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1 圆周运动
5 圆周运动
新课引入
此资源为视频资源缩略图，若使用此资源请下载视频《链条传动中的圆周运动》。
新课引入
此资源为视频资源缩略图，若使用此资源请下载视频《摩天轮》。
新课引入
在链条传到中，这两个齿轮的转速不一样. 但它们的边缘在相同的时间内通过的路程是相等的。
摩天轮轮盘的边缘与座舱在相同的时间内转过相同的角度, 但轮盘的边缘与座舱所通过的路程是不一样的。
我们应怎样描述链条传动和摩天轮的这两种现象呢？
一、线速度
弧长Δs 与时间Δt 之比反映了物体在A 点附近运动的快慢，如果Δt非常非常小，弧长Δs 与时间Δt 之比就可以表示物体在A 点时运动的快慢，通常把它称为线速度的大小，用符号v表示，则有
线速度的方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。
如果物体沿着圆周运动，且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运。
二、角速度
两齿轮边缘的线速度相同
两齿轮的转速
如何描述这种不同？
二、角速度
比值定义法
定义角速度
物体在Δt 时间内由A运动到B。半径OA 在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt 之比叫作角速度，用符号ω表示
半径OA转过的角度用弧度表示。
二、角速度
在数学和物理中，弧度是角的度量单位。它是由国际单位制的导出单位，单位缩写是rad。
1弧度的定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。
弧度是无量纲的量，故弧度的单位rad也可不写。
二、角速度
在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s，s-1。
由于匀速圆周运动是线速度大小不变的运动，物体在相等时间内通过的弧长相等，所以物体在相等时间内转过的角度也相等。因此可以说，匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
三、周期
做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用T 表示。周期也是常用的物理量，它的单位与时间的单位相同。
技术中常用转速来描述物体做圆周运动的快慢。转速是指物体转动的圈数与所用时间之比，常用符号n 表示，转速的单位为转每秒（r/s），或转每分（r/min）。r/s 和r/min都不是国际单位制中的单位，运算时往往要把它们换算成弧度每秒。
四、线速度与角速度的关系
如图所示，设想一物体由A沿圆弧运动到B。此物体通过的路程为Δs，所用的时间为Δt，故线速度为
根据弧度的定义可知这时此物体转过的角度为
根据角速度的定义知此物体的角速度为
联立以上三式可得
一、描述圆周运动的物理量
例1 一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为4.0 m。当他的线速度为2.0 m/s 时，他做匀速圆周运动的角速度是多少？周期是多少？
解：由题意得小孩的角速度为
代入数据解得此人做匀速圆周运动的角速度为ω=0.5 rad/s。
此小孩做匀速圆周运动的周期为
代入数据解得T=12.6 s。
一、描述圆周运动的物理量
例2 关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成反比
D．若半径为r，周期为T，则线速度为
解：物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，故A错误。
角速度为
B错误。
二、能量传动中相关物理量之间的关系
例3 一个圆环，以竖直直径AB为轴匀速转动，如图所示，求环上M、N两点的：
(1)角速度之比；
(2)线速度的大小之比。
解析：(1)M、N是同一环上的两点，它们与环具有相同的角速度，即ωM∶ωN＝1∶1。
(2)两点做圆周运动的半径之比rM∶rN＝sin60°∶sin30°＝ ∶1，故vM∶vN＝ωMrM∶ωNrN＝ ∶1。
三、圆周运动的多解问题
例4 如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小。
解：设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ角，则
故初速度
由题意知
又因为θ＝ωt，则圆盘角速度
θ＝n·2π(n＝1,2,3…)
课堂小结
1 圆周运动
教学目标
1. 掌握线速度、角速度的概念。
2. 掌握线速度、角速度的换算关系。
3. 理解周期的概念，理解弧度制及其应用。
教学重难点
教学重点
线速度的概念、角速度的概念、周期的概念、线速度与角速度的关系、
教学难点
线速度与角速度的关系、弧度制
教学准备
多媒体课件
教学过程
新课引入
教师活动：播放链条传动的视频，播放摩天轮的视频。
教师设问：我们可以看到，在链条传到中，这两个齿轮的转速不一样. 但它们的边缘在相同的时间内通过的路程是相等的。摩天轮轮盘的边缘与座舱在相同的时间内转过相同的角度, 但轮盘的边缘与座舱所通过的路程是不一样的。我们应怎样描述链条传动和摩天轮的这两种现象呢？
讲授新课
一、线速度
物体沿圆弧由M 向N 运动，在某时刻t 经过A 点。为了描述物体经过A 点附近时运动的快慢，可以取一段很短的时间Δt，物体在这段时间内由A 运动到B，通过的弧长为Δs。弧长Δs 与时间Δt 之比反映了物体在A 点附近运动的快慢，如果Δt非常非常小，就可以表示物体在A 点时运动的快慢，通常把它称为线速度的大小，用符号v表示，则有
线速度的方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。
如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运。因为因为匀速圆周运动的速度时刻在变，故“匀速圆周运动” 中的“匀速”指是的速率。
二、角速度
教师活动：播放链条传动的视频。
教师设问：请比较一下两个齿轮的线速度和转速。
学生活动：思考教师所提问题，然后举手回答。
由于链条不可伸长，也不会脱离齿轮打滑，因而大、小齿轮边缘的点在相等时间内通过的弧长是相等的，即线速度大小相等。但同时也可注意到，由于两个齿轮的半径不同，相等时间内它们转过的角度不同。
教师设问：如何描述这两个齿轮转过的角度的不同？
教师活动：讲解这时所用的物理方法、弧度、角速度。
这时可用物理学中经常使用的一种方法，即比值定义法。这时可定义一个新的物理量，它可以描述单位时间内转过的角度。
物体在Δt 时间内由A运动到B。半径OA 在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt 之比叫作角速度，用符号ω表示
半径OA转过的角度用弧度表示。在数学和物理中，弧度是角的度量单位。它是由国际单位制的导出单位，单位缩写是rad。
1弧度的定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。
由1弧度的定义可知，用弧度所表示的角度为圆周与半径的比值，故这是一个无量纲的量，故弧度的单位rad也可不写。
根据1弧度的定义，可知弧度与角度的换算关系为
在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s，s-1。
由于匀速圆周运动是线速度大小不变的运动，物体在相等时间内通过的弧长相等，所以物体在相等时间内转过的角度也相等。因此可以说，匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
三、周期
圆周运动有其特殊性，物体运动一周后又会返回到初始位置，周而复始地运动着。如坐在旋转木马上的小孩运动一周后又回到他开始的位置。为了描述圆周运动的这种周期性，常常需要周期这个物理量。
做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用T 表示。周期也是常用的物理量，它的单位与时间的单位相同。
技术中常用转速来描述物体做圆周运动的快慢。转速是指物体转动的圈数与所用时间之比，常用符号n 表示，转速的单位为转每秒（r/s），或转每分（r/min）。r/s 和r/min都不是国际单位制中的单位，运算时往往要把它们换算成弧度每秒。
四、线速度与角速度的关系
教师设问：线速度的大小描述了做圆周运动的物体沿着圆弧运动的快慢，角速度的大小描述了物体与圆心连线扫过角度的快慢。它们之间有什么关系呢？
如图所示，设想一物体由A沿圆弧运动到B。此物体通过的路程为Δs，所用的时间为Δt，故线速度为
根据弧度的定义可知这时此物体转过的角度为
根据角速度的定义知此物体的角速度为
联立以上三式可得
典题剖析
一、描述圆周运动的物理量
例1 一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为4.0 m。当他的线速度为2.0 m/s 时，他做匀速圆周运动的角速度是多少？周期是多少？
解：由题意得小孩的角速度为
代入数据解得此人做匀速圆周运动的角速度为ω=0.5 rad/s。
此小孩做匀速圆周运动的周期为
代入数据解得T=12.6 s。
例2 关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成反比
D．若半径为r，周期为T，则线速度为v＝
答案：D
解析：物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，故A错误；角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω，C错误；由线速度的定义可得，在转动一周时有v＝，D正确。
二、能量传动中相关物理量之间的关系
例3 一个圆环，以竖直直径AB为轴匀速转动，如图所示，求环上M、N两点的：
(1)角速度之比；
(2)线速度的大小之比。
答案：(1)1∶1 (2)∶1
解析：(1)M、N是同一环上的两点，它们与环具有相同的角速度，即ωM∶ωN＝1∶1。
(2)两点做圆周运动的半径之比rM∶rN＝sin60°∶sin30°＝∶1，故vM∶vN＝ωMrM∶ωNrN＝∶1。
三、圆周运动的多解问题
例4 如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小。
解：设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ角，则
R＝vt，h＝gt2
故初速度
v＝R
由题意知
θ＝n·2π(n＝1,2,3…)
又因为θ＝ωt，则圆盘角速度
ω＝＝2nπ (n＝1,2,3…)
课堂小结
