第二章 平面向量
§5 从力做的功到向量的数量积
课时跟踪检测
一、选择题
1．下列命题：
①若a≠0，且b≠0，则a·b≠0；
②若a·b＝0，则a，b中至少有一个为0；
③若a≠0，由a·b＝a·c可得b＝c；
④若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立．
其中正确命题的个数是( )
A．0个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①为假命题，因为a与b垂直时，a·b＝0；②为假命题，因为a·b＝0也有可能a与b垂直但均不为零向量；③为假命题，由a≠0，a·b＝a·c可得b与c在a方向上的射影相等；④为假命题，例如：a⊥b，a⊥c，但b≠c，且a≠0也能使条件a·b＝a·c成立，所以四个命题均为假命题．
答案：A
2．向量a的模为10，它与x轴的夹角为120°，则它在x轴上的射影为( )
A．－5 B．－5
C．5 D．5
解析：射影为10×cos120°＝－5.
答案：A
3．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.向量a与b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
解析：∵|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9，
∴4a2－4a·b－3b2＝9，∴4×22－8cosθ－3＝9，∴cosθ＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：B
4．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．以上都不对
解析：∵a＋b＋c＝＋＋＝0，∴a＋b＝－c，
又∵a·b＝b·c＝c·a，∴c·(a－b)＝0.
∴－(a＋b)·(a－b)＝0，∴|a|＝|b|.
同理|a|＝|c|，|b|＝|c|.∴△ABC是等边三角形．
答案：C
5．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ等于( )
A． B．
C． D．
解析：＝＋λ，＝＋μ，
∴·＝(＋λ)·(＋μ)＝
·＋μ·＋λ·＋λμ·，
∴1＝2·2cos120°＋μ·2·2·cos0°＋λ·2·2·cos0°＋λμ·2·2cos120°，化简为4(λ＋μ)－2λμ＝3，①
又∵·＝－，∴(2－2λ)·(2－2μ)·cos120°＝
－，∴4(λ＋μ)－4λμ＝，②
①×2－②得，4(λ＋μ)＝，∴λ＋μ＝.
答案：C
6．(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1. 若点E为边CD上的动点，则·的最小值为 ( )
A． B．
C． D．3
解析：建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A，B，C，D，
点E在CD上，则＝λ(0≤λ≤1)，设E(x，y)，则＝λ，
即据此可得E，且＝，＝，由数量积的坐标运算法则可得，·＝＋λ×，整理可得·＝(4λ2－2λ＋2)(0≤λ≤1)，结合二次函数的性质可知，当λ＝时，·取得最小值.故选A．
答案：A
二、填空题
7．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．
解析：由已知得a·b＝0，(3a＋2b)·(λa－b)＝0，
∴3λa2－3a·b＋2λb·a－2b2＝0，
∴3λ×4－2×9＝0，∴λ＝.
答案：
8．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－6e1·e2＋4e1·e2－8e＝－5－2e1·e2＝－5－2×1×1×cos＝－6.
答案：－6
9．在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且·＝·，则·的值等于________．
解析：∵·＝·，
∴·(－)＝0，
·＝0.∴⊥.
又∵∠ABC＝30°，
∴∠BAD＝60°.
∴·＝||·||·cos60°＝(||·cos60°)·||·cos60°＝4.
答案：4
三、解答题
10．已知a和b夹角为60°，|a|＝5，|b|＝4.
(1)求|a＋b|；
(2)求a＋b与a的夹角θ的余弦值．
解：a·b＝|a|·|b|cos60°＝5×4×＝10.
(1)|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝25＋16＋2×10＝61，
∴|a＋b|＝.
(2)∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝25＋10＝35，
∴cosθ＝＝＝.
11．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示；
(2)求·的值．
解：(1)∵＝b－a，∴＝＋＝a＋b.
(2)a·b＝|a|·|b|cos120°＝－1，
·＝b2－a2＋a·b＝－.
12．已知O为△ABC所在平面上一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，试判断△ABC的形状．
解：如图，
(－)·(＋－2)
＝·[(－)＋(－)]
＝·(＋)＝0，
则·＝0，
又(＋)＝(D为BC中点)，
∴·＝0，∴⊥，即CB⊥AD.
∴△ABC为等腰三角形．
13．已知向量a＝(，－1)，b＝.
(1)求证：a⊥b；
(2)是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y？如果存在，试确定k与t的关系；如果不存在，请说明理由．
解：(1)证明：∵a＝(，－1)，b＝.
∴a·b＝－＝0，∴a⊥b.
(2)假设存在非零实数k和t，使x⊥y.
则[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
整理得－ka2＋[t－k(t2－3)]a·b＋t(t2－3)b2＝0.
∵a·b＝0，a2＝4，b2＝1，∴－4k＋t(t2－3)＝0.
∴k＝t(t2－3)(t≠0)．
∴存在非零实数k，t使x⊥y成立，其关系式为k＝(t3－3t)(t≠0)．
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