第二章 平面向量
§4 平面向量的坐标
4.1 平面向量的坐标表示
4.2 平面向量线性运算的坐标表示
4.3 向量平行的坐标表示
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一、选择题
1．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是( )
A．不共线 B．相等
C．同向 D．反向
解析：∵a＝(－2,4)＝－2(1，－2)＝－2b，
∴a与b共线，且方向相反，即反向．
答案：D
2．设向量＝(2,3)，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(3,5) D．(4,4)
解析：＝＋＝(1,2)＋(2,3)＝(3,5)，故选C．
答案：C
3．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．45° B．30°
C．60° D．30°或60°
解析：由a∥b得－2×＝1－cos2θ＝sin2θ，
∵θ为锐角，∴sinθ＝，∴θ＝45°.故选A．
答案：A
4．a＝(x,2)，b＝，c＝a＋2b，d＝2a－b且c∥d，则c－2d＝( )
A． B．
C．(1,2) D．(－1，－2)
解析：c＝(x,2)＋2＝(x＋1,4)，
d＝2(x,2)－＝，
∵c∥d，∴(x＋1)×3＝4，解得x＝1.
∴c＝(2,4)，d＝，
∴c－2d＝(2,4)－2＝(－1，－2)．
答案：D
5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接构成三角形，则c＝( )
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－4,6) D．(4，－6)
解析：由题意得4a＋(3b－2a)＋c＝0，
∴c＝－4a－(3b－2a)＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6)．
答案：D
6．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)．若ma＋nb与a－2b共线，则＝( )
A．－2 B．2
C．－ D．
解析：ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.
答案：C
二、填空题
7．已知a＝(－1,3)，b＝(x，－1)，且a∥b，则x＝________.
解析：∵a∥b，∴(－1)·(－1)－3x＝0，x＝.
答案：
8．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)，且a∥b，则tanθ＝________.
解析：∵a∥b，∴2sinθ－(cosθ－2sinθ)＝0，∴cosθ＝4sinθ，∴tanθ＝.
答案：
9．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，若＝λ＋μOB，则λ＋μ的值是________．
解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，已知＝(1,0)，＝(0,1)，又＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
∴又∵∠xOC＝，OC＝2，
∴x＝2cos＝，y＝2sin＝1.
∴λ＋μ＝＋1.
答案：＋1
三、解答题
10．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解：(1)＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，＝(a－1，
b－1)，
若A，B，C三点共线，则与共线．
∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0.
∴a＋b＝2.
(2)若＝2，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴
∴点C的坐标为(5，－3)．
11．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
解：(1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴∴
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴M.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又∵＝λ，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
即∴
12．已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE交CD于P，求△APC的面积．
解：如图，以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系．设A(0,0)，B(3a,0)，C(3b,3c)，
则＝＝(2a,0)，＝＝(3b－3a,3c)＝(2b－2a,2c)，＝＋＝(a＋2b,2c)，＝＋＝(3b－2a,3c)．
∵点A，P，E和D，P，C分别共线，
∴存在λ和μ，使＝λ＝(λ(a＋2b)，2λc)，
＝μ＝(μ(3b－2a)，3μc)．
又∵＝＋＝(2a＋μ(3b－2a)，3μc)，
∴
由②得μ＝λ，代入①，化简得7aλ＝6a，
∵a≠0，∴λ＝，∴μ＝×＝.
于是，△PAB的面积为14×＝8(cm2)，△PBC的面积为14×＝2(cm2)，
故△APC的面积为14－8－2＝4(cm2)．
13．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；
(3)对任意向量a，b及常数λ，μ，证明f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．
解：(1)由条件可得u(x，y)v(y,2y－x)，则f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)．
∴解得即c＝(3,4)．
(3)证明：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，
∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)，
又∵λf(a)＝λ(y1,2y1－x1)＝(λy1,2λy1－λx1)，
μf(b)＝μ(y2,2y2－x2)＝(μy2,2μy2－μx2)．
∴λf(a)＋μf(b)＝(λy1＋μy2,2λy1＋2μy2－λx1－μx2)．
∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．
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4.1 平面向量的坐标表示
4.2 平面向量线性运算的坐标表示
4.3 向量平行的坐标表示自主学习 梳理知识课前基础梳理相同平面向量基本定理坐标终点始点成比例平行典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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