课件26张PPT。24.4 一元二次方程的应用第1课时 建立一元二次方程
解几何问题冀教版数学九年级上册1课堂讲解规则图形的应用
不规则图形的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 很多实际问题可以通过一元二次方程建模来解决，
前面我们已经学习了利用一元二次方程解决传播、增
长率、营销问题等，本节课我们继续学习利用一元二
次方程解决几何相关问题.1知识点规则图形的应用知1－讲 与几何图形有关的一元二次方程的应用题主
要是将数量与数量之间的关系隐藏在图形中，用
图形表示出来，这样的图形有三角形、四边形(后
面还有圆)，主要涉及图形的周长、面积以及三角
形边之间的关系、三角形全等等知识点．知1－讲如图，某学校要在校园内墙边的空地上 修建一个
长方形的存车处，存车处的一面靠墙(墙长 22 m)，
另外三面用90 m长的铁
栅栏围起来. 如果这 个
存车处的面积为700 m2,
求这个长方形存车处的
长 和宽.例1知1－讲解：设长方形靠墙的一 边的长为xm，得方程
x2－90x＋1400=0.
解得 x1＝70，x2＝20.
由于墙长22m， x1＝70不合题意，应舍去.
当x＝20时，
答：这个长方形存车处的长和宽分别是35m
和20m.知1－讲 一元二次方程应用题中对于根的取舍，关键
是要体会未知数x所代表的实际意义及限制条
件．如“平均增长率x不能为负”、“小路的宽不
能超过矩形种植地的宽”等这些细节问题都是根
取舍的关键所在．知1－讲例2 等腰梯形的面积为160cm2,上底比高多4cm,
下底比上底多16cm，求这个梯形的高.
导引： 本题可设高为x cm，上底和下底都可以用含
x的代数式表示出来.然后利用梯形的面积 公
式来建立方程求解.
解： 设这个梯形的高为 x cm,则上底为（x+4）cm,
下底为(x+20)cm.知1－讲 根据题意得
整理，得
解得 x1=8 , x2=－20 ( 不合题意，舍去 )
答：这个梯形的高为8cm.知1－讲 利用一元二次方程解决规则图形问题时，一
般要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积
公式，然后利用公式进行建模并解决相关问题.1某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－11)＝180
B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180
D．2x＋2(x＋11)＝180知1－练2一个直角三角形的两条直角边的和是17 cm，面积是30 cm2，则斜边长为( )
A．12 cm B．13 cm
C．14 cm D．15 cm知1－练2知识点不规则图形的应用知2－讲已知一本数学书的长为26 cm，宽为 18. 5 cm，厚为1 cm 一张长方形包书纸如图所示，它的面积为
1 260 cm2, 虚线表示
的是折痕. 由长方形
相邻两边与折痕围成
的四角均为大小相同
的正方形. 求正方形
的边长.例3 知2－讲问题中的等量关系为：包书纸的长×宽＝1260 .
只要把包书 纸的长和宽用正方形的边长表示出
来就可以了.分析：设正方形的边长为x cm，根据题意，得
(26＋2x)(18.5×2＋1＋2x) ＝1260.
整理，得 x2＋32x－68=0.
解这个方程，得
x1＝2，x2＝－34(不合题意，舍去).
答：正方形的边长是2 cm.解：知2－讲如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所
占面积是封面面积的四分之—，
上、下边衬等宽，左、右边衬等
宽，应如何设计四周边衬的宽度
(结果保留小数点后一位)?例4 知2－讲分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩
形的长宽之比也应是9∶7.设中央的矩形的长
和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边
衬与左、右边衬的宽度之比是
＝9(3－a)∶7(3－a)
＝9∶7.知2－讲设上下边衬的宽为9x cm,左右边衬的宽
为7x cm,依题意得
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右
边衬的宽均为 1.4 cm解：思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题？请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.
依题意得
解得
故上下边衬的宽度为：
左右边衬的宽度为：
知2－讲知2－讲 在列一元二次方程解应用题时，由于所得的
根一般有两个，但一般情况下只有一个根符合实
际问题的要求，所以解方程后一定要检验看哪个
根是符合实际问题的解.1已知一个直角三角形两直角边的和是12, 斜边
的长是10,求这个直角 三角形两直角边的长.知2－练2一个三角形的一边长为x－4, 这条边上的高为
2x＋1，面积为 ，求x的值.3如图，有一块长80 cm，宽60 cm的长方形硬纸 片，在四角各剪去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底
面积为1 500 cm2的
无盖的长方体盒子.
求剪去的小正方形
的边长.知2－练4如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为( )
A．1米
B．1.5米
C．2米
D．2.5米知2－练5如图是由三个边长分别为6，9和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )
A．1或9
B．3或5
C．4或6
D．3或6知2－练求解面积问题的方法：
1. 规则图形，套用面积公式列方程
不规则图形，采用割补的办法，使其成为规
则图形，根据面积间的和、差关系求解完成教材P48-P49习题A组T1-T2，
B组T1-T2
谢谢！课件23张PPT。24.4 一元二次方程的应用第2课时 建立一元二次方程
解百分率问题冀教版数学九年级上册1课堂讲解变化率问题
利润率问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收
入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭 .
据某市交通部门统计，2010年底，该市汽车保有量
为15万辆，截至2012年底，汽车保有量已达21. 6万
辆. 若该市这两年 汽车保有量增长率相同，求这个
增长率.1知识点变化率问题知1－讲 如果增长率中的基数为a，平均增长率为x，则
第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长后的数
量为a(1＋x)2，第n次增长后的数量为a(1＋x)n.知1－讲解答课时导入问题
设年增长率为x，请你思考并解决下面的问题：
(1) 2011年底比2010年底增加了_______万辆汽车，
达到了_________万辆.
(2) 2012年底比2011年底增加了_______万辆汽车，
达到了_________万辆.
(3)根据题意，列出的方程是_______________.
(4)解方程，回答原问题，并与同学交流解题的思
路和过程知1－讲例1 某镇2016年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2018年达到82.8公顷．
(1)求该镇2016年至2018年绿地面积的年平均增长率；
(2)若年平均增长率保持不变，则2019年该镇的绿地面积能否达到100公顷？解：(1)设该镇2016年至2018年绿地面积的年平均增长率为x，则57.5(1＋x)2＝82.8.
解得x1＝－2.2(舍去)，x2＝0.2.
答：该镇2016年至2018年绿地面积的年平均增长率为20%.
(2)2019年的绿地面积为82.8×(1＋0.2)＝99.36(公顷)，99.36＜100.
答：2019年该镇的绿地面积不能达到100公顷．知1－讲知1－讲列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为六个字：审、设、列、解、验、答．
一般情况下， “审”不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，才能准确列出方程．知1－讲建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径. 经过市场调查发现：搭建 一个面积为x(公顷)的大棚，所需建设费用(万元)与x＋2成正比例， 比例系数为0.6;内部设备费用(万元)与x2成正比例，比例系数为2. 某农户新建了一个大棚，投人的总费用为4. 8万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积. (总费用=建设费用+内部设备费用)例2 知1－讲答：该农户新建的这个大棚的面积为1.2公顷.解：依题意得：0. 6(x＋2)＋2x2＝4. 8.
整理，得10x＋3x－18＝0.
解方程，得
x1＝1.2，x2＝－1.5(不合题意，舍去).1某工厂工业废气年排放量为300万立方米. 为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米. 如果第二年废气减少的百分 率是第一年废气减少的率的2倍，那么每年废气减少的百分率各是多少？知1－练2某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315知1－练3某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同，设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为( )
A．10(1＋x)2＝36.4
B．10＋10(1＋x)2＝36.4
C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4
D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4知1－练知2－讲西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 2知识点利润率问题例3 知2－讲设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每
千克的利润为(3－2－x)元，由于这种小型西瓜每
降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降
价x元，则每天售出数量为： 千克．
本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数
量－固定成本＝200.导引：知2－讲设应将每千克小型西瓜的售价降低x元，
根据题意，得：
(3－2－x) －24＝200，
解这个方程，得：x1＝0.2，x2＝0.3.
经检验均符合题意．
答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或
0.3元．解： 解答此类问题的关键是明确题中的等量关系，
结合基本等量关系列出方程．1某种花卉每盆的赢利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株赢利4元；若每盆增加1株，平均每株赢利减少0.5元．要使每盆的赢利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆应多植x株，则可以列出的方程是( )
A．(3＋x)(4－0.5x)＝15
B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15
C．(x＋4)(3－0.5x)＝15
D．(x＋1)(4－0.5x)＝15知2－练2某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为( )
A．25(1＋x)2＝82.75
B．25＋50x＝82.75
C．25＋25(1＋x)2＝82.75
D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75知2－练在变化率问题中，常用的等量关系为：
初始量×(1＋平均增长率)n＝增长后的量；
初始量×(1－平均降低率)n＝降低后的量．
其中n为正整数，表示增长或降低的次数．2．解决利润问题常用的关系：
(1)利润＝售价－进价．
(2)利润率＝ ×100%＝ ×100%.
(3)售价＝进价(1＋利润率)．
(4)总利润＝单个利润×销售量＝总收入－总支出．)完成教材P50-P51习题A组T1-T2，
B组T1-T2
谢谢！课件20张PPT。24.4 一元二次方程的应用第3课时 建立一元二次方程
解计数等问题冀教版数学九年级上册1课堂讲解计数问题
营销定价问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 上周三小明的妈妈在自选商场花 10 元钱买了
几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活
动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜 0.5 元，结果妈
妈只比上次多花了 2 元，却比上次多买了 2 瓶酸
奶．根据以上信息，
你知道小明的妈妈
上周三买了几瓶酸
奶吗？1知识点计数问题知1－导一起探究
某少年宫组织一次足球赛，采取单循环的比赛形
式，即每两个足球队之间都要比赛一场，计划安排28
场比赛. 可邀请多少支球队参加比赛呢？知1－导设邀请x支球队参加比赛，探究下列问题：
(1)根据“每两个足球队之间都要比赛一场”，每支足
球队要比赛场.
(2)用含x的代数式表示比赛的总场次为_______. 于是
可得方程____________.
(3)解这个方程并检验结果.知1－讲列一元二次方程解实际问题的一般步骤：
(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，
弄清已知量、未知量以及它们之间的关系．
(2)设未知数：一种方法是直接设法，另一种方法是
间接设法．
(3)列代数式：用含有未知数x的代数式表示出相关的
未知量．知1－讲(4)列方程：根据题目中已知量和未知量的关系列出
方程．
(5)解方程：利用配方法、公式法、因式分解法等求
出未知数的值．
(6)检验：首先检验未知数的值是否满足所列的方程，
其次检验它在实际问题中是否有意义．
(7)写出答案：根据题意选择合理的答案．知1－讲例1 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两
队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请
多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，可得到
方程可化为x2－x－30=0
解得 x1=6, x2=－5 (舍去)
所以应邀请6个球队参加比赛.解：1有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )
A. x(x－1)＝45 B. x(x＋1)＝45
C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1)＝45知1－练2某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场_____个. 知1－练2知识点营销定价问题知2－讲某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客多得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将售价定为每件多少元？ 例2 知2－讲因为商品的销售量与降价数额有关，所以本题需
要间接地设未知数．设每件降价x元，则每件售
价为(60－x)元，每件的利润为(60－x－40)元，每
星期销量为(300＋20x)件，根据商家获利数额为
6 080元列方程，求解即可．导引： 知2－讲设每件降价x元，则每件售价为(60－x)元，每星
期销量为(300＋20x)件，
根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080.
解得x1＝1，x2＝4.
因为是在顾客多得实惠的前提下进行降价，
所以取x＝4.
所以售价为每件60－x＝56(元)．
答：应将售价定为每件56元．解： 知2－讲 利用方程解应用题的关键是找出等量关系，
分析等量关系时，抓住关键词，联想基本关系式，
剔除实际背景的文字描述，呈现数学化的形式，
列出方程．对解方程得到的根取舍时，要紧扣题
意中的每个细节．1经销商以21元/双的价格从厂家购进一批运动鞋.如果售价为“a元/双， 那么可以卖出这种运动鞋(350－10a)双. 物价局限定每双鞋的售价不得超过进价的120%. 如果该商店卖完这批鞋赚得400元，那么该商店每双鞋的售 价是多少元？这批鞋有多少双？知2－练2一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3 596元，每件工艺品需降价( )
A．4元 B．6元
C．4元或6元 D．5元知2－练3将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8 000元利润，则应进货( )
A．400个 B．200个
C．400个或200个 D．600个知2－练列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为六个字：
审、设、列、解、验、答．
(1)一般情况下，步骤中的第一步“审”不写出来，但
它是关键的一步，只有审清题意，明确了已知量、
未知量及它们之间的关系，才能准确列出方程．
(2)设未知数有直接设元和间接设元两种方式，直接设
元就是问什么，设什么；间接设元就是在直接设元
比较困难，或所列方程较复杂时所采用的间接设未
知数的方法．完成教材P52习题A组T1-T2，
B组T1-T2
谢谢！
