第二十九章 直线与圆的位置关系
29.1 点与圆的位置关系
1.设⊙O的半径为r，P到圆心的距离为d不大于r，则点P在（ ）
A. 在⊙O内 B. 在⊙O外 C. 不在⊙O内 D.不在⊙O外
2．若⊙O的半径为5，圆心的坐标为（0，0），点P的坐标为（﹣4，3），则点P与⊙O位置关系（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定
3．在△ABC中，∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是（ ）
A．C在⊙A上 B．C在⊙A外
C．C在⊙A内 D．C在⊙A位置不能确定
4．如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a=b=c D．b＞c＞a
5．若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离d不大于r，则点P（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．不在⊙O内 D．不在⊙O外
6．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（ ）
A．16cm或6cm B．3cm或8cm C．3cm D．8cm
7．已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25
8．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
9．以矩形ABCD的顶点A为圆心作⊙A，要使B、C、D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，如果BC=12，CD=5，则⊙A的半径r的取值范围为 ．
参考答案
1.D
2．C 解析：∵圆心的坐标为（0，0），点P的坐标为（﹣4，3），∴点P到圆心的距离==5，而⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．故选C．
3．C 解析：∵∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，∴AC==，∵r=2.5＞，
∴点C在⊙A内．故选C．
4．C 解析:接OM、OD、OA、根据矩形的对角线相等，得BC=OA，EF=OD，NH=OM．再根据同圆的半径相等，得a=b=c．故选C．
5．D 解析：已知点P到圆心O的距离d不大于r，当大于r时点P在圆外，因而则点P不在⊙O外．故选D．
6．B 解析：当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm；当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm；故选B．
7．C 解析：在Rt△BCD中CD=AB=15，BC=20，则BD===25．
由图可知15＜r＜25，故选C．
8．A 解析：∵AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，∴AD=5，∵点O是AC中点，点P是CD中点，∴OP是△CAD的中位线，OC=OA=3，∴OP=AD=2.5，
∵OP＜OA，∴点P在⊙O内，故选A．
9．5＜r＜13 解析：根据题意画出图形如下所示：∵AB=CD=5，AD=BC=12，
根据矩形的性质和勾股定理得到：BD==13．∵AB=5，BC=12，BD=AC=13，
而A，C，D中至少有一个点在⊙A内，且至少有一个点在⊙A外，∴点B在⊙A内，点C在⊙A外．∴5＜r＜13．
29.2 直线与圆的位置关系
【基础】
1．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
2．已知直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ ）
A．r<6 B．r=6 C．r>6 D．r≥6
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为（ ）
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
4．若⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
5．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
6．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，若⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 ．
7．已知⊙O的半径为3 cm，圆心O到直线l的距离是4 cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
8．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在反比例函数上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
9．如图，⊙P的圆心为P(–3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．
（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；
（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．
【拓展】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4 cm，以点C为圆心，2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
2．如图，⊙O过点B，C．圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC= 90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P'的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，已知⊙O是以平面直角坐标系的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在x轴上运动（点P与点O不重合），若过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，设点P(x，0)，则x的取值范围是（ ）
A．‐1≤x＜0或0＜x≤1 B．≤x＜0或0＜x≤
C．0＜x≤ D．x＞
5．在平面直角坐标系xOy中，以点P(‐3，4)为圆心，r为半径的圆与两坐标轴恰有四个公共点，则r的取值范围是 ．
6．如图，已知∠APB=30°，O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，1.5cm为半径的⊙O沿BP方向以1cm/s的速度移动，则⊙O移动 s后与PA相切．
7．如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设当拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，且拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？
8．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2=8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现几次？
参考答案
【基础】
1-5 CCBDC
6．相离
7．相离
8．（6，2）或（‐6，‐2）
9．（1）如右图所示，相交
（2）
【拓展】
1-4 BDBB
5．且
6．2
7．24秒
8．5次
y
x
O
?
?
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29.3 切线的性质和判定
【基础】
1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B=20°，则∠C的大小为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
第1题 第2题
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1）
3．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO=CD，则∠PCA的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
第3题 第4题
4．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，若以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC
第5题 第6题
6．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数（单位：cm）如图所示，那么该圆的半径为 cm．
7．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为2.5，CD=4，则弦AC的长为 ．
8．在平面直角坐标系xOy中有5个点：A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（0，-3）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；
（2）若直线l经过点D（-2，-2），E（0，-3），判断直线l与⊙P的位置关系．
【拓展】
1．如图，BD为⊙O的直径，直线ED为⊙O的切线，A，C两点在圆上，弦AC平分∠BAD且交BD于点F．若∠ADE=19°，则∠AFB的度数为（ ）
A．97° B．104° C．116° D．142°
第1题 第2题
2．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
第3题 第4题
4．如图，线段AB是⊙O的一条直径，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= ．
5．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D，AC=2，AO=，则OD的长度为 ．
第5题 第6题
6．如图，射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以1cm/s的速度向右移动，经过t s，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值： ．
7．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过点C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）求证：AF=CF；
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
参考答案
【基础】
1-5 DCDBC
6．
7．
8．（1）如右图所示，点D在⊙P上
（2）直线l与⊙P相切
【拓展】
1-3 CBB
4．50°
5．1
6．或或
7．（1）（2）证明略；（3）
29.4 切线长定理
【基础】
1．如图，△ABC的内心为点O，∠BOC=110°，则∠A的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
第1题 第2题
2．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∠ACB=90°，则∠EDF的度数为（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
3．已知在△ABC中，内切圆⊙I和BC，CA，AB边分别相切于点D，E， F，则点I是△ABC（ ）
A．三条高的交点 B．三个内角平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边垂直平分线的交点
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
B．圆有且只有一个外切三角形
C．三角形有且只有一个内切圆
D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
5．如图，在△ABC中，⊙I是△ABC的内切圆，与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠FDE与∠A的关系为 ．
第5题 第6题
6．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，并与⊙O的切线分别相交于D、C两点，已知PA=7 cm，则△PCD的周长等于 ．
7．在△ABC中，如果∠A=m°，点I是内心，那么∠BIC= ．
8．已知⊙O分别切△ABC的三边AB，BC，CA于点D，E，F，若BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°，则⊙O的半径为 ．
9．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们休息，要求小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置．（不写作法，保留作图痕迹）
10．如图，点I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，交BC于点E．求证：BD=ID．
【拓展】
1．已知三角形的面积为15，周长为30，则它的内切圆半径为（ ）
A．2 B．1 C．1.5 D．2.5
2．下列四边形中，一定有内切圆的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形
3．如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．π C．2π D．
第3题 第4题
4．如图，EB、EC是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数为（ ）
A．64° B．96° C．99° D．104°
5．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4 C． D．
第5题 第6题
6．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，切点分别为A，B，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，OD=6cm，OC=8cm，则CD的长为 ．
7．已知点I为△ABC的内心，AB=8，BC=5，AC=7，则内切圆⊙I的半径r= ．
8．阅读材料：如图1，△ABC的周长为l，内切圆⊙O的半径为r，连结OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
因为S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA，又因为S△OAB=AB?r，S△OBC=BC?r，S△OCA=CA?r，
所以S△ABC=AB?r+BC?r+CA?r=l?r（可作为三角形内切圆半径公式）．
（1）利用公式计算边长分别为5、12、13的三角形内切圆的半径；
（2）若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图2）且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
参考答案
【基础】
1-4 DCBC
5．∠A+2∠FDE=180°
6．14 cm
7．
8．
9．图略（画三角形的三条内角平分线，交点即为所求）
10．证明略
【拓展】
1-5 BBDCC
6．10 cm
7．
8．（1）；（2）；（3）
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29.5正多边形与圆
选择题
1. 如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（ ）
A. B. 1 C. D.
2. 已知，正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长是
A. 24 B. 6 C. 4 D.
3. 如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AC的长为
A. B. C. D.
4. 如图，正六边形ABCDEF中，阴影部分面积为，则此正六边形的边长为
A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm
5. 如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要
A. 6mm B. C. 12mm D.
6. 下列关于圆的叙述正确的有
圆内接四边形的对角互补；相等的圆周角所对的弧相等；正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；同圆中的平行弦所夹的弧相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，以半径为2的正六边形ABCDEF的中心O为原点建立平面直角坐标系，顶点A，D在x轴上，则点C的坐标为
A. B. C. D.
8. 如图，半径为1的⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，则弧AD的长为
A. B. C. D.
9. 如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的是
A. 圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B. 在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C. 一元二次方程一定有实数根
D. 将绕A点按顺时针方向旋转得，则与不全等
11.小明同学按照如下步骤进行折叠：
请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：如果设正三角形ABC的边长为a，那么 ______ 用含a的式子表示；
根据折叠性质可以知道的形状为______ 三角形；
请同学们利用、的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．
12. 如图，点A是半径为3的⊙O上的点，
尺规作图：作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
求中弧AC的长．
13. 如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
(1)在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
(2)两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
14. (1)如图，EF是⊙O的直径，请仅用尺规作出该圆的内接正方形ABCD，要求所作正方形的一组对边AD、BC垂直于EF见示意图；不写作法，但须保留作图痕迹；
(2)连接EA、EB，求出、的度数．
答案
1. 【答案】A
【解析】依题意知，过直角三角形顶点过圆心做直线垂直于底边。图中等边三角形的高h=（设r为圆的半径），设底边边长为2x，根据勾股定理可得，（2x）2-x2=（）2，解得2x=r。∴等边三角形面积S1=
··=。又∵正方形的对角线等于圆的半径，所以3个正方形的面积S2=3×2×r·r=2。∴=
考点：等边三角形，圆和正方形这类对称图形的特殊性
点评：难度较低。考查学生对几何图形的认识与灵活运算能力。运用勾股定理，等边三角形每个角
60°得出辅助线作用下的小直角为30°特殊直角三角形，30°角对应的直角边等于斜边的一半。正方形对角线把正方形平分成两个全等直角三角形等。
2.【答案】C
【解析】如图所示，连接OB、OC；∵此六边形是正六边形，∴∠BOC==60°，∵OB=OC=4，∴△BOC是等边三角形，∴OB=OC=BC=4．故选C．
3. 【答案】C
【解析】如图所示,∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×=60°，∴∠AOC=120°，∴的长为=2π．故选C．
4. 【答案】B
【解析】由正六边形可分成六个全等的等边三角形，则阴影部分的面积与中间的正三角形的面积相等，即阴影部分的面积为正六边形的面积的一半.设边长为R，所以有，所以R=4cm.故选B.
5. 【答案】D
【解析】设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=12mm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=12×=6，∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=12mm．故选D．
6. 【答案】B
【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确；正确的有2个，故选B．
7.【答案】C
【解析】连接OC．∵∠COD=60°，OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴OC=OD=2.设BC交y轴于G，则∠GOC=30°.在Rt△GOC中，∵∠GOC=30°，OC=2，∴GC=1，OG=，∴C(1，-).故选C.
8. 【答案】C
【解析】连接OA，OD，∵⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，∴∠OAF=∠ODE=90°，∵∠E=∠F=120°，∴∠AOD=540°-90°-90°-120°-120°=120°，∴的长为,故选C．
9. 【答案】D
【解析】连接AO，DO，∵ABCD是正方形， ∴∠AOD=90°，AD=，圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积= [4π-（2）2]=π-2．故选D．
10.【答案】A
【解析】如图，∠AOB==60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA，∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；故选A．
11. 【答案】 (1) (2) 等边
【解析】（1）根据折叠的性质即可得到结论；（2）根据折叠的性质即可得到结论；（3）由（2）知△CDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，求得∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，由于AB=BC=AC=a，于是得到结论．
解：（1）∵正三角形ABC的边长为a，
由折叠的性质可知，点O是三角形的重心，
∴CO=a；
故答案为：a；
（2）△CDE为等边三角形；
故答案为：等边；
（3）由（2）知△CDE为等边三角形，
∴CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，
∠ADE=∠BED=120°，
同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，
∵AB=BC=AC=a，
∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，
∴六边形KHGFED是一个正六边形．
12. 【答案】（1）见解析；（2）2π
【解析】（1）由正六边形ABCDEF的中心角为60°，可得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出⊙O的内接正六边形ABCDEF；（2）由（1）可求得∠AOC=120°，继而求得（1）中的长．
解：（1）首先连接OA，然后以A为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于B，F，再分别以B，F为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点E，C，在以C为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点D，则正六边形ABCDEF即为所求；
（2）∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形
∴∠AOC=×2=120°，
∵⊙O的半径为3，
∴的长为：=2π．
13. 【解析】（1）利用已知得出正八边形,它的内角都为135°,再利用正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称,得出∠2+∠3=180°,进而得出答案,（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE,则PA=QB=QC=MD,即PQ=QM,故四边形PQMN是正方形,进而求出PQ的长即可得出答案.
解：（1）连接BF,则有BF∥AG,理由如下:
∵ABCDEFGH是正八边形,∴它的内角都为135°,
又∵HA=HG,∴∠1=22.5°,
从而∠2=135°﹣∠1=112.5°,
由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称,
∴∠3＝135°=67.5°
即∠2+∠3=180°,故BF∥AG,
（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°,
∴∠P=90°,同理可得∠Q=∠M=90°,
∴四边形PQMN是矩形．
又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°,AH=BC=DE,
∴△PAH≌△QCB≌△MDE,
∴PA=QB=QC=MD,即PQ=QM,
故四边形PQMN是正方形．
在Rt△PAB中,
∵∠PAH=45°,AB=2,
∴ PA=ABsin45°=2,
∴ PQ=PA+AB+BQ=+2+=2+2,
故四边形PQMN的面积 ==12+8.
14.【答案】（1）见解析；（2）67.5°
【解析】（1）作出八等分点，即可得到圆内接正方形；（2）求出相应圆心角的度数，根据圆周角等于圆心角的一半，即可解答．
解：（1）作①EF的中垂线，
②直角的平分线OD，
③8等分弧，完成正方形．
（2）连接OD，OC，
因为圆周，所以∠EOD=360°×=45°，
所以∠EAD=45°×=22.5°．
因为，
所以∠EBC=3∠EAD=3×22.5°=67.5°．
第二十九章检测卷
时间：120分钟 满分：120分
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知⊙O的半径是3.5 cm，点O到同一平面内直线l的距离为2.5cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
2．已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是( )
A．r＞6 B．r≥6 C．r＜6 D．r≤6
3．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝20°，则∠P的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图所示，BE为半圆O的直径，点A在BE的反向延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C.如果AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为( )
A．2 B．1 C．1.5 D．0.5
5．如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积．若测得AB的长为8米，则圆环的面积为( )
A．16平方米 B．8π平方米 C． 64平方米 D．16π平方米
6．如图，半径相等的两圆⊙O1，⊙O2相交于P，Q两点．圆心O1在⊙O2上，PT是⊙O1的切线，PN是⊙O2的切线，则∠TPN的大小是( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
第6题图 第8题图 第9题图
7．若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为m3，m4，m6，则m3∶m4∶m6等于( )
A．1∶∶ B.∶∶1 C．1∶2∶3 D．3∶2∶1
8．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为( )
A．2 B．2 C. D．2
9．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
10．在一张圆形铁片上截出一个边长为4 cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要( )
A．4 cm B．3 cm C．4 cm D．8 cm
11．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是BC上的一点，且BP＝BC.以点P为圆心、R为半径画圆，使得A，B，C，D四点中至少一点在圆内且至少一点在圆外，则R的取值范围是( )
A.＜R＜3 B.＜R＜4 C．1＜R＜4 D．1＜R＜3
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是( )
A．1 B. C．2 D.
13．如图，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC的度数为( )
A．59° B．31° C．124° D．121°
14．如图，PA切⊙于点A，OP交⊙O于点B，点B为OP的中点，弦AC∥OP.若OP＝2，则图中阴影部分的面积为( )
A.－ B.－ C.－ D.－
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图所示，将一个量角器与一张等腰直角三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，半圆(量角器)的圆心与点D重合，测得CE＝5 cm，将量角器沿DC方向平移2 cm，半圆(量角器)恰与△ABC的边AC，BC相切，则AB的长为( )
A．(3＋8) cm B．(6＋16) cm
C．(3＋5) cm D．(6＋10) cm
16．如图，已知一次函数y＝－x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为( )
A．2 B. C. D.
二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上)
17．如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC＝3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD＝，则劣弧AD的长为________．
第17题图 第18题图 第19题图
18．将边长相等的正方形、正六边形的一边重合叠在一起，过正六边形的顶点B作正方形的边AC的垂线，垂足为点D，则tan∠ABD＝________．
19．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，……按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为________，AnBnCnDnEnFn的边长为________．
三、解答题(本大题有7小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(9分)如图，已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长(结果保留根号)．
21．(9分)如图是不倒翁的设计图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝25°，求∠APB的度数．
22．(9分)如图，在直角坐标系中，点M在第一象限内，MN⊥x轴于点N，MN＝1，⊙M与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点．
(1)求⊙M的半径；
(2)请判断⊙M与直线x＝7的位置关系，并说明理由．
23．(9分)如图，已知A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，P是直径CD延长线上的一点，且AP＝AC.
(1)求证：AP与⊙O相切.
(2)如果AC＝3，求PD的长．
24．(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上．以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
25．(10分)在⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.
(1)如图①，若AM＝AB＝4，求⊙O的半径；
(2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小．
26．(12分)如图①、②、③、…、○n ，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中∠MON的度数是__________，图③中∠MON的度数是__________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．
参考答案与解析
1．A 2.A 3.B 4.B 5.D 6.B
7．A 8.B 9.B 10.C 11.D 12.B
13．D 解析：连接OB，OC.∵∠BAC＝62°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－62°＝118°.∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×118°＝59°，∴∠BOC＝180°－59°＝121°.故选D.
14．D
15．B 解析：设量角器的半径为xcm，量角器与AC相切于点M时，点D到达D′的位置，则CD＝(x＋5)cm，CM＝D′M＝xcm，CD′＝5＋x－2＝(3＋x)cm.在Rt△MCD′中，CM＝CD′·cos45°，即3＋x＝x，解得x＝3(＋1)，所以CD＝3(＋1)＋5＝ (3＋8)(cm)，AB＝2CD＝2(3＋8)＝(6＋16)(cm)．故选B.
16．D 解析：连接OM，OP，作OH⊥AB于H.当x＝0时，y＝－x＋2＝2，则A点的坐标为(0，2)；当y＝0时，－x＋2＝0，解得x＝2，则B点的坐标为(2，0)，所以△OAB为等腰直角三角形，则AB＝OA＝4，OH＝AB＝2.因为PM为⊙O的切线，所以OM⊥PM，所以PM＝＝.当OP的长最小时，PM的长最小，而OP＝OH＝2时，OP的长最小，所以PM的最小值为＝.故选D.
17.
18．2－ 解析：∵边长相等的正方形、正六边形的一边重合叠在一起，∴AC＝BC，∠ACB＝120°－90°＝30°，∴∠CAB＝∠CBA＝(180°－30°)＝75°.∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－75°＝15°.作∠BAE＝∠ABD＝15°，如图所示，则AE＝BE，∠AED＝15°＋15°＝30°，∴AE＝2AD.设AD＝x，则AE＝BE＝2x，DE＝x，∴BD＝(2＋)x，∴tan∠ABD＝＝＝2－.
19. 解析：连接OE1，OD1，OD2.∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，∴∠E1OD1＝60°，∴△E1OD1为等边三角形．∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD2＝E1D1＝×2，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长为×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长为×2，依此类推得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长为×2＝，正n边形AnBnCnDnEnFn的边长为×2＝.
20．解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，∴∠PAB＝90°.(4分)∵AB＝2，∠P＝30°，∴tan30°＝＝＝(8分)，∴AP＝2.(9分)
21．解：∵PA，PB切⊙O于点A，B，∴PA＝PB，OA⊥PA，∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°.(4分)∵∠OAB＝25°，∴∠PAB＝65°，∴∠APB＝180°－65°×2＝50°.(9分)
22．解：(1)连接AM.∵A点坐标为(2，0)，B点坐标为(6，0)，∴OA＝2，OB＝6，∴AB＝4.∵MN⊥AB，∴AN＝AB＝2.(3分)在Rt△AMN中，AM＝＝，即⊙M的半径为.(5分)
(2)相离．(7分)理由如下：∵ON＝OA＋AN＝4，∴点M的横坐标为4，其到直线x＝7的距离为3.∵3＞，∴⊙M与直线x＝7相离．(9分)
23．(1)证明：连接OA，AD.∵CD为直径，∴∠CAD＝90°.∵∠ADC＝∠B＝60°，∴∠ACD＝30°.∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACD＝30°.(2分)∵∠AOD＝2∠ACD＝60°，∴∠OAP＝180°－60°－30°＝90°，∴OA⊥PA，∴AP与⊙O相切．(5分)
(2)解：∵AC＝3，∴AP＝AC＝3.在Rt△OPA中，∵∠P＝30°，∴OA＝tan∠APO·AP＝，(7分)∴PO＝2OA＝2，∴PD＝PO－OD＝2－＝.(9分)
24．解：(1)BC与⊙O相切．(1分)理由如下：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，(3分)∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC，∴BC与⊙O相切．(5分)
(2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2.根据勾股定理得OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2＋(2)2，解得x＝2.∴OD＝OF＝2，OB＝2＋2＝4.(7分)在Rt△ODB中，∵OD＝OB，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴S扇形ODF＝＝，∴S阴影＝S△OBD－S扇形ODF＝×2×2－＝2－.(10分)
25．解：(1)过点O作OP⊥AB.∵MA，MB是⊙O的切线，∴MA＝MB，∠MAC＝90°.∵AM＝AB，∴MA＝MB＝AB，∴△MAB为等边三角形，∴∠MAB＝60°.(3分)∵∠MAC＝90°，∴∠OAP＝30°.∵OP⊥AB，∴AP＝AB＝2，∴OA＝＝.(5分)
(2)连接AD，AB.∵MA⊥AC，BD⊥AC，∴BD∥MA.又∵BD＝MA，∴四边形MADB是平行四边形．∵MA＝MB，∴四边形MADB是菱形，∴AD＝BD.(7分)∵AC为直径，BD⊥AC，∴＝，∴AB＝AD.∴△ABD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠AMB＝∠D＝60°.(10分)
26．解：(1)连接OB，OC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵OC＝OB，O是外接圆的圆心，∴BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠OBM＝∠OCN＝30°.∵BM＝CN，OC＝OB，∴△OMB≌△ONC，(2分)∴∠BOM＝∠NOC.∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠MON＝∠BOC＝120°.(4分)
(2)90° 72°(8分)
(3)∠MON＝.(12分)
