课件23张PPT。2.1 认识一元二次方程第1课时 一元二次方程北师大版数学九年级上册1课堂讲解一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式
利用一元二次方程建立实际问题模型2课时流程逐点
导讲练课堂小结课后作业幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
如果设所求的宽度为x m，
那么你能列出怎样的方程？
观察下面等式：
102＋112＋122＝132＋142. 你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？ 1知识点一元二次方程的定义议一议由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8－2x)(5－2x)＝18，
x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2，
(x＋6)2＋72＝102.
这三个方程有什么共同特点？知1－导知1－讲1.定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的识别方法：整理前是整式方程，且只含一个未知数；整理后未知数的最高次数是2.知识点知1－讲 例1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有( )
A．1个 B. 2个 C．3个 D．4个
导引：要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程
及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一
元二次方程的条件．①中有两个未知数；②不是整
式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次
项系 数为零．
知1－讲一元二次方程的识别方法：
整理前：①整式方程，②只含一个未知数；
整理后：未知数的最高次数是2.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0如果方程(m－3)xm2-7－x ＋3 ＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )
A． ±3 B． 3
C．﹣ 3 D．无法确定知1－练DC2知识点一元二次方程的一般形式知2－讲 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式 .知2－讲一元二次方程的项和各项系数a x2+b x+ c =0知2－讲例2 把下列一元二次方程转化成一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.(1) (x+1)(x-2)=4；
(2) 2(x-3)(x+4)=x2-10；
(3) (2x+1)(x-2)=5-3x.解：（1）整理方程，得：x2-x-6=0.
其中二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-6.
（2）整理方程，得：x2+2x-14=0.
其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-14.
（3）整理方程，得：2x2-7=0.
其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-7.知2－讲(1)ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方
程，但b，c可以是0.
(2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去
分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．
(3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；
指出某项系数时应连同它前面的符号一起. 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，
c的值分别是( )
A．1，－3，10 B．1，7，－10
C．1，－5，12 D．1，3，2知2－练A关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－1＝0
的常数项为0，则m等于( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0知2－练B知3－讲3知识点利用一元二次方程建立实际问题模型一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世 界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达．
常用一元二次方程来建模的问题有：图形的面
积、增长(利润)率、行程问题、工程问题等． 例3 小雨在一幅长90 cm，宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽
度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整
个挂图面积 的54%，设边框的宽度为x cm，根据题意，列
出方程．
知3－讲解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.知3－讲 建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润公式等)进行列方程．
某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，设这两年的年利润平均增长率为x，应列方程是( )
A．300(1＋x)＝507
B．300(1＋x)2＝507
C．300(1＋x) ＋ 300(1＋x2)＝507
D．300＋300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507知3－练B判别一元二次方程的“两方法”：
(1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含有一
个未知数；三是未知数的最高次数是2.
(2)根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx＋c
＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以为0；
二是判断是否为一元二次方程与其解的情况无关． 完成教材P32 T1-T4
谢谢！课件19张PPT。2.1 认识一元二次方程第2课时 一元二次方程的解
及其估算北师大版数学九年级上册1课堂讲解一元二次方程的解
一元二次方程解的估算2课时流程逐点
导讲练课堂小结课后作业复习提问
1.一元二次方程的定义是什么？
2.一元二次方程的形式有哪些？1知识点一元二次方程的解一元二次方程的解：能使一元二次方程两边的值相
等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一
元二次方程的根．
验证一个未知数的值是否是一元二次方程的根，只
需将这个未知数的值分别代入方程两边，若所得的
值相等，则这个未知数的值就是方程的根，否则就
不是方程的根． 知1－讲例1 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？
－3，－2，－1，0，1，2，3
知1－讲导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未
知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边
相等的数就是方程的根．
解：－1，2.知1－讲判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：
将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两
边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，
就不是方程的根．例2 如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根，
那么字母b的值为( )
A. 3 B. －3 C. 4 D．－4
根据根的意义，将x＝2直接代入方程的左右两
边，就可得到以b为未知数的一元一次方程，求
解即可．
知1－讲B导引：1 方程x2+x－12＝0的两个根为( )
A．x1＝－2，x2＝6
B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4
D．x1＝－4，x2＝3知1－练D2 下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据
表格可知方程x2－x＝2的解是( )
A. x＝－1 B. x＝0
C. x＝2 D. x1＝－1，x2＝2
知1－练D3 若关于x的一元二次方程ax(x＋1)＋(x＋1)(x＋2)
＋bx(x＋2)＝2的两根分别为0，2，则|3a＋4b|的
值为( )
A．2 B．5
C．7 D．8知1－练B2知识点一元二次方程解的估算知2－导对于前一课第一个问题，你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x(m)吗？我们知道，x满足方程(8－2x)(5－2x)＝18.
(1)x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由．
(2)你能确定x的大致范围吗？
(3)填写下表：
(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？
与同伴交流． 2818104知识知2－导（1）因为x表示宽度，所以x不可能小于0；根据题意，8-2x和5-2x
分别表示地毯的长和宽，所以8-2x>0, 5-2x>0,因此x不可能
大于4，也不可能大于2.5.
（2）通过上面的分析，可以得到0（3）从x的取值范围内取值，并进行相应计算，表格中第二行从左
到右依次填写28,18,10,4.
（4）通过分析表格中的数值，估计方程的解，对表格中所填数值
的分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到
大变化时，（8-2x)(5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于
18到等于18再到小于18的过程. ②由表格可知，当x=1时，
（8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意义，可以得出“x-1是
方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得结论，从而所求宽度为1 m.知2－讲用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的方
法及步骤：
(1)方法：当某一x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值在
某一精确度要求的范围内接近于0时，x的值即为一元二次
方程的近似解．对于实际问题中解的估算，应先根据实际
情况确定一元二次方程的解的大致取值范围，再通过具体
的求值计算从两边接近方程的解，逐步求得符合精确度要
求的方程的解的近似值，一般简称为“夹逼法”．知2－讲(2)步骤：
①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；
②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范
围；
③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出
符合要求的范围． 知2－讲在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足
方程(x＋6)2＋72＝102，也就是x2＋12x－15＝0.
(1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？
为什么？
(2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？
为什么？
(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？
(4)x的整数部分是几？十分位是几？ 例3 知2－讲（来自教材）解：小亮把他的求解过程整理如下：
所以1进一步计算：
所以1.1因此x的整数部分是1，十分位是1.你的结果怎
样呢？能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做
一元二次方程的解
2. 用估算法判断一元二次方程解的取值范围，具体步骤
如下：
(1)列表，利用未知数的取值分别计算方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；
(2)在表中找出使ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的大
致取值范围；
(3)进一步在(2)中的范围内列表、计算、估计范围，直到
符合题中精确度要求为止．完成教材P35 T1-T3
谢谢！
