第二章 平面向量
§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量
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一、选择题
1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)，与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝
解析：分析选项知，当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝e2－2e1＝2＝2m，∴m与n共线．
答案：D
2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是( )
A．e＝ B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
解析：对于A，a＝0时，无意义，A错．
当a＝0时，B、C、D都对；当a≠0时，a与e同向或反向，且±|a|e＝a，故B、C不全面．
答案：D
3．如图所示，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
解析：解法一：∵＝－3，
∴＝－2＝2＝2(－)＝2(r－q)，
∴r＝＝＋＋＝＋3＝p＋3r－3q，
∴r＝－p＋q.
解法二：r＝＝＋＝q＋＝q＋(q－p)＝q－p.
答案：A
4．设向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B，C，D B．A，B，C
C．A，B，D D．A，C，D
解析：由已知，得＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，
∴∥，∴A，B，D三点共线．
答案：C
5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s＝( )
A．0 B．
C． D．3
解析：如图，∵＝＋＝4，∴＝3.
∴＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－＝－.
又∵＝r＋s，∴r＝，s＝－，
∴r－s＝－＝.
答案：C
6．已知向量a、b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是( )
①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；
②存在相异实数λ，μ，使λa＋μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x、y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD中，AB∥CD，＝a，＝b.
A．①②④ B．①③
C．②③④ D．③④
解析：①中，由2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e，得a＝－e，b＝－e，∴a与b共线；②中，λ，μ不同时为0，则λa＋μb＝0?a与b共线；③中x＋y＝0，若x＝y＝0时，则a与b不一定共线；④中a与b显然共线．
答案：A
二、填空题
7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于________．
解析：由＝2得，
－＝2(－)，
∴＝＋，
∴λ＝.
答案：
8．若2－(c＋b－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________.
解析：据向量的加法、减法及数乘运算可得x＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
9．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且＝3，＝3，若＝m＋n，其中m，n∈R，则m＋n＝________.
解析：＝＋，又m＋n＝m＋n
＝＋.
∴故(m＋n)＝2，
即m＋n＝.
答案：
三、解答题
10．有两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问：是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μ b与向量c共线？
解：d＝λa＋μ b＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝
(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.
要使d∥c，则存在实数k使d＝kc，
∴(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2，
∴
∴λ＝－2μ.
∴存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d∥c.
11．已知在平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0，求.
解：解法一：由题意得，3＝＋2，
＝＋，
所以＋＝＝＋.
所以＝(－)＝.
所以与共线．
所以＝＝2.
解法二：由题意得，(－)＋2(－)＝0，
∴＋2＝0，
∴2＝，∴＝2.
12．设M是?ABCD的边AB的中点，且DM与AC相交于H，求证：＝3.
证明：∵与共线，
∴设＝λ，
同理，设＝μ.
∵＋＋＝0，
∴＋－＝0，
(＋)＋－＝0，
＋＝0.
又∵与不共线，
∴
解得λ＝3.
∴＝3.
13．过△ABC的重心G任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若＝x，＝y，且xy≠0，试求＋的值．
解：如图，设＝a，＝b，
则＝＝＝(a＋b)．∴＝－＝a－b，
＝－＝xa－yb.
∵与共线，∴＝λ，
∴a－b＝xλa－yλb，
∴消去λ得＝，
即＋＝3.
课件42张PPT。第二章 平面向量 §3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量自主学习 梳理知识课前基础梳理向量方向相同方向相反0任意伸长或压缩原方向反方向伸长原方向反方向缩短实数与向量积非零向量典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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