(共7张PPT)
单元复习课
第二章 相交线与平行线
考点 平行线的性质(考查方式:利用平行线的性质来计算角度)
【教材这样教】(P59T5)
如图,a∥b,计算∠1的度数.
解:因为a∥b,所以∠1与120°的对顶角为同旁内角互补,所以∠1=60°.
【中考这样考】
(2019·临沂中考)如图,a∥b,若∠1=100°,则∠2的
度数是 ( )
A.110° B.80°
C.70° D.60°
B
【专家这样说】此题考查了通过平行条件找到适当的角作为过渡角,把已知角和所求角联系起来,这里的过渡角不唯一,一般通过对顶角、邻补角、内错角、同位角、同旁内角等角关系实现过渡.
探究导学课型
平行线的判定
平行线的性质
平行
余角、补角的定义
余角、补角的性质
相交线与平行线
相交
对顶角的性质
垂直的性质
尺规作角
源头活水·话中考
120°
2
C
b
(共38张PPT)
第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第1课时
【知识再现】
_______由两条具有公共端点的射线组成.?
角
【新知预习】阅读教材P38-P39,解决以下问题:
1.相交线与平行线
(1)同一平面内的两直线有两种位置关系:_________和
_________.?
相交
平行
(2)定义:
①相交线:在同一平面内,只有_________公共点的两条
直线.?
②平行线:在同一平面内,___________的两条直线.?
一个
不相交
2.对顶角及性质
(1)定义:有_____________,且两边__________________
的两个角.?
(2)性质:对顶角_________.?
公共顶点
互为反向延长线
相等
(3)注意:①对顶角都是成对出现的.
②对顶角的实质是两直线相交所成的没有公共边的两个角.
③对顶角不仅反映了角的数量关系,还反映了角的位置关系.
3.余角和补角
(1)概念:
①如果两个角的和是_________,那么称这两个角互为
余角.?
②如果两个角的和是__________,那么称这两个角互为
补角.?
90°
180°
(2)性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,∠1与∠2是对顶角的是 ( )
D
2.已知∠A=50°,则∠A的余角的度数是_________.?
3.一个角的补角是40°,那么这个角的度数是_______.?
4.一个角和它的余角相等,则这个角的度数是______.?
40°
140°
45°
知识点一 对顶角(P38拓展)
【典例1】如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,
∠DOE=25°.
(1)写出图中所有的对顶角.
(2)求∠AOC的度数.
【尝试解答】(1)图中的对顶角有∠AOD和__________,
∠AOC和__________. ………………对顶角的定义?
(2)因为OE平分∠BOD,∠DOE=25°,
所以∠BOD=2∠DOE=2×25°=_________,?
………………角平分线的定义
∠BOC
∠BOD
50°
因为∠AOC和∠BOD是对顶角,
所以∠AOC=∠BOD=_________. …对顶角相等?
50°
【学霸提醒】
对顶角的三大特征
1.数量关系:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
2.位置关系:有公共顶点,两边互为反向延长线,也可看作两边形成两条相交的直线.
3.成对出现:对顶角是两个角的关系,其成对出现.
【题组训练】
1.(2019·珠海香洲区期中)如图,在所标识的角中,互
为对顶角的两个角是 ( )
A.∠1和∠2 B.∠1和∠4
C.∠2和∠3 D.∠3和∠4
D
★2.(2019·揭阳揭西期末)如图,已知直线AB、CD相
交于点O,OE平分∠COB,若∠EOB=65°,则∠BOD的度数
是 ( )
A.50° B.60°
C.80° D.70°
A
★3.如图,直线AD与CE相交于点O,若∠COB=44°,∠AOB=
90°.则∠EOD等于 ( )
A.136° B.44°
C.45° D.134°
D
★★4.(2019·汕头潮阳区月考)如图,已知直线AB,
CD,MN相交于O,若∠1=22°,∠2=46°,则∠3的度数为
( )
A.112° B.102°
C.68° D.46°
A
知识点二 互余、互补(P39拓展)
【典例2】(2019·长沙天心区期末)如果一个角与它的余角之比为1∶2,求这个角的补角度数.
【尝试解答】设这个角为x°,则这个角的余角为
_________, …………设未知量?
则______+_______=90, …………由余角定义列方程?
解得:x=_______, …………解方程?
所以这个角的补角为180°-_______°=________°.?
…………补角定义
2x°
x
2x
30
30
150
【学霸提醒】
余角和补角的计算方法
1.直接计算:
(1)∠α与∠β互余,则∠α=90°-∠β或∠β=90°-∠α.
(2)∠α与∠β互补,则∠α=180°-∠β或∠β=
180°-∠α.
2.方程思想:当问题中出现余角、补角之间的和差倍分关系时,可根据其中的相等关系,设未知数列方程求解.
【题组训练】
1.(2019·玉林中考)若α=29°45′,则α的余角等于
( )
A.60°55′ B.60°15′
C.150°55′ D.150°15′
B
★2.(2019·南京秦淮区期末)已知∠α与∠β互余,
若∠α=20°,则∠β的度数为 ( )
A.70° B.40° C.20° D.160°
A
★3.(2019·武汉江夏区期末)若一个角比它的补角大
90°,则这个角为 ( )
A.100° B.120° C.135° D.150°
C
★★4.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,OF平分∠BOD,
∠COB=∠AOC+45°,求∠AOF的度数.
解:因为∠COB+∠AOC=180°,又因为∠COB=∠AOC+
45°,所以∠AOC+45°+∠AOC=180°,
解得∠AOC=67.5°,∠COB=∠AOC+45°=112.5°.因为
OF平分∠BOD,所以OE平分∠AOC,∠EOC=∠EOA= ∠AOC
=33.75°.
又因为∠EOC与∠FOD是对顶角,
所以∠FOD=33.75°.
∠COB与∠AOD是对顶角,
所以∠AOD=∠COB=112.5°,
∠AOF=∠AOD+∠FOD=112.5°+33.75°=146.25°.
【火眼金睛】
如图,∠EOC=∠AOC=∠BOD=90°,有没有与∠BOC互补的角?
【正解】因为∠EOC=∠BOD=90°,
所以∠EOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC,
所以∠EOD=∠BOC,因为∠EOD与∠AOD互补,所以∠BOC与∠AOD互补.
【一题多变】
观察如图所示的各图,寻找对顶角(不含平角):
(1)如图a,图中共有______对对顶角;?
(2)如图b,图中共有______对对顶角;?
(3)如图c,图中共有_______对对顶角.?
(4)若有n条直线相交于一点,则可形成___________对
对顶角.(用含n的式子表示)?
2
6
12
n(n-1)
(5)若有2 019条直线相交于一点,则可形成__________
对对顶角.?
4 074 342
【母题变式】如图,直线AB和CD交于点O,∠COE=90°,
OD平分∠BOF,∠BOE=50°.
(1)求∠AOC的度数.
(2)求∠EOF的度数.
解:(1)因为∠COE=90°,∠BOE=50°,
且∠COE+∠EOB+∠BOD=180°,
所以,根据“对顶角相等”可得:
∠AOC=∠BOD=180°-∠COE-∠EOB
=180°-90°-50°=40°.
(2)因为OD平分∠BOF,
所以∠BOF=2∠BOD=80°,
则∠EOF=∠EOB+∠BOF=50°+80°=130°.
(共34张PPT)
1 两条直线的位置关系
第2课时
【知识再现】
在同一平面内,只有_________公共点的两条直线为相
交线.?
一个
【新知预习】阅读教材P41-P42,解决以下问题
1.垂线的有关概念
(1)文字语言描述
两条直线相交成四个角,如果有一个角是_________,那
么称这两条直线互相垂直,?
直角
其中一条直线叫做另一条直线的_________,它们的交
点叫做_________.?
垂线
垂足
(2)符号语言表达
如图所示:AB⊥CD,垂足为O.
2.垂线的性质
平面内,过一点_____________一条直线与已知直线垂
直.?
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,_______
_____最短.?
有且只有
垂线
段
3.点到直线的距离
过点A作直线l的垂线,垂足为B,___________的长度叫做
点A到直线l的距离.?
注意:①点到直线的距离是指垂线段的长度,而不是垂
线段.
②点到直线的距离是唯一的,若点在已知直线上,可看
作点到直线的距离是0.
线段AB
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,点O在直线CD上,AO⊥BO.若∠1=126°,则∠2=
_______度.?
36
2.如图,CB⊥AB,∠CBA与∠CBD的度数比是5∶1,则
∠DBA=_________.?
72°
知识点一 垂直的定义及应用(P41补充)
【典例1】(2019·汕头潮南区期末)如图,直线AB、CD相交于O点,∠AOC=80°,OE⊥AB,OF平分∠DOB,求∠EOF的度数.
【尝试解答】因为∠AOC=80°,
所以∠BOD=∠AOC=80°, …………对顶角相等
因为OF平分∠DOB,
所以∠DOF= __________=_______°,
………………角平分线的性质?
∠DOB
40
因为OE⊥AB,
所以∠AOE=_______°, …………垂直的定义?
因为∠AOC=80°,
所以∠EOD=180°-_________-_________=_______°,?
…………1平角等于180°
90
90°
80°
10
所以∠EOF=∠EOD+__________=_______°+_______°=
_______°. …………角的计算?
∠DOF
10
40
50
【学霸提醒】
垂直的两层意义
1.位置关系:垂直是两直线相交的特殊位置关系.
2.数量关系:垂直说明某些角的度数是90°,为计算角的度数提供了数量关系.
【题组训练】
1.(2019·镇江句容期末)如图,点O在直线DB上,OA⊥
OC,∠1=20°,则∠2的度数为 ( )
A.150° B.120°
C.110° D.100°
C
★2.(易错提醒题)(2019·南通海安期末)如图,直线
AB、CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O,∠EOC=35°15′.
则∠AOD的度数为 ( )
A.55°15′ B.65°15′
C.125°15′ D.165°15′
C
★3.(2019·北京石景山区期末)已知:如图,直线BO⊥
AO于点O,OB平分∠COD,∠BOD=22°.则∠AOC的度数是
( )
A.22° B.46°
C.68° D.78°
C
★★4.(2019·石家庄桥西区月考)如图,若OA⊥OB,
OC⊥OD,且∠AOC∶∠BOD=1∶2,则∠BOD=________°.?
120
知识点二 垂线的性质以及点到直线的距离的定义
(P42议一议拓展)
【典例2】(2019·盐城盐都区期末)如图,A、B、C是平面内三点.
(1)按要求作图:
①作射线BC,过点B作直线l,使A、C两点在直线l两旁.
②点P为直线l上任意一点,点Q为直线BC上任意一点,连接线段AP、PQ.
(2)在(1)所作图形中,若点A到直线l的距离为2,点A到直线BC的距离为5,点A、B之间的距离为8,点A、C之间的距离为6,则AP+PQ的最小值为_____,依据是____.?
【自主解答】略
【学霸提醒】
认识垂线及其性质的三点注意
1.线段和射线都有垂线.
2.点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数值,而垂线段是一个图形,对此要分清楚.
3.在实际问题中,确定路径最短或最短距离问题时,
首先将实际问题转化成数学问题,再作出垂线,并求出具体数值.
【题组训练】
1.(2019·保定定兴一模)下列图形中,线段MN的长度
表示点M到直线l的距离的是 ( )
A
★2.(2019·毕节中考)如图,△ABC中,CD是AB边上的
高,CM是AB边上的中线,点C到边AB所在直线的距离是
( )
A.线段CA的长度
B.线段CM的长度
C.线段CD的长度
D.线段CB的长度
C
★3.(2019·常州中考)如图,在线段PA,PB,PC,PD中,
长度最小的是 ( )
A.线段PA B.线段PB
C.线段PC D.线段PD
B
【火眼金睛】
如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5 cm,BC=3 cm,则BD的长度的取值范围是 ( )
A.大于3 cm
B.小于5 cm
C.大于3 cm或小于5 cm
D.大于3 cm且小于5 cm
【正解】选D.BA与BD这两条线段中,BD是垂线段,则BDBC,所以答案选D.
【一题多变】
如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.若∠EOC=68°,
求∠BOD的度数.
解:因为OA平分∠EOC,
所以∠AOC= ∠EOC= ×68°=34°,
所以∠BOD=∠AOC=34°.
【母题变式】
如图所示,O为直线AB上一点,∠AOC= ∠BOC,OC是
∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数.
(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.
解:略
(共32张PPT)
2 探索直线平行的条件
第1课时
【知识再现】
1.同一平面内的两条直线有两种位置关系:_________
和_________.?
2.平行线:在同一平面内,___________的两条直线.?
相交
平行
不相交
【新知预习】阅读教材P44-P45,解决以下问题:
1.同位角的识别
(1)同位角的定义:两条直线被_______________所截,
得到的八个角中,两个角分别在_____________的同一
方,并且都在第三条直线的_________,具有这种位置关
系的一对角叫做同位角.?
第三条直线
两条直线
同侧
(2)同位角的特征:
①同位角是_________出现的,并且是由三条直线组成
的,一边共线,另两边不共线.?
②同位角的顶点不是公共的.
③同位角在被截两直线的同一方,在截线的_________,
成字母“F”形.?
成对
同侧
2.平行线的判定
两条直线被第三条直线所截,如果同位角_________,那
么这两条直线平行.?
简称为:__________________________?
相等
同位角相等,两直线平行
3.平行线的基本性质
(1)过直线外一点有且只有_________直线与这条直线
平行.?
(2)平行于同一条直线的两条直线_________.?
一条
平行
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,在所标识的角中,同位角是 ( )
C
A.∠1和∠2 B.∠1和∠3
C.∠1和∠4 D.∠2和∠3
2.如图,已知∠1=70°,要使a∥b,则需具备另一个条
件 ( )
A
A.∠3=70° B.∠3=110°
C.∠4=70° D.∠2=110°
知识点一 认识同位角(P44图2-12拓展)
【典例1】如图,∠1和∠2是哪两条直线
被哪一条直线所截形成的?它们是什么
角?∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直
线所截形成的?它们是什么角?
【自主解答】∠1和∠2是直线EF,DC被直线AB所截形成的,它们是同位角,∠1和∠3是直线AB,CD被直线EF所截形成的,它们是同位角.
【学霸提醒】
判断两个角是否为同位角的三个技巧
1.若两个角的两边都不在同一条直线上,则这样的角不是同位角.
2.若两个角各有一边在同一条直线上,这条直线叫截线,这两个角的另一边所在直线为被截直线,若两个角都在截线的同旁,被截直线的同一方,则这两个角为同位角,否则不是.
3.为同位角关系的两角的两边组成的图形,如字母“F ”.
【题组训练】
1.(2019·重庆渝中区月考)如图,下列各组角中,不是
同位角的一组是 ( )
A.∠1与∠2 B.∠1与∠3
C.∠3与∠4 D.∠1与∠4
D
★2.(2019·杭州下城区期中)下列图形中,∠1和∠2
不是同位角的是 ( )
C
★3.如图,下列说法不正确的是 ( )
A.∠1与∠2是同位角
B.∠2与∠3是同位角
C.∠1与∠3是同位角
D.∠1与∠3不是同位角
C
★4.如图,能与∠1构成同位角的角有______个.?
2
知识点二 同位角相等,两直线平行(P45拓展)
【典例2】如图,已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=15°,∠2=
15°,AE与BF平行吗?为什么?
【规范解答】AE∥BF.
理由如下:
因为AC⊥AE,BD⊥BF,
所以∠EAC=∠FBD=90°. …………垂直的定义
因为∠1=∠2,
所以∠EAC+∠1=∠FBD+∠2, …………等式的性质
即∠EAB=∠FBG,
所以AE∥BF. …………同位角相等,两直线平行
【学霸提醒】
由同位角的关系判断两直线平行的三个步骤
1.判断两个同位角是否相等.
2.若相等判断截线和被截直线.
3.得出两条被截直线平行.
【题组训练】
1.已知直线AB和直线外一点P,过点P作直线与AB平行,
这样的直线有 ( )
A.有且只有一条 B.不止一条
C.不存在 D.不存在或只有一条
A
★2.(2019·天津河北区期中)如图,若∠A=∠CBE,则
下列关系正确的是 ( )
A.AB∥DC B.AD∥BC
C.∠A=∠C D.∠A+∠D=180°
B
★3.如图,直线a与直线b交于点A,与直线c交于点B,
∠1=120°,∠2=40°,要使直线b与直线c平行,可将直
线b绕点A逆时针旋转 ( )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
B
★4.(生活情境题)(2019·扬州邗江区期中)如图,木
工师傅用角尺画平行线的依据是__________________
_________.?
同位角相等,两直
线平行
【火眼金睛】
如图,已知∠1=∠2,可使EB∥FD成立吗?为什么?
【正解】不成立.因为∠1和∠2的两边都不在同一条直线上,所以它们不是同位角.因此由∠1=∠2不能得到EB∥FD.
【一题多变】
下列图形中(如图),∠1和∠2是同位角的有 ( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【母题变式】
【变式一】如图,与∠1是同位角的是 ( )
A.∠2 B.∠3
C.∠4 D.∠5
C
【变式二】下列图中,∠1与∠2是同位角的是 ( )
D
(共31张PPT)
2 探索直线平行的条件
第2课时
【知识再现】
同位角相等,两直线_________.?
平行
【新知预习】阅读教材P47-P48,解决以下问题:
1.内错角的定义:两条直线被第三条直线所截,得到的八个角中,两个角都在两条直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种位置关系的一对角叫做内错角.
2.同旁内角的定义:两条直线被第三条直线所截,得到的八个角中,两个角都在两条直线之间,并且都在第三条直线的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.
3.平行线的判别方法
①同位角_________,两直线平行.?
②内错角_________,两直线平行.?
③同旁内角_________,两直线平行.?
相等
相等
互补
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
如图,能判定EB∥AC的条件是 ( )
D
A.∠C=∠ABE
B.∠A=∠EBD
C.∠C=∠ABC
D.∠A=∠ABE
知识点一 认识内错角、同旁内角(P47图2-16拓展)
【典例1】如图,在用数字标出的各角中,找出所有的同位角、内错角、同旁内角.
【自主解答】同位角:∠1与∠8、∠1与∠3、∠3与∠5、∠4与∠2.
内错角:∠2与∠7、∠3与∠6,∠4与∠8,∠5与∠7.
同旁内角:∠1与∠6、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠7、∠5与∠8.
【学霸提醒】
同位角、内错角、同旁内角的特征
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结
构特征
同位角 在两条被截直线的同一侧,在截线的同旁 形如字
母“F”
角的名称 位置特征 基本图形 图形的结
构特征
内错角 在两条被截直线之间,在截线的两旁 形如字
母“Z”
同旁内角 在两条被截直线之间,在截线的同旁 形如字
母“U”
1.(2019·南京期中)如图,∠1的内错角是 ( )
A.∠2 B.∠3
C.∠4 D.∠5
A
★2.(2019·资阳安岳期末)如图所示,下列结论中不
正确的是 ( )
A.∠1和∠2是同位角
B.∠2和∠3是同旁内角
C.∠1和∠4是同位角
D.∠2和∠4是内错角
A
★3.(2019·嘉兴桐乡期中)如图,与∠B互为同旁内角
的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
★★4.如图,用数字标出的八个角中,同位角、内错角、同旁内角分别有哪些?请把它们一一写出来.
解:内错角:∠1与∠4,∠3与∠5,∠2与∠6,∠4与∠8;
同旁内角:∠3与∠6,∠2与∠5,∠2与∠4,∠4与∠5;同位角:∠3与∠7,∠2与∠8,∠4与∠6.
知识点二 内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行(P48“做一做”拓展)
【典例2】已知:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,E是AC上一点且∠1+∠2=90°.试说明:DE∥BC.
【尝试解答】因为CD⊥AB,
所以∠1+__________=90°. ……垂直定义?
因为∠1+∠2=90°,
所以__________=∠2. ……同角的余角相等?
所以DE∥BC. ……内错角相等,两直线平行
∠CDE
∠CDE
【学霸提醒】
由两个角的数量关系判定两条直线平行的四步法
1.描边:描出两个角的两边.
2.定三线:确定截线和被截线,共线的边是截线,另外两边是被截线.
3.定关系:确定两角的位置关系和数量关系.
4.判定:同位角或内错角相等→两直线平行;同旁内角互补→两直线平行.
【题组训练】
1.(2019·昆明五华区一模)如图所示,点
E是AD延长线上一点,如果添加一个条件,
使BC∥AD,则可添加的条件为 ( )
A.∠C+∠ADC=180° B.∠A+∠ADC=180°
C.∠CBD=∠ADC D.∠C=∠CDA
A
★2.如图,给出下列几个条件:①∠1=∠4;②∠3=∠5;
③∠2+∠5=180°;④∠2+∠4=180°,能判断直线a∥b
的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
★3.如图所示,FE⊥CD,∠2=25°,猜想当∠1=_________
时,AB∥CD.?
65°
★★4.如图,∠1=∠2=60°,ED平分∠BEF,试说明:AB∥
CD.
解:因为ED平分∠BEF,∠2=60°,
所以∠BEF=2∠2=120°,
因为∠1=60°,
所以∠1+∠BEF=180°,
所以AB∥CD.
【火眼金睛】如图,∠BAF=46°,∠ACE=136°,CE⊥CD.
问CD∥AB吗?为什么?
【正解】CD∥AB,理由:因为∠BAF=46°,
所以∠BAC=180°-∠BAF=180°-46°=134°,
因为CE⊥CD,所以∠DCE=90°,
所以∠ACD=360°-∠ACE-∠DCE=360°-136°-90°=
134°,
所以∠ACD=∠BAC,
所以CD∥AB.
【一题多变】如图,已知∠1=70°,要使AB∥CD,则必
须具备的另一个条件为 ( )
C
A.∠2=70° B.∠2=100°
C.∠2=110° D.∠3=110°
【母题变式】
如图,已知∠BED=∠B+∠D,试说明AB与CD的位置关系.
解:略
(共32张PPT)
3 平行线的性质
第1课时
【知识再现】
①同位角_________,两直线平行.
②内错角_________,两直线平行.?
③同旁内角_________,两直线平行.?
相等
相等
互补
【新知预习】阅读教材P50,解决以下问题:
平行线的性质
1.两条平行直线被第三条直线所截,同位角
_________.?
简称为:两直线平行,同位角_________.?
符号语言表达:因为a∥b,所以∠1=∠2.
相等
相等
2.两条平行直线被第三条直线所截,内错角_________.?
简称为:两直线平行,内错角_________.?
符号语言表达:因为a∥b,所以∠2=∠3.
相等
相等
3.两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角_____.?
简称为:两直线平行,同旁内角_________.?
符号语言表达:因为a∥b,所以∠3+∠4=180°.
互补
互补
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,已知直线a,b被直线c所截,a∥b,∠1=70°,则
∠2=________°.?
110
2.如图,∠B=35°,若AB∥CD,CB平分∠ACD,则∠ACD=
_______°.?
70
知识点一 平行线的性质(P51习题T1拓展)
【典例1】如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,
∠1=55°,求∠2的度数.
【尝试解答】
因为AB⊥BC, …………已知
所以∠ABC=_________,?
…………垂直的定义
所以∠1+∠3=180°-∠ABC=_______°,?
…………1平角等于180°
90°
90
因为∠1=55°, …………已知
所以∠3=_______°-∠1=_______°-55°?
=_______°, …………代入计算?
因为a∥b, …………已知
所以∠2=________=_______°.?
…………两直线平行,同位角相等
90
90
35
∠3
35
【学霸提醒】
平行线性质的直接应用的关键和方法
1.关键:判断出所确定两个角的位置关系,然后确定两角相等或互补.
2.方法:两平行线是被截线,两角公共边(在同一直线上的边)是截线,依此可确定两个角的关系.
【题组训练】
1.(2019·湘西州中考)如图,直线a∥b,∠1=50°,
∠2=40°,则∠3的度数为 ( )
A.40° B.90°
C.50° D.100°
B
★2.(2019·衡阳中考)如图,已知AB∥CD,AF交CD于点
E,且BE⊥AF,∠BED=40°,则∠A的度数是( )
A.40° B.50°
C.80° D.90°
B
★3.(2019·绵阳中考)如图,AB∥CD,∠ABD的平分线
与∠BDC的平分线交于点E,则∠1+∠2=_________.?
90°
★★4.(2019·南京秦淮区期中)如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E,F,EG平分∠AEF,∠EGF=35°,求∠EFG的度数.
解:因为AB∥CD,∠EGF=35°,所以∠AEG=∠EGF=35°,
∠EFG+∠AEF=180°.因为EG平分∠AEF,所以∠AEF=
2∠AEG=2×35°=70°,
所以∠EFG=180°-∠AEF=180°-70°=110°.
知识点二 平行线的性质的应用(P50“做一做”拓展)
【典例2】(2019·南京江宁区月考)某模
具厂生产一种钢板,如图所示,已知该模
具的边AB∥CF,CD∥AE,按生产规定,边AB
和边CD的延长线必须成80°的角才算合格,因交点不
在模板上,不便测量,这时,李师傅告诉徒弟只需测一
个角,便可知道钢板是否符合规定,你知道需要测量哪
个角吗?请说明理由.
【自主解答】
延长AB,CD相交于点G.
因为AB∥CF,CD∥AE,
所以∠C+∠BGD=180°,∠A+∠BGD=180°(两直线平行,同旁内角互补),
因为∠BGD=80°,
所以∠C=100°,∠A=100°,所以测量∠C或∠A的度数均可,只需∠C=100°或∠A=100°即可.
【学霸提醒】
平行线性质的间接应用的几种类型
1.求相关角的余角或补角.
2.与角平分线有关的计算.
3.添加辅助线构造平行线,求相关角的度数.
【题组训练】
1.(2019·成都中考)将等腰直角三角形纸片和长方形
纸片按如图方式叠放在一起,若∠1=30°,则∠2的度
数为 ( )
A.10° B.15°
C.20° D.30°
B
★2.(2019·扬州中考)将一个长方形纸片折叠成如图
所示的图形,若∠ABC=26°,则∠ACD=__________.?
128°
★3.(2019·东莞月考)如图,一条“U”型水管中
AB∥CD,若∠B=55°,则∠C=__________.?
125°
★★4.(生活情境题)如图,A、B之间是一
座山,要修一条铁路通过A、B两地,在A地
测得铁路走向是北偏东58°11′.如果A、
B两地同时开工开隧道,那么在B地按北偏西多少度施
工,才能使铁路隧道在山腹中准确接通?
解:因为AC∥BD,所以∠A+∠B=180°,
因为∠A=58°11′,所以∠B=121°49′.
即在B地按北偏西121°49′施工,才能使铁路隧道在山腹中准确接通.
【火眼金睛】
珠江流域某江段江水流向经过B,C,D三点拐弯后与原来相同,如图,若∠ABC=120°,∠BCD=80°,则∠CDE=
________度.?
【正解】过点C作CF∥AB,则CF∥DE.
因为CF∥AB,
所以∠BCF=180°-∠B=60°,
所以∠DCF=∠BCD-∠BCF=80°-60°=20°,
因为CF∥DE,所以∠CDE=∠DCF=20°.
答案:20
【素养培优】
已知直线l1∥l2,l3和l1,l2分别交于C,D两点,点A,B分别在直线l1,l2上,且位于l3的左侧,点P在直线l3上,且不和点C,D重合.
(1)如图①,有一动点P在线段CD之间运动时,试确定∠1、∠2、∠3之间的关系,并给出理由.
(2)如图②,当动点P在线段CD之外运动时,上述的结论是否成立?若不成立,则满足什么关系,并给出理由.
解:略
(共33张PPT)
3 平行线的性质
第2课时
【知识再现】
平行线的性质
1.两直线平行,同位角_________;?
2.两直线平行,内错角_________;?
3.两直线平行,同旁内角_________.?
相等
相等
互补
【新知预习】阅读教材P52,解决以下问题:
平行线的性质应用的几何推理(如图)
(1)因为AB∥CD, 根据:两直线平行,内错角_________.
所以∠1=________.?
(2)因为AB∥CD, 根据:两直线平行,同位角_________.
所以∠3=________.?
(3)因为AB∥CD, 根据:两直线平行,同旁内角_________.
所以____________=180°.?
相等
∠2
相等
∠2
互补
∠4+∠2
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,AB与CD相交于点O,如果∠D=∠C=40°,∠A=
80°,那么∠B的度数是 ( )
B
A.40° B.80°
C.60° D.100°
2.如图,∠1=80°,∠2=80°,∠3=84°,则∠4=________.?
96°
知识点一 综合运用平行线的性质与判定进行计算或说
理(P52例3拓展)
【典例1】(2019·重庆渝中区月考)如图,已知∠1+∠2
=180°,且∠1=∠D,试说明:BC∥DE.
【尝试解答】因为∠1+∠2=180°,
又因为∠1=∠3. …………对顶角相等
所以∠2+∠3=__________. ……等量代换?
所以_______∥CD.?
所以∠4=________. ……两直线平行,同位角相等?
又因为∠1=∠D.
180°
AB
∠1
所以∠D=∠4. …………等量代换
所以BC∥DE. …………内错角相等,两直线平行
【学霸提醒】
平行线的性质与判定的区别与联系
1.区别:
(1)性质:根据两条直线平行,来说明角的相等或互补.
(2)判定:根据两角相等或互补,来说明两条直线平行.
2.联系:它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提;它们的条件和结论是互逆的.
3.总结:已知平行用性质,要说明平行用判定.
【题组训练】
1.(2019·遵义中考)如图,∠1+∠2=180°,∠3=104°,
则∠4的度数是 ( )
A.74° B.76°
C.84° D.86°
B
★2.如图,已知∠1=∠2,∠D=78°,则∠BCD= ( )
A.98° B.62°
C.88° D.102°
D
★3.(2019·聊城东阿二模)如图,已知∠1=36°,∠2
=36°,∠3=140°,则∠4的度数等于 ( )
A.40° B.36°
C.44° D.100°
A
★4.(2019·佛山顺德区期末)如图,若∠1=∠D,∠C=
72°,则∠B=__________.?
108°
★★5.(2019·临沂郯城期中)已知:∠1=∠2,∠3=∠4,
∠5=∠6.试说明:ED∥FB.
解:因为∠3=∠4(已知),
所以CF∥BD(内错角相等,两直线平行),
所以∠5+∠CAB=180°(两直线平行,同旁内角互补).因为∠5=∠6(已知),
所以∠6+∠CAB=180°(等量代换),
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),
所以∠2=∠EGA(两直线平行,同位角相等).
因为∠1=∠2(已知),
所以∠1=∠EGA(等量代换),
所以ED∥FB(同位角相等,两直线平行).
知识点二 利用平行线的性质与判定解决实际问题
(P54T6拓展)
【典例2】如图,某煤气公司安装煤气管
道,他们从点A处铺设到点B处时,由于有
一个人工湖挡住了去路,需要改变方向经过点C,再拐
到点D,然后沿与AB平行的DE方向继续铺设,如果∠ABC
=135°,∠BCD=65°,求∠CDE的度数.
【自主解答】
如图,
作CF∥AB,
因为AB∥DE,
所以CF∥DE,
因为CF∥AB,
所以∠BCF=∠ABC=135°,
所以∠DCF=∠BCF-∠BCD
=135°-65°=70°,
因为CF∥DE,
所以∠DCF+∠CDE=180°,
所以∠CDE=180°-∠DCF
=180°-70°
=110°.
【学霸提醒】
几何题目推理过程的一般要求和方法
1.前因后果:解答过程中,一定要注意前后的因果关系,即每一步骤必须满足一定的推理.
2.推理依据:所学过的图形的性质和判别方法.
3.分析思路:可由已知逐步推理得结论,也可由结论分析所需条件,逐步得已知.
【题组训练】
1.如图所示,一条公路两次转弯后,和原来的方向相同,
如果第一次拐的角是36°,第二次拐的角是_______度,
根据__________________________.?
36
两直线平行,内错角相等
★2.(2019·襄阳老河口市期中)一大门的栏杆如图所示,BA垂直于地面AE于A,CD平行于地面AE,若∠BCD=
150°,求∠ABC的度数.
解:过点B作BF∥CD,因为CD∥AE,
所以CD∥BF∥AE,
所以∠1+∠BCD=180°,
∠2+∠BAE=180°,
因为∠BCD=150°,∠BAE=90°,
所以∠1=30°,∠2=90°,
所以∠ABC=∠1+∠2=120°.
【火眼金睛】
如图,已知:∠1=∠2,∠D=50°,求∠B的度数.
【正解】因为∠1=∠2,∠1=∠AGF,
所以∠2=∠AGF,所以AB∥CD,
所以∠D+∠B=180°,因为∠D=50°,
所以∠B=180°-∠D=180°-50°=130°.
【一题多变】
如图,∠1=120°,∠2=60°,∠3=100°,则∠4=_______时,AB∥EF.?
100°
【母题变式】
已知如图,AB∥CD,试解决下列问题:
(1)∠1+∠2=__________.?
(2)∠1+∠2+∠3=__________.?
(3)∠1+∠2+∠3+∠4=__________.?
(4)试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=_______________.?
180°
360°
540°
180°(n-1)
(共29张PPT)
4 用尺规作角
【新知预习】
1.尺规作图
(1)工具:直尺和圆规.
①直尺用来作直线、_________、射线或延长_________
等;?
线段
线段
②圆规用来作圆或圆弧等,也可用来截取_________.?
(2)基本步骤:①写出_________;②写出_________;③写
出作法并作图.?
(3)作图要求:作图时要保留作图_________.有时,根据
题目要求,可省略作法.?
线段
已知
求作
痕迹
2.作一个角等于已知角
(1)作法:
①作角的一边:先画一条_________;?
②画两弧:先以已知角_________为圆心,任意长度为半
径画弧且与角的两边有_________,再以射线_________
为圆心,同样长度为_____画弧,且与射线交于___点;?
射线
顶点
交点
端点
半径
一
③再画弧:以②中射线与弧的_________为圆心,以已知
角中两交点间的_________为半径画弧,与另一弧交于
_______点;?
④作角的另一边:连射线的_________和③中的交点作
射线.?
交点
距离
一
端点
(2)应用:通过作已知角的同位角或内错角,可以得两
条直线_________.?
平行
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列关于作图的语句中正确的是 ( )
A.画线段AB等于直线CD
B.画射线OB=10厘米
C.作∠BAC的平分线AD=5 cm
D.过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行
D
2.下列属于尺规作图的是 ( )
A.用刻度尺和圆规作△ABC
B.用量角器画一个300°的角
C.用圆规画半径为2 cm的圆
D.作一条线段等于已知线段
D
知识点一 尺规作图的意义(P55“做一做”拓展)
【典例1】下列作图属于尺规作图的是 ( )
A.用量角器画出∠AOB的平分线OC
B.借助直尺和圆规作∠AOB,使∠AOB=2∠α
C.画线段AB=3 cm
D.用三角尺过点P作AB的垂线
B
【学霸提醒】
尺规作图的两点注意
(1)所作图形不可能出现线段大小含义,因为直尺无刻度.
(2)尺规作图的描述必须是一个完整的句子.
【题组训练】
1.在下列各题中,属于尺规作图的是 ( )
A.利用三角板画45°的角
B.用直尺和三角板画平行线
C.用直尺画一工件边缘的垂线
D.用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
D
★2.尺规作图的画图工具是 ( )
A.刻度尺、量角器
B.三角板、量角器
C.直尺、量角器
D.没有刻度的直尺和圆规
D
★3.下列画图的语句中,正确的为 ( )
A.以点O为圆心画弧
B.过A,B,C三点画一条直线
C.延长射线BA到C,使BA=AC
D.画线段CD=2 cm
D
知识点二 用尺规作角(P56“议一议”拓展)
【典例2】已知∠α,∠β,如图,画∠AOB=∠α+∠β.
【自主解答】如图所示:∠AOB就是要作的角.
【学霸提醒】
作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧”
先画一条射线,再作三次弧,其中前两次弧半径相同,而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离为半径.
【题组训练】
1.如图,用尺规作图,“过点C作CN∥OA”,其作图依据
是 ( )
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角相等,两直线平行
D.同旁内角互补,两直线平行
B
★2.(易错提醒题)用直尺和圆规作一个角等于已知角,
如图,下列叙述正确的个数为 ( )
①OA=O′A′;②OB=O′B′;③CD=C′D′;
④∠AOB=∠A′O′B′.
A.1 B.2
C.3 D.4
B
★★3.如图,已知∠1,∠2,画出一个角,使它等于3∠1
-∠2.(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
解:略
【火眼金睛】
如图所示,已知∠BAC,求作∠EDF=∠CAB的作图痕迹.则下列说法中,正确的是 ( )
A.因为边的长度对角的大小无影响,所以BC弧的半径长度可以任意选取
B.因为边的长度对角的大小无影响,所以过点E的弧的半径长度可以任意选取
C.因为边的长度对角的大小无影响,所以FE弧的半径长度可以任意选取
D.以上三种说法都正确
【解析】选A.由作一个角等于已知角的方法可知,弧EF的半径等于弧BC的半径,但弧BC的半径可以任意选取,过点E的弧是以点F为圆心,BC的长为半径的弧,所以过点E的弧的半径的长度确定.
【一题多变】
如图,在一个三角形支架上要加一根横杆DE,使DE∥BC,请你用尺规作出DE的位置,不写作法,保留作图痕迹,并说明理由.
解:略
【母题变式】
【变式一】尺规作图:如图,已知∠α和直角∠AOB,在∠AOB的内部以点O为顶点作∠β,使∠β=90°-∠α
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
解:如图所示:∠AOC即为所求.
【变式二】已知∠α和∠β(其中∠α>∠β),求作一个角,使它等于∠α-∠β.
解:如图,作∠BOC=∠α,∠BOA=∠β,
则∠AOC就是所求作的角.
