26.1 随机事件
一．选择题（共8小题）
1．下列事件，属于不可能事件的是（ ）
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
2．下列语句描述的事件，是随机事件的为（ ）
A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日
C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意
3．小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮的进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
4．从﹣1，0，，﹣0.3，π，中任意抽取一个数．下列事件发生的概率最大的是（ ）
A．抽取正数 B．抽取非负数 C．抽取无理数 D．抽取分数
5．口袋里装有大小、形状完全一样的9个红球、6个白球．则（ ）
A．从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性更大
B．从中随机摸出一个球，摸到红球和白球的可能性一样大
C．从中随机摸出5个球，必有2个白球
D．从中随机摸出7个球，可能都是白球
6．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（ ）
A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数
C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于2
7．“a是实数，|a|＜0”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件
8．已知实数a＜0，则下列事件是必然事件的是（ ）
A．a+3＜0 B．a﹣3＜0 C．3a＞0 D．a3＞0
二．填空题（共5小题）
9．小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明获胜是必然事件，则小明第一次应该取走火柴棒的根数是 ．
10．“清明时节雨纷纷”是 事件（填“必然”、“不可能”、“随机”）.
11．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为 ．
12．3人中有两人性别相同的概率为 ．
13．箱子中有2个白球、4个黑球及m个红球，它们仅有颜色不同，若从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性大，则m的值可能是 （写出一个即可）．
三．解答题（共6小题）
14．下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）太阳从西边落山；
（2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）；
（3）水往低处流；
（4）三个人性别各不相同；
（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；
（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
15．在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是不确定、不可能事件、还是必然事件．
（1）从口袋中一次任意取出一个球，是白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；
（3）从口袋中一次任取5个球，只有蓝球和白球，没有红球；
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了．
16．一个布袋装有7个红球，2个黑球，1个白球，从中任意摸出一个球，比较A，B，C ，D，E这五个事件发生的可能性大小，并按可能性从小到大的顺序把它们排列起来．
（用“必然”，“很可能”，“不大可能”，“不可能”来描述这些事件发生的可能性大小）
A：摸出一个球，是红球，或白球，或黑球；
B：摸出一个球，是红球；
C：摸出一个球，是黑球；
D：摸出一个球，是绿球；
E：摸出一个球，是白球．
17．小明的爸爸买天天彩的时候，特地查询了前8期的中奖号码，分别是：296，972，627，379，176，461，078，208，认为下一期的中奖号码中含9的可能性非常大，你同意吗？说说你的理由．
18．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
（1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值
（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的可能性的大小是，求m的值．
19．动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3．现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？现年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？
参考答案
一．1．C【解析】A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故此选项错误；B、某个数的相反数等于它本身，是随机事件，故此选项错误；C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项正确；D、长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故此选项错误．故选C．
【点评】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确把握相关定义是解题关键．
2．D【解析】A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误；B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误；C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误；D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确．故选D．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题的关键．
3．C【解析】根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，小亮明天有可能进球．故选C．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．
4．B【解析】A、抽取正数的概率为；B、抽取非负数的概率为；C、抽取无理数的概率为；D、抽取分数的概率为；故发生的概率最大的是B选项．故选B．
【点评】本题主要考查了概率的意义，结合概率=所求情况数与总情况数之比是解题关键．
5．A【解析】A、红球的数量多，从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性更大，故A符合题意；B、红球的数量多，从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性更大，故B不符合题意；C、从中随机摸出5个球，有可能都是红球，有可能都是白球，故C不符合题意；D、从中随机摸出7个球，不可能都是白球，故D不符合题意.故选A．
【点评】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
6．C【解析】∵抛掷一枚骰子共有1、2、3、4、5、6这6种等可能的结果，∴A、面朝上的点数是6的概率为；B、面朝上的点数是偶数的概率为=；C、面朝上的点数大于2的概率为=；D、面朝上的点数小于2的概率为.故选C．
【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
7．C【解析】“a是实数，|a|＜0”这一事件是不可能事件.故选C．
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．B【解析】A、a+3＜0是随机事件，故A错误；B、a﹣3＜0是必然事件，故B正确；C、3a＞0是不可能事件，故C错误；D、a3＞0是随机事件，故D错误.故选B．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二．9．1【解析】若小明第一次取走1根，小丽也取走1根，小明第二次取2根，小丽不论取走1根还是两根，小明都将取走最后一根，若小明第一次取走1根，小丽取走2根，小明第二次取1根，小丽不论取走1根还是两根，小明都将取走最后一根，由小明先取，且小明获胜是必然事件.【点评】本题考查了随机事件，关键是得到如何让小明获得最后的取火柴权．
10．随机【解析】清明时节雨纷纷”是 随机事件．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
11．【解析】∵在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，随机摸出一个蓝球的概率是.设红球有x个，∴=，解得x=3，∴随机摸出一个红球的概率是=．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
12．1【解析】性别情况有两种，3人中有两人性别必然有相同的；故其是必然事件，其概率为1．
【点评】本题考查确定事件：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，故概率为0．
13．5【解析】∵袋子中有黑球4个，且随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性大，∴红球的个数比黑球的个数多，即m＞4.
【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
三．14．解：（1）太阳从西边落山、（3）水往低处流、（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解是必然事件；（2）a2+b2=﹣1、（4）三个人性别各不相同是不可能事件，（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
15．解：（1）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；（2）一定不会发生，是不可能事件；（3）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；（4）可能发生，也可能不发生，是不确定事件．
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
16．解：A：摸出一个球，是红球，或白球，或黑球，是“必然事件”B：摸出一个球，是红球，是“很可能”事件，C：摸出一个球，是黑球，是“不大可能”事件，D：摸出一个球，是绿球，是“不可能”事件，E：摸出一个球，是白球，是“不大可能”事件．
【点评】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
17．解：不同意．因为每次摇奖时，各数字出现的概率是相同．
【点评】本题考查了概率的意义，是基础题，理解概率的定义是解题的关键
18．解：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件；
∵m＞1，当摸出2个或3个红球时，摸到黑球为随机事件，
事件A 必然事件 随机事件
m的值 4 2、3
（2）依题意，得，解得 m=2，所以m的值为2．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
19．解：现年20岁的这种动物活到25岁的概率为=0.625，现年25岁的这种动物活到30岁的概率为=0.6，
答：现年20岁的这种动物活到25岁的概率为0.625，现年25岁的这种动物活到30岁的概率为0.6．
【点评】本题考查了概率的意义，利用了概率的和差．
26.2 等可能情形下的概率计算
一．选择题（共9小题）
1．不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，篮球有3个，第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法，则两次摸到的都是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．同时投掷两枚硬币每次出现反面都向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1、2、3，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐2号车的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知在一个不透明的口袋中有4个形状、大小、材质完全相同的球，其中1个红色球，3个黄色球．从口袋中随机取出一个球（不放回），接着再取出一个球，则取出的两个都是黄色球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在1，2，3三个数中任取两个，组成一个两位数，则组成的两位数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．一个不透明的口袋里装有红、黑、绿三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黑球有1个，绿球有3个，第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，则两次摸到的都是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图中任意画一个点，落在黑色区域的概率是（ ）
（第9题图）
A． B． C．π D．50
二．填空题（共4小题）
10．小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，得到的点数为奇数的概率是 ．
11．甲盒装有3个乒乓球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个乒乓球，分别标号为1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，则取出的两球标号之和为4的概率是 ．
12．抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面恰好出现一正一反的概率是 ．
13．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n= ．
三．解答题（共5小题）
14．不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为．
（1）试求袋中蓝球的个数；
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
15．为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 人；
（2）图2中α是 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或画树状图的方法求出选中小亮A的概率．
（第15题图）
16．为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练．物理、化学各有3个不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③代表，化学用字母a、b、c表示．测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定．
（1）小张同学对物理的①、②和化学的b、c实验准备得较好．请用画树状图法或列表法求他两科都抽到准备得较好的实验题目的概率；
（2）小明同学对物理的①、②、③和化学的a实验准备得较好．他两科都抽到准备得较好的实验题目的概率为 ．
17．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．
18．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
参考答案
一．1．A【解析】列表，得
（白，蓝） （白，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝） （蓝，蓝） ﹣﹣
（白，蓝） （白，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝） ﹣﹣ （蓝，蓝）
（白，蓝） （白，蓝） （黄，蓝） ﹣﹣ （蓝，蓝） （蓝，蓝）
（白，黄） （白，黄） ﹣﹣ （蓝，黄） （蓝，黄） （蓝，黄）
（白，白） ﹣﹣ （黄，白） （蓝，白） （蓝，白） （蓝，白）
﹣﹣ （白，白） （黄，白） （蓝，白） （蓝，白） （蓝，白）
∴一共有30种等可能的结果，两次摸到的都是白球的有2种情况，∴两次摸到的都是白球的概率为=．故选A．
【点评】此题考查了通过列表法或画树状图法求概率．注意列表法与画树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比．
2．A【解析】画树状图，得
（第2题答图）
共4种情况，出现反面都向上的有1种情况，所以概率为．故选A．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况数之比；得到反面都向上的情况数是解决本题的关键．
3．A【解析】画树状图如答图.
（第3题答图）
共有9种等可能的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1，所以两人同坐2号车的概率=．故选A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
4．D【解析】如答图.
（第4题答图）
共12种情况，取出2个都是黄色的情况数有6种，所以概率为．故选D．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的易错点．
5．D【解析】随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：
（第5题答图）
至少有一次正面朝上的概率是.故选D．
【点评】本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
6．A【解析】如答图.
（第6题答图）
共有6种情况，是偶数的有2种情况，所以组成的两位数是偶数的概率为.故选A．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是不放回实验．
7．D【解析】列表如下：
红 红 黑 绿 绿 绿
红 ﹣﹣﹣ （红，红） （黑，红） （绿，红） （绿，红） （绿，红）
红 （红，红） ﹣﹣﹣ （黑，红） （绿，红） （绿，红） （绿，红）
黑 （红，黑） （红，黑） ﹣﹣﹣ （绿，黑） （绿，黑） （绿，黑）
绿 （红，绿） （红，绿） （黑，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿） （绿，绿）
绿 （红，绿） （红，绿） （黑，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿）
绿 （红，绿） （红，绿） （黑，绿） （绿，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有30种，其中两次都是红球的情况有2种，则P==．故选D．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．B【解析】从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，故概率为=．故选B．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
9．B【解答】∵黑色区域的面积占了整个图形面积的，∴落在黑色区域的概率是.故选B．
【点评】此题主要考查几何概率的意义：如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）=．
二．10．【解析】根据题意知，掷一次骰子有6个可能的结果，而奇数有3个，所以掷到上面为奇数的概率为．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
11．【解析】画树状图，如答图.
（第11题答图）
∵共有6种等可能的结果，取出的两球标号之和为4的有2种情况，
∴取出的两球标号之和为4的概率是=．
【点评】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复、不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；画树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
12．【解析】朝上一面发生的结果总数有4种，即（正，正）、（反，反）（正，反）、（反，正），所以朝上一面恰好出现一正一反的概率是．
【点评】用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比．
13．3【解析】这个不透明的盒子中装有2+n个球.又∵从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，∴=，解得n=3.
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
三．14．解：（1）设袋中蓝球的个数为x个.∵从中任意摸出一个是白球的概率为，
∴=，解得x=1.∴袋中蓝球的个数为1；
（2）画树状图，如答图.
（3）
（第14题答图）
∵共有12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种情况，
∴两次都是摸到白球的概率为=．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复、不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，画树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
15．解：（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，
∴12÷30%=40，
（2）×360°=54°，
40×35%=14；
补充图形如答图.
（3）600×=330； …（2分）
（4）画树状图，如答图.
∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种，
∴P（A）=．…（2分）
（第15题答图）
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复、不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，画树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
16．解：（1）画树状图如答图.
（第16题答图）
∵共有9种等可能结果，他两科都抽到准备得较好的实验题目的有4种情况，
∴他两科都抽到准备得较好的实验题目的概率为；
（2）∵小明同学两科都抽到准备得较好的实验题目的有3种情况，
∴他两科都抽到准备得较好的实验题目的概率为=．
【点评】此题考查了利用画树状图法与列表法求概率．用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比．
17．解：（1）列表如下：
小亮和小明 2 3 4
2 2+2=4 2+3=5 2+4=6
3 3+2=5 3+3=6 3+4=7
4 4+2=6 4+3=7 4+4=8
由表可知，总共有9种结果，其中和为6的有3种，则这两数和为6的概率=；
（2）这个游戏规则对双方不公平．
理由：因为P（和为奇数）=，P（和为偶数）=，而≠，
所以这个游戏规则对双方是不公平的．
【点评】此题考查了利用列表法求概率．注意画树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比．
18．解：（1）画树状图如答图.
（第18题答图）
（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，
∴两个数字之和能被3整除的概率为=．
【点评】本题考查了列表法与画树状图法，利用列表法或画树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
26.3 用频率估计概率
一．选择题（共8小题）
1．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．6 B．16 C．18 D．24
2．下列说法不正确的是（ ）
A．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查
B．若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定
C．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近
3．如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列陈述，正确的是（ ）
A．说明做100次这种试验，事件A必发生1次
B．说明事件A发生的频率是
C．说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生，后1次事件A才发生
D．说明做100次这种试验，事件A可能发生1次
4．在做针尖落地的实验中，正确的是（ ）
A．甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4001次时，针尖肯定不会触地
B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度
C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取
D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要
5．历史上，雅各布．伯努利等人通过大量投掷硬币的实验，验证了“正面向上的频率在0.5左右摆动，那么投掷一枚硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．“正面向上”必会出现5次
B．“反面向上”必会出现5次
C．“正面向上”可能不出现
D．“正面向上”与“反面向上”出现的次数必定一样，但不一定是5次
6．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个．
A．45 B．48 C．50 D．55
7．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ）
A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
8．某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次（即正面朝上的频率）．则下列说法正确的是（ ）
A．f一定等于
B．f一定不等于
C．多投一次，f更接近
D．抛掷次数逐渐增加，f稳定在附近
二．填空题（共7小题）
9．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 85 318 652 793 1604 4005
发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 （精确到0.10）．
10．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 ．
11．在一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%．那么估计a大约有 个．
12．有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后．发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为 ．
13．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有 个黄球．
14．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005
发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 （精确到0.1）．
15．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球可能有 个．
三．解答题（共4小题）
16．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
17．六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动的为40000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．
（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；
（2）请你估计袋中白球接近多少个.
18．如图，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．如下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得可乐的概率是多少？
（第18题图）
19．一个口袋中放有20个球，其中红球有6个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别．
〔1〕小王通过大量反复的实验（每次取一个球，放回搅匀后再取第二个）发现，取出黑球的频率稳定在左右，请你估计袋中黑球的个数；
〔2〕若小王取出的第一个球是白色，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取出一个球，取出红球的概率是多少？
参考答案
一．1．B【解析】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16（个）．故选B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为频率=所求情况数与总情况数之比．
2．C【解析】A、电视机使用寿命的调查具有破坏性，适合抽样调查，故本选项正确；B、方差越小越稳定，故本选项正确；C、中奖概率为1%，意味着可能性为1%，并不一定中奖，故本选项错误；D、随着实验次数的增加，频率会稳定在概率附近，故本选项正确．故选C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率、全面调查与抽样调查、用频率估计概率，要加深理解．
3．D【解析】各选项中，只有选项D是可能发生的，符合概率的意义．故选D．
【点评】考查实验条件下概率的意义；理解概率也只是指一定条件下一个可能的值是解决本题的关键．
4．B【解析】A、在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意；
B、符合模拟实验的条件，正确，符合题意；C、应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意；D、所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意.故选B．
【点评】考查模拟实验的条件；实验器具和实验环境应相同；实验的结果带有一定的偶然性．
5．C【解析】A、“正面向上”不一定会出现5次，故本选项错误；B、“反面向上”不一定会出现5次，故本选项错误；C、“正面向上”可能不出现，只是几率不太大，故本选项正确；
D、“正面向上”与“反面向上”出现的次数可能不一样，故本选项错误.故选C．
【点评】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，概率=所求情况数与总情况数之比，难度一般，要注意理解定义．
6．A【解析】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为1：9.∵白球有5个，∴红球有9×5=45（个）.故选A．
【点评】本题考查的是利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中红色球所占的比例．
7．A【解析】∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有30次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，∴口袋中黑球和白球的个数之比为1：3，4÷=12（个）．故选A．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
8．D 【解析】某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次（即正面朝上的频率），则抛掷次数逐渐增加时，f稳定在左右．故选D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
二．9． 0.80【解析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，0.801≈0.80，则这种玉米种子发芽的概率是0.80．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种玉米种子发芽的频率是解本题的关键．
10．10【解析】由题意，可得=0.2，解得n=10．故估计n大约有10个．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
11．12【解析】由题意，可得×100%=25%，解得a=12（个）．估计a大约有12个．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
12．600个【解析】∵摸到红球的频率约为0.6，∴红球所占的百分比是60%．∴1000×60%=600（个）．
13．15【解析】∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.4，设黄球有x个.∴0.4（x+10）=10，解得x=15．
【点评】解答此题的关键是要估计出口袋中红色球所占的比例，得到相应的等量关系．
14．0.8【解析】∵种子粒数为5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，∴估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8．
【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比．
15．15【解析】设袋子中黄球有x个.根据题意，得=0.3，解得x=15，即布袋中黄球可能有15个.
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
三．16．解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况．合格的有3种情形，P（抽到的都是合格品）==；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴=0.95，解得x=16．
【点评】本题考查了概率的公式、列表法与画树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
17．解：（1）1000÷4000=，
∴参加一次这种活动得到的福娃玩具的频率为；
（2）∵试验次数很大，大次数试验时，频率接近于理论概率，
∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为．
设袋中白球有x个，根据题意，得=.
解得x=18，经检验x=18是方程的解.
∴估计袋中白球接近18个．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
18．解：（1）填表如下：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.71 0.70
（2）由表格中的数据，可得当n很大时，频率将会接近0.70；
（3）由（2）得，当n很大时，频率将会接近0.70，即落在“铅笔”的概率为0.7，则转动转盘一次，获得可乐的概率是0.30．
【点评】此题主要考查了频率求法以及利用频率估计概率，正确理解频率与概率之间的关系是解题关键．
19．解：（1）取出黑球的频率稳定在左右，即可估计取出黑球的概率稳定为，袋中黑球的个数为×20=5（个）；
（2）因为白球的数目减少了1个，故总数减小为19，所以取出红球的概率增加了，变为．
【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比．部分的具体数目=总体数目×相应频率．
