沪科版九年级数学下册：24.5三角形的内切圆 同步练习 解析版

24.5 三角形的内切圆
一．选择题（共9小题）
1．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=a，CA=b，AB=c，⊙O与三角形的边相切，则下列选项，⊙O的半径为的是（　　）

A B

C D
2．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=（　　）

（第2题图）
A．100° B．75° C．115° D．105°
3．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其内切圆和外接圆的半径分别是（　　）
A．2，5 B．1，5 C．4，5 D．4，10
4．如图，⊙O是△ABC内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠B=50°，则∠DFE的度数是（　　）

（第4题图）
A．55° B．60° C．65° D．70°
5．在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，点O是内心，则∠BOC的度数是（　　）
A．105° B．115° C．120° D．130°
6．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则点O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心为点O）是（　　）

（第6题图）
A．2m B．3m C．6m D．9m
7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（　　）

（第7题图）
A．55° B．60° C．65° D．70°
8．如图⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F；若∠ABC=40°，∠ACB=60°，连接OE、OF，则∠EOF为（　　）

（第8题图）
A．80° B．100° C．120° D．140°
9．等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是（　　）
A．2 B．3 C． D．　
二．填空题（共9小题）
10．如图所示，设I是△ABC的内心（三条角平分线的交点），AI的延长线交BC边于点D，交△ABC的外接圆于点E，若IE=4，AE=8，则线段DE的长是　 　．

（第10题图）
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°，⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1），则OB的长为　 　．

（第11题图）
12．Rt△ABC的两条直角边长分别为3cm、4cm，则该三角形的内切圆的面积为　 　．
13．已知O为△ABC的内心，且∠BOC=130°，则∠A=　 　．

（第13题图）
14．如图，⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF=10，BE=3，则△ABC的面积为　 　．

（第14题图）
15．已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边的长为7.5，两条直角边的长分别是关于x的方程x2﹣3（m+）x+9m=0的两个根，则△ABC的内切圆面积是　 　．
16．如图，点I是△ABC的内切圆的圆心，若∠BIC=130°，则∠A的度数是　 　．

（第16题图）
17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆的半径r=　 　．

（第17题图）
18．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=　 　度．

（第18题图）
三．解答题（共3小题）
19．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．

（第19题图）








20．如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB=5，AC=6，BC=7，求AD、BE、CF的长．

（第20题图）










21．如图，O是△ABC的内切圆的圆心，∠BAC=80°，求∠BOC的度数．

　 （第21题图）




















参考答案
一．1．D【解析】①∵⊙O是△ABC的内切圆，∴⊙O的半径=，∴A不正确；②∵⊙O与AB，BC相切，∴r2+（c﹣a）2=（b﹣r）2，∴r=，∴B不正确；③∵⊙O与AC，BC相切，圆心在AB上，∴=，∴r=，∴C正确，④∵⊙O与AB，AC相切，圆心在BC 上，∴（a﹣r）2=r2+（c﹣b）2，∴r=，∴D不正确．故选D.
【点评】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理的应用，正确弄清圆与三角形的位置关系是解决本题的关键．　
2．C【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°．∴∠BOC=180°﹣25°﹣40°=115°．故选C．
【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心，明确三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点是解题的关键．　
3．A【解析】∵62+82=102，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的内切圆的半径==2，
△ABC的外接圆的半径==5．故选A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了勾股定理的逆定理．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为．　
4．C【解析】∵⊙O是△ABC内切圆，D、E是切点，∴∠ODB=∠OEB=90°，∴∠DOE=360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠B=130°，∴∠DFE=∠DOE=65°.故选C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、四边形内角和定理；熟练掌握圆周角定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．B【解析】∵点O是内心，∠ABC=50°，∠ACB=80°，∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣25°﹣40°=115°.故选B．
【点评】本题考查了对三角形的内切圆与内心的应用，注意：三角形的内心是三角形的三个内角的角平分线的交点．
6．C【解析】在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m．则AB===10．∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r．△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积，即AC?BC=AB?r+BC?r+AC?r，即6×8=10r+8r+6r∴r==2．故点O到三条支路的管道总长是2×3=6m．故选C．

（第6题答图）
【点评】本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形的内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键．
7．C【解析】∵∠A=100°，∠C=30°，∴∠B=50°.∵∠BDO=∠BEO，∴∠DOE=130°，∴∠DFE=65°．故选C．
【点评】熟练运用三角形的内角和定理、四边形的内角和定理以及切线的性质定理、圆周角定理．　
8．B【解析】∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∴∠A=80°，∴∠EOF=180°﹣80°=100°．故选B．
【点评】此题要熟练运用切线的性质定理、四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理．　
9．C【解析】如答图，连接OB，OD.∵等边△ABC是⊙O的内接圆，△ABC的周长为18，∴∠ABC=60°，BC=6，∴OD⊥BC，∠OBD=∠ABC=×60°=30°，BD=BC=3，∴OD=BD?tan∠OBD=3×=．∴它的内切圆半径是．故选C．

（第9题答图）
【点评】此题考查了正三角形的性质与三角形内接圆的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．　
二．10．2【解析】连接IB，如答图.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD.又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，∴BE=IE.在△BED和△AEB中，∠EBD=∠CAD=∠BAD，∠BED=∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴.∵IE=4，AE=8，∴BE=4，即DE=.

（第10题答图）
【点评】本题考查三角形的内心与外心、三角形相似，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
11．5【解析】如答图，设切点分别为E、Q、H，连接P1H，P1Q，P1E．则P1H⊥OB，P1Q⊥AO，P1E⊥AB．∵⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1），∴P1H=P1Q=P1E=1，OQ=OH=3，BH=BE.∵∠OAB=90°，∴四边形AQP1E为正方形，∴AQ=AE=P1Q=1，∴AO=OQ+AQ=3+1=4.在Rt△ABO中，OB2=OA2+AB2，∴（3+BH）2=42+（1+BH）2，解得BH=2，∴OB=OH+BH=3+2=5.

（第11题答图）
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练运用圆的切线性质和切线长定理进行几何证明；会运用勾股定理进行几何计算；常用三角形全等解决线段相等的问题．
12．πcm2【解析】斜边==5，则该三角形的内切圆的半径==1，所以该三角形的内切圆的面积为π?12=π（cm2）．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角三角形的内切圆的半径=（a、b为直角边，c为斜边）．　
13．80°【解析】∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=180°﹣130°=50°，而∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠ABC+∠ACB=100°，∴∠BAC=180°﹣100°=80°．
【点评】本题考查了三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．　
14．30【解析】∵⊙I是直角△ABC的内切圆，∴BD=BE，AF=AD.∵AF=10，BE=3，∴BD=3，AD=10.设CE=x，则CF=x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x+10）2+（x+3）2=132，解得x1=﹣15，x2=2，∴CE=2，∴BC=5，AC=12，∴S△ABC=AC?BC=×5×12=30．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，以及切线长定理，勾股定理，熟记切线长定理的内容是解题的关键．　
15．π【解析】设两直角边长分别为a、b.∵两条直角边的长分别是关于x的方程x2﹣3（m+）x+9m=0的两个根，∴a+b=3（m+），ab=9m.∵直角三角形的斜边为7.5，∴a2+b2=7.52，∴（a+b）2﹣2ab=，∴9（m+）2﹣18m=，解得m=﹣2或3，经检验m=﹣2不合题意，即m只能为3，∴a+b=.∵直角三角形的内切圆的半径r=（a+b+c），∴r=，∴△ABC的内切圆的面积为π.
【点评】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，根与系数的关系的应用，能求出m的值是解此题的关键．　
16．80°【解析】∵点I是△ABC的内切圆的圆心，∴∠IAB+∠IBA=（∠BAC+∠CBA），∵∠BIC=130°，∴∠IAB+∠IBA=180°﹣∠BIC.∵∠BIC=130°，∴∠BAC+∠CBA=2（∠IAB+∠IBA）=100°，∴∠A=180°﹣100°=80°，
【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心的定义，是基础知识比较简单．
17．【解析】如答图.在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8；根据勾股定理AB==10；
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得AD=AF，BD=BE，CE=CF；∴CE=CF=（AC+BC﹣AB），即r=（6+8﹣10）=2．

（第17题答图）
【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．
18．【解析】∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（50°+80°）=65°，∴∠BOC=180°﹣65°=115°．
【点评】本题通过三角形的内切圆，考查切线的性质．
三．19．（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD.
∵CE∥AD，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，
而∠BAD=∠CAD，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
而AB=AE，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
（3）如答图，连接BP、BQ、CQ.
在Rt△ABD中，AB==5，
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=，
∴PD=PA﹣AD=﹣3=.
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴?r?5+?r?8+?r?5=?3?8，解得r=，
即QD=，
∴PQ=PD+QD=+=．
答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．

（第19题图）
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．　
20．解：假设AD=x.
∵⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F；
∴根据切线长定理得出AD=AF，BD=BE，EC=FC，
∴AF=x.
∵AB=5，AC=6，BC=7，
∴BE=BD=AB﹣AD=5﹣x，FC=EC=AC﹣AF=6﹣x，
∴BC=BE+EC=5﹣x+6﹣x=7，
解得x=2.
∴AD=2，BE=BD=5﹣2=3，CF=AC﹣AF=6﹣2=4．
【点评】此题主要考查了切线长定理以及三角形内切圆的性质，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程求解是解题关键．　
21．解：∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°.
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=50°，
∴∠BOC=130°．
【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，准确运用三角形内心的性质，是解决问题的关键．