课件22张PPT。1.3 正方形的性质与判定第1课时 正方形及其性质北师大版数学九年级上册1课堂讲解正方形的定义
正方形的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
1知识点正方形的定义正方形的定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行
四边形叫做正方形.知1－讲1下面四个定义中不正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的
平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形知1－练B2知识点正方形的性质知2－导议一议
(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？
(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交流．
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形
的所有性质．（正方形边的性质）知识点知2－讲正方形的性质：
具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即
四条边相等，邻边垂直，对边平行；知识点知2－讲例1 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延
长线上一点，且CE＝CF . BE与DF之间有怎样的关系？
请说明理由．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，
四个角都是直角)．
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.知识点知2－讲(2)延长BE交DF于点M(如图)．
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°.
∴BE⊥DF.知2－讲例2 如图，在正方形ABCD中，E 为CD 上一点，F 为BC 延长线上一点，CE =CF.
(1)求证：△BCE ≌△DCF；
(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数. 利用正方形的性质解题，由于正方形的性质较多，解题时不宜一一列出来，需要根据题中已知条件，结合要证明的结论，选择证明结论成立所必需的性质，使解题思路更简洁.导引：知2－讲（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴ BC=DC，∠BCE =∠DCF =90° .
又∵ CE=CF，
∴△BCE ≌△DCF.
（2）解：∵△ BCE ≌△ DCF，∠ BEC=60°，
∴∠ DFC= ∠ BEC=60° .
∵ CE=CF，∠ ECF=90°，
∴∠ CFE=45° .
∴∠ EFD=∠ DFC- ∠ CFE=60°-45°=15°.证明：知2－讲 通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步
得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最
常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直
角为证明三角形全等提供了条件．知识点知2－讲议一议
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？
你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同
伴交流．解：1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分知2－练B2如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，
使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH. 若
BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A．3 B．4
C．5 D．6知2－练B知2－讲例3 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，
AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．线段BE是Rt△ABE的一边，但由于
AE未知，不能直接用勾股定理求BE，
由条件可证△ABE≌△AFE，问题转
化为求EF的长，结合已知条件易获解．导引：（正方形角的性质） ∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，AC
∴FC＝AC－AF＝( －1)(cm)，∴BE＝( －1) cm.解：知2－讲 解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边
相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正
方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解
决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．知2－讲1 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD
的中点，若M，N是AD上的两点，连接MO，
NO，并分别延长交边BC于M′，N′两点，则图
中的全等三角形共有( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对知2－讲C 正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．
?1.必做: 完成教材P22，T1-T4
2.补充: 请完成《点拨训练》P12—P13对应习题！谢谢！课件16张PPT。1.3 正方形的性质与判定第2课时 正方形的判定北师大版数学九年级上册1课堂讲解正方形的对称性
正方形的判定2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？1知识点正方形的对称性正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形.
它的中心是对称中心，有4条对称轴，分别是两条
对角线和每组对边中点连线所在直线.知1－讲知识点知1－讲例1 如图, 正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，
BE=1，F为AB上的一点，AF =2，P为AC上一个
动点，则PF+PE的最小值为_______.
找到点F关于直线AC的对称点M，连接
EM, 计算EM的长即可. 如图, 在AD上
取一点M，使AM=2, 点M即为点F关于
直线AC的对称点. 连接EM，过M点作
MN⊥BC于N，由题意可知EN = BN－
BE =AM－BE=2－1，易得MN＝4，
∴EM＝ 导引:知1－讲 正方形是特殊的平行四边形，正方形关于它的
对角线所在直线对称. 求两线段和的最小值，往往
要通过轴对称的方式将同侧两点转化为异侧两点，
通过两点间线段最短求得两线段和的最小值.2知识点正方形的判定议一议
满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件
的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．知2－导知识点知2－讲1.正方形的判定定理：
（1）定理1：对角线相等的菱形是正方形.
（2）定理2：对角线垂直的矩形是正方形.
（3）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
（4）定理4：有一组邻边相等的矩形是正方形.
请你证明以上定理.知2－讲2.判定方法：
(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是
正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形．
(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的
平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形
是正方形．
(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互
相垂直的矩形是正方形．
(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相
等的菱形是正方形．知2－讲例2 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平
分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是
正方形．
? ∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝ ∠ABC＝45°，∠ECB＝ ∠DCB＝45°.
∴∠EBC＝∠ECB. ∴EB＝EC. 证明：知2－讲∴ BECF是菱形(菱形的定义)．
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是
正方形)．1如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
不添加任何辅助线，请添加一个条件_____________
_____________，使四边形ABCD是正方形．(填一个即可)知2－练∠BAD＝90°（答案不唯一）2在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，则下列三种说法：
①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形；
②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个知2－练B正方形的判定：
?平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等一个内角是直角一组邻边相等对角线垂直对角线相等一个内角为直角1.必做: 完成教材P25，T1-T4
2.补充: 请完成《点拨训练》P14—P15对应习题！
谢谢！
