平面上任意一点，则＋＋＋＋＋等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：∵O为平面上任意一点．
∴设O与A重合．
＋＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋(＋)＋2＋＋
＝5＋＋＝6.
答案：D
6．下列命题：
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；
②△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①错，a＋b＝0时，方向是任意的；
②正确；
③错，A、B、C共线时也满足；
④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.
答案：A
二、填空题
7．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，则＋＋＋＝________.
解析：原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
答案：
8．矩形ABCD中，|AB|＝，|B|＝1，则向量＋＋的长度等于________．
解析：因为ABCD为矩形，
所以＋＝，
所以＋＋＝＋＝2，如图，
所以|＋＋|＝2||＝
2＝4.
答案：4
9．已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，则在下列结论中，正确的有________．
①|＋|＝||；②|＋|＝||；
③|＋|＝||；④||2＋||2＝||2.
解析：∵∠A＝90°，由勾股定理可知||2＋||2＝||2，∴④正确．以和为邻边作?ABDC，可知＋＝，||＝||，
∴|＋|＝||，
∴①正确．∵|＋|＝||，与为相反向量，模相等，②正确．同理，③正确．
答案：①②③④
三、解答题
10．如图所示，D、E、F分别是△ABC中BC、CA、AB的中点，P是△ABC内任意一点，求证：＋＋＝＋＋.
证明：＝＋，＝＋，
＝＋，＋＋＝＋＋＝＋.
∵＝，
∴＋＋＝＋＝0，
∴＋＋
＝＋＋＋＋＋
＝＋＋＋(＋＋)
＝＋＋＋0
＝＋＋.
11．在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．
解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，
依题意作出平行四边形，如图．
在Rt△ABC中，||＝|v1|＝2.
|A|＝|v2|＝2，
∴||＝|v|＝ ＝＝4.
tanθ＝＝＝.
∴θ＝60°.
∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60°.
12．求证：|a|＋|b|≥|a＋b|.
证明：(1)当|a|＝0或|b|＝0时，显然成立．
(2)当|a|≠0，且|b|≠0时，设＝a，＝b，
则＝a＋b.
若a∥b且方向相同，则||＋||＝||，
即|a|＋|b|＝|a＋b|；
若a∥b且方向相反，则||＋||＞||，即|a|＋|b|＞|a＋b|.若a、b不共线，则||＋||＞||，即|a|＋|b|＞|a＋b|.
综上所述|a|＋|b|≥|a＋b|.
13.如图所示，在正六边形ABCDEF中，O是中心，＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
解：在?AFOB中，
∵＝b，＝a，
∴＝a＋b.
在?AOCB中，
＝＋＝a＋b＋a＝2a＋b.
由正六边形的性质，
有＝2＝2a＋2b，
＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.
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2.1 向量的加法自主学习 梳理知识课前基础梳理典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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