华东师大版七年级数学下册9.1.2三角形的内角和与外角和 教案

9.1.2三角形的内角和与外角和
知识技能目标
1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和；
2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.
过程性目标
1.联系三角形外角和内角的定义、邻补角的性质，经历探索三角形的外角的两条性质和三角形的外角和；
2.结合实践与应用，充分感受三角形外角的性质，体会三角形的外角和它不相邻两个内角之间关系转化.
重点、难点
1．重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和.
2．难点：在三角形外角的性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法.
教学过程
一、复习提问
1.什么叫三角形的外角？三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系？
2.三角形的内角和等于多少?
二、探索归纳
我们已经知道三角形的内角和等于180°.
现在我们探索三角形的外角及外角和.
如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角.
问题1：三角形的外角与内角有什么关系呢？

很显然：
∠CBD（外角）+∠ABC（相邻内角）=180°
那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
因为∠CBD+∠ABC=180°
∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°
所以∠CBD=∠ACB+∠BAC
由此可知，三角形的外角有两条性质：
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
问题2：你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1+∠2+∠3=360°吗？

因为∠1＋∠ACB＝∠2＋∠BAC＝∠3＋∠ABC＝180°
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°×3
又因为∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°
所以∠1＋∠2＋∠3＝180°×3-180°＝360°
结论 三角形的外角和等于360°.
三、实践应用
例1 如图，AD∥BC，你能说明∠1＋∠2＋∠3＝360°吗？
解 因为AD∥BC
所以∠EAD＝∠1，∠DAB＝∠3
所以∠1＋∠2＋∠3＝∠EAD＋∠2＋∠DAB
＝360°；


例2 如图D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°
求：(1)∠B的度数；
(2)∠C的度数.
解 (1)因为∠ADC是△ABD的外角
所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°
又因为∠B＝∠BAD
所以∠B＝80°÷2＝40°；
(2)在△ABC中，因为
∠B＋∠BAC＋∠C＝180°
所以∠C＝180°－∠B－∠BAC
＝180°－40°－70°
＝70°.
练习1.（口答）一个三角形可以有两个内角都是直角吗？可以有两个内角都是钝角或都是锐角吗？为什么？
2．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角.
(1)如果∠A=90°，∠C=55°，那么∠B= ；
(2)如果∠A=90°，∠B-∠C=24°，那么∠B= ，∠C= ；
(3)如果∠C=4∠A，∠A+∠B=100°，那么∠A= ，∠B= ，与∠C相邻的外角= .

3．求下列各图中∠1的度数.


4．如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35°，求∠A与∠EBC的度数.


四、交流反思
三角形的外角的两条性质，三角形的外角和.
三角形的内角和，外角的性质反映了三角形的三个内角外角是互相联系与制约的，我们可以用它来求三角形的内角或外角，解题时，有时还需添加辅助线，有时结合代数，用方程来解比较方便.
五、检测反馈
1.如图，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线(AB)18°(即∠A=18°)飞到了C地，已知∠ABC=10°，问飞机现在应以怎样的角度飞行才能到达B处（即求∠BCD的度数）？

2.如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数.
3.按图中所给的条件，求出∠1、∠2、∠3的度数.

六、作业
课本习题