课件33张PPT。24.1 一元二次方程第1课时 认识一元二次方程冀教版数学九年级上册1课堂讲解一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解（根）
建立一元二次方程模型解决实际问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 方程是一类重要的数学模型，在现实生活中
具有广泛的应用. 在学习了一元一次方程、二元
一次方程组和分式方程的基础上，现在我们来学
习一元二次方程 .1知识点一元二次方程的定义 如图，某学校要在校园内墙边的空地上 修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙(墙长 22 m)，另
外三面用90 m长的铁栅栏
围起来.如果这 个存车处
的面积为700 m2,求这个
长方形存车处的长 和宽.知1－导 分析下面小明和小亮列方程的做法，思考所列方程的特征. 知1－导 设长方形存车处的宽(靠墙的一 边)为xm，则它的长 为m.
根据题意，可得方程
整理，得x2－90x＋1400=0.小明的做法 设长方形存车处的长(与墙垂 直的一边)为x m，则它的宽为 (90－2x)m.
根据题意，可得方程
(90－2x) ? x=700.
整理，得x2 －45x＋350=0.小亮的做法知1－导 如图，一个长为10 m的梯子斜靠 在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m. 如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？
如果设梯子的底端
B在地面上滑动的距离
为xm，请列出方程，
并谈谈所列方程的特征.知1－导在上面的问题中，我们得到方程：
x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0，
x2 ＋12x－15=0.知1－导知1－导x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0，
x2 ＋12x－15=0.
它们都是关于未知数x的整式方程，且x的最高
次数都为2. 像这样，只含有一个未知数，并且未
知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方
程(quadratic equation in one variable).导引：要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程
及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一
元二次方程的条件．①中有两个未知数；②不是整
式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次
项系数为零．
例1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有( )
A．1个 B. 2个 C．3个 D．4个
知1－讲A知1－讲识别一个方程是不是一元一次方程，必须注意这几点：(1)等号的两边都是整式；
(2)所含未知数只有一个；
(3)未知数的最高次数为1，
(4)未知数的系数不为0.这四个条件缺一不可.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x一元二次方程，则( )
A．m＝1 B． m＝－1
C． m＝±1 D．m≠±1知1－练2知识点一元二次方程的一般形式知2－导 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经
过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)这
种形式叫做一元二次方程的一般形式 .知2－导一元二次方程的项和各项系数a x2+b x+ c =0知2－讲(1)ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方
程，但b，c可以是0.
(2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去
分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．
(3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数的系
数一起；指出某项系数时应连同它前面的符号一
起．
(4)若已明确指出方程是一元二次方程，则有“二次项
系数不为零”这一条件成立．知2－讲例2 将一元二次方程(x－2)(x＋1)＝2x＋5化为一般形
式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数
项．各部分名称是在一般形式下定义的，因此必须先
将原方程转化为一般形式再进行回答．导引：整理方程得：x2－3x－7＝0，
所以二次项系数是1，一次项系数是－3，常数项
是－7.解：知2－讲 当整理为一般形式后，如果二次项系数是
负数，一般要把它转化为正数，若系数是分数，
一般要把它转化为整数．将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它
们的二次项、一次项和常数项.
(1) 4x2＝3(x＋4)；
(2) (2x－3)(3x－2)＝10；
(3)
(4)(2x－1)(2x＋1)＝(3x＋1)2.知2－练2 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，
c的值分别是( )
A．1，－3，10 B．1，7，－10
C．1，－5，12 D．1，3，2知2－练关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－1＝0
的常数项为0，则m等于( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0知2－练知3－讲3知识点一元二次方程的解(根) 定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知
数的值叫做一元二次方程的解，也叫做这个方
程的根．
(1)判断某个数是方程的根的条件：使方程左右
两边相等．
(2)根据方程的根的定义可以判断一个数是不是
方程的根．例3 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？
－3，－2，－1，0，1，2，3
知3－讲导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未
知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边
相等的数就是方程的根．
解： －1，2.知3－讲 检验一个数是否为方程的解或根，只要把这个
数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否
相等．在找解时注意使一元二次方程左右两边相等
的未知数的值不一定只有一个．1 方程x2+x－12＝0的两个根为( )
A．x1＝－2，x2＝6
B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4
D．x1＝－4，x2＝3知3－练若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有
一个根为1，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＋c＝1
B．a－b＋c＝0
C．a＋b＋c＝0
D．a－b＋c＝1知3－练4知识点建立一元二次方程模型解决实际问题知4－讲一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世
界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言
叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来
表达．
2．常用一元二次方程来建模的问题有：图形的面积、
增长(利润)率、行程问题、工程问题等．知4－讲建立一元二次方程模型的一般步骤：
(1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之
间的关系；
(2)设出合适的未知数，一般设为x；
(3)确定等量关系；
(4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为
一般形式．例4 [中考·哈尔滨]今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的宽为60 m，若将宽增加到与长相等(长不变)，使扩大后的绿地为正方形，则扩大后的绿地面积比原来加1 600 m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是( )
A．x(x－60)＝1 600 B．x(x＋60)＝1 600
C．60(x＋60)＝1 600 D．60(x－60)＝1 600知4－讲A导引：扩大部分是一个长方形，根据面积＝长×宽，建立方程模型．扩大后的正方形绿地边长为x m，则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60) m，根据题意，得x(x－60)＝1600.故选A.
知4－讲知4－讲 建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润公式等)进行列方程．
随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是( )
A．20(1＋2x)＝28.8
B．28.8(1＋x)2＝20
C．20(1＋x2)＝28.8
D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8知4－练一元二次方程建立一元二次方程的模型一元二次方程的定义一元二次方程的根一元二次方程的一般形式完成教材P36习题A组 T1-T3，
B组T1-T2
课件12张PPT。24.1 一元二次方程第2课时 一元二次方程相关概念
的五种常见应用冀教版数学九年级上册名师点金巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：
利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等．1类型利用一元二次方程的定义确定字母的取值已知(m－3)x2＋ x＝1是关于x的一元二
次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3点拨：由题意，得 解得m≥－2且
m≠3.D2．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0.
(1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这
个方程；
(2)m取何值时，它是一元一次方程？(1)当 时，它是一元二次方程，解得m＝1.
当m＝1时，原方程可化为2x2－x－1＝0.
(2)当m－2≠0，m＋1＝0或者当m＋1＋(m－2)≠0且
m2＋1＝1时，它是一元一次方程．
解得m＝－1或m＝0.
故当m＝－1或m＝0时，它是一元一次方程．解：2利用一元二次方程的项的定义求字母的取值类型3．若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋
a－8＝0没有常数项，则a的值为________．由题意得 解得a＝8. 8点拨：4．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2
－1＝0的常数项为0，求m的值．由题意，得 解得m＝－1.解：3利用一元二次方程的根的定义求字母或代数式的值类型5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a
(a≠0)，则a－b的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，∴a2－ab＋a＝0.
∴a(a－b＋1)＝0.
∵a≠0，∴a－b＝－1.点拨：A6．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16
＝0的一个根为0，求k的值．把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0，
得k2－16＝0，
解得k1＝4，k2＝－4.
∵k＋4≠0，∴k≠－4，
∴k＝4.解：7．已知实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一
个根，求代数式a2－2 017a－ 的值．∵实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一个根，
∴a2－2 018a＋1＝0.
∴a2＋1＝2 018a，a2－2 018a＝－1.
∴a2－2 017a－
＝a2－2 017a－
＝a2－2 017a－a
＝a2－2 018a＝－1.解：4利用一元二次方程的根的定义比较大小8．若x0是方程ax2＋2x＋c＝0(a≠0)的一个根，设M
＝1－ac，N＝(ax0＋1)2，则M与N的大小关系
正确的为( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．不确定类型把x0代入方程ax2＋2x＋c＝0得ax02＋2x0＝－c，
再利用作差法比较可得．B点拨：5利用一元二次方程的根的定义解决探究性问题9．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在
实数a使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若
存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．类型由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，
∴m2－2m＝1，n2－2n＝1.
∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋
a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(a＋7)，
由－4(a＋7)＝8得a＝－9，
故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9.解：谢谢！
