第二章 平面向量
§3 从速度的倍数到数乘向量
3.2 平面向量基本定理
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一、选择题
1．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A．－＋ B．－－
C．－ D．＋
解析：由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，＝，∴＝＋＝－＋.故选A．
答案：A
2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．长方形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
解析：＝＋＋＝－8a－2b＝2，故为梯形．
答案：D
3．如图所示，点P在∠AOB的对角区域MON的阴影内，且满足＝x＋y，则实数对(x，y)可以是( )
A． B．
C． D．
解析：由图及平面向量基本定理知x<0，y<0.
答案：C
4．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝3，则＝( )
A．－b＋c B．b－c
C．b＋c D．b＋c
解析：＝＋＝c＋＝c＋(－)＝
c＋(b－c)＝b＋c.
答案：C
5．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数多对；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ、μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．②
解析：易知①④正确；对于②λ，μ应该是唯一的，所以②不正确；对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ的值有无穷多个，所以③不正确．
答案：B
6.如图，在△ABC中，＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若＝ma＋nb，则 m＋n＝( )
A． B．
C． D．1
解析：由题意可得＝2，＝2，因为＝a＝＋＝＋2，①
＝＋＝＋＝＋－＝＋－＝－＝b，②
由①②解方程求得＝a＋b.
再由＝ma＋nb可得
m＝，n＝，m＋n＝.
答案：C
二、填空题
7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．
解析：使a、b为基底则使a、b不共线，∴λ－2×2≠0.
∴λ≠4.
答案：{λ|λ≠4}
8．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.
解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，
∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
∵e1与e2不共线，∴
∴m＝，n＝－，∴e1＋e2＝a－b.
答案：a－b
9．如图，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝________.
解析：由题意得＝＋＝＋＝＋(＋＋)
＝＋＋·
＝＋，
又＝x＋y，
∴x＋y＝＋，
又∵与不共线，
∴x＝，y＝，
∴3x－2y＝3×－2×＝2－1＝1.
答案：1
三、解答题
10．如图，在?ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c、d表示和.
解：设＝a，＝b，
则由M、N分别为DC、BC的中点可得
＝b，＝a.
＋＝，即b＋a＝c，①
＋＝，即a＋b＝d.②
由①②可得a＝(2d－c)，b＝(2c－d)，
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
11．如图，已知在△OAB中，点C是以点A为中心的点B的对称点，点D是将分成2∶1的一个内分点，和交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)∵＝＋＝＋2，＝－，
∴＝2a－b，
＝＋＝＋2
＝＋2(－)＝2－＝2a－b.
(2)＝b－a，＝2(b－a)，
＝＋＝b＋2(a－b)＝2a－b，
＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b，
又＝－＝b－(2a－b)＝b－2a.
又、共线，存在唯一的实数m，使＝m.
(λ－2)a＋b＝m.
由向量相等的定义，得?
∴λ＝.
12. 在△OAB中，AB上有一点P(P与A、B不重合)设＝a，＝b，＝xa ＋yb(x，y均为非零实数)．
证明：x＋y＝1且＝.
证明：设＝λ(λ＞0)，则＝＝·(－)＝·(b－a)，
＝＋＝a＋(b－a)＝b＋a，
又∵＝xa＋yb，∴x＝，y＝，
∴x＋y＝＋＝1，且＝λ，即＝.
13．如图，在△ABC中，E为AB的中点，BD＝BC，AD∩CE＝M.设＝a，＝b，试用a，b表示向量.
解：过E作EF∥BC交AD于F，
∵E是AB中点，
∴F为AD中点，
∴＝＝＝.
∵△EFM∽△CDM，
∴＝＝(－)．
∵－＝＝(－)，
∴＝＋＝＋＝a＋b.
∴＝a＋b.
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3.2 平面向量基本定理自主学习 梳理知识课前基础梳理不共线任一不共线典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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