第二章 平面向量
§6 平面向量数量积的坐标表示
课时跟踪检测
一、选择题
1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
解析：a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7.
答案：D
2．已知|a|＝10，|b|＝12，且3a·b＝－36，则a与b的夹角是( )
A．150° B．135°
C．120° D．60°
解析：3a·b＝－36，∴a·b＝－60.
∴cosθ＝＝＝－，∴θ＝120°.
答案：C
3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6
C．6 D．8
解析：向量a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b得4×3＋(m－2)×(－2)＝0，解得m＝8，故选D．
答案：D
4．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，若⊥，则||＝( )
A． B．2
C．3 D．2
解析：以A为坐标原点，建立坐标系．则A(0,0)，E(2,0)，C(4，x)，D(0，x)，(x>0)．∴＝(2，－x)，＝(4，x)．
∵⊥，∴2×4＋(－x)·x＝0，x＝2.
∴＝(2，－2)，||＝ ＝2.
答案：B
5．(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A．－1 B．＋1
C．2 D．2－
解析：设a＝(x，y)，e＝(1,0)，b＝(m，n)，则由〈a，e〉＝得a·e＝|a|·|e|cos，即x＝ ，∴y＝±x，由b2－4e·b＋3＝0得m2＋n2－4m＋3＝0，即(m－2)2＋n2＝1，因此|a－b|的最小值为圆心(2,0)到直线y＝±x的距离减去半径1，为－1.故选A．
答案：A
6．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A． B．2
C． D．10
解析：∵a⊥c，∴2x－4＝0，x＝2，∴a＝(2,1)．
∵b∥c，∴1×(－4)－2y＝0，y＝－2，∴b＝(1，－2)．
∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝＝.
答案：C
二、填空题
7．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则·＝________.
解析：如图，设＝(x，y)，
∵OC⊥AB于点C，
∴·＝0，∥，
∴
即解得
∴·＝4x＝.
答案：
8．已知向量a＝(1,3)，a⊥(a－2b)，|a＋b|＝2，则|a－b|＝________.
解析：∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，a2＝2a·b，
又∵a＝(1,3)，∴2a·b＝10.
∴|a－b|2＝|a＋b|2－4a·b＝24－20＝4.∴|a－b|＝2.
答案：2
9．在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
解析：因为＝－＝(1，k－1)，且⊥，所以·＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
答案：4
三、解答题
10．已知a＝(－4，－3)，b＝(－3，－2)，c＝2a＋λb，d＝－a＋2λb，当实数λ为何值时，向量c－d与a垂直？
解：因为c＝2a＋λb，d＝－a＋2λb，
所以c－d＝(2a＋λb)－(－a＋2λb)＝3a－λb.
又a＝(－4，－3)，b＝(－3，－2)，
所以c－d＝3(－4，－3)－λ(－3，－2)＝
(－12＋3λ，－9＋2λ)．
又∵(c－d)⊥a，所以(－12＋3λ)×(－4)＋(－9＋2λ)×(－3)＝0，解得λ＝.
11．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D的坐标和向量.
解：(1)证明：＝(－3，－6)，＝(2，－1)．
∵·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，
∴⊥.∴AB⊥AC.
(2)设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，
＝(5,5)．
∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∴⊥.
∴·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①
又∵＝(x＋1，y＋2)，且与共线，
∴5(x＋1)＝5(y＋2)．②
由①②∴点D的坐标为.
∴＝＝.
12．已知向量a＝(1，y)，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.
(1)求|a|，并求b在a上的射影；
(2)若(ka＋2b)∥(2a－4b)，求实数k的值，并确定此时它们是同向还是反向？
解：(1)2a＋b＝(3,2y－3)，
∵(2a＋b)⊥b，∴3×1－3(2y－3)＝0，
y＝2.∴a＝(1,2)，∴|a|＝＝.
|b|cosθ＝＝＝－.
(2)ka＋2b＝(k,2k)＋(2，－6)＝(k＋2,2k－6)，
2a－4b＝(2,4)－(4，－12)＝(－2,16)．
∵(ka＋2b)∥(2a－4b)，
∴16(k＋2)＋2(2k－6)＝0，解得k＝－1.
此时，ka＋2b＝(1，－8)＝－(2a－4b)．
∴ka＋2b与2a－4b反向．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则
＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.
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