新版沪科版2019_2020学年九年级数学下册第24章圆24.6正多边形与圆作业设计（解析版）

24.6 正多边形与圆
一．选择题（共14小题）
1．正六边形的外接圆的半径为2，则它的内切圆的半径为（　　）
A． B． C．2 D．1
2．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（　　）

（第2题图）
A．△OAB是等边三角形
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．OC平分弦AB
D．∠BAC=30°
3．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（　　）
A． B．2 C．3 D．2
4．如图，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O所经过的路径长为（　　）

（第4题图）
A．6a B．5a C．2aπ D．
5．已知正六边形的周长是12a，则该正六边形的半径是（　　）
A．6a B．4a C．2a D．
6．正六边形的边心距与边长之比为（　　）
A．：3 B．：2 C．1：2 D．：2
7．如图，已知边长为2的正三角形ABC的顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A的下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（　　）

（第7题图）
A．3 B．4﹣ C．4 D．6﹣2
8．如图，MN是⊙O的直径，∠A=20°，∠PMQ=50°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（　　）

（第8题图）
A．正七边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正十边形
9．半径相等的圆的内接正三角形和正方形，正三角形与正方形的边长之比为（　　）
A．1： B．： C．3：2 D．1：2
10．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系正确的是（　　）

（第10题图）


A．a4＞a2＞a1 B．a4＞a3＞a2 C．a1＞a2＞a3 D．a2＞a3＞a4
11．中心角为60°的正多边形的边数是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
12．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（　　）

（第12题图）
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．
D．∠BAC=30°
13．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（　　）
A．2 B． C．1 D．
14．如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC=5，则折痕在△ABC内的部分DE的长为（　　）

（第14题图）

A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
15．正五边形的中心角的度数是　 　．
16．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为　 　．
17．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为　 　．
18．如图，正方形ABCD内接于半径为的⊙O，E为DC的中点，连接BE，则点O到BE的距离等于　 　．

（第18题图）
19．正六边形的半径与边长的比为　 　．
20．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为　 　．
21．设A0，A1，…，An﹣1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是　 　，此时正n边形的面积是　 　．
22．如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为　 　．

（第22题图）
23．一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过　 mm（保留根号）．
24．边长为6的正六边形外接圆的半径是　 　．
三．解答题（共1小题）
25．已知圆的半径为R，试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比．
　




参考答案
一．1．【解析】如答图.连接OA，OB，OG.∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴OG=OA?sin60°=2×=，∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．故选A．

（第1题答图）
【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．　
2．【解析】∵OA=AB=OB，∴△OAB是等边三角形，故选项A正确，∴∠AOB=60°.∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，AC=BC，弧AC=弧BC，∴=12，∠BAC=∠BOC=15°，∴选项B、C正确，选项D错误.故选D．
【点评】本题考查了正多边形的性质、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，要熟练应用．　
3．【解析】如答图.∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA.∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．故选B．

（第3题答图）
【点评】本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．
4．【解析】如答图.∵正六边形的内角为120°，∴∠BAF=120°，∴∠FAF′=60°，∴==πa，∴六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O所经过的路径长为πa×6=2aπ．故选C．

（第4题答图）
【点评】此题考查了正六边形与弧长公式等知识．解答此题的关键是抓住圆心O的运动路线相当于6个弧FF′的长．注意数形结合思想的应用．
5．【解析】∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径.又∵正六边形的周长为12a，∴正六边形边长为2a，∴正六边形的半径等于2a．
故选C．
【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题的关键是利用了等边三角形的性质及三角形的面积公式．
6．【解析】如答图，设六边形的边长是a，则半径也是a；经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，则AC=AB=a，∴OC==a，∴正六边形的边心距与边长之比为a：a=：2．故选B．

（第6题答图）
【点评】此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．　
7．【解析】如答图.当点E旋转至y轴上时DE最小.∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC.∵AB=BC=2，∴AD=AB?sin∠B=.∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2.∵点A的坐标为（0，6），∴OA=6，∴DE′=OA﹣AD﹣OE′=4﹣.
故选B．

（第7题答图）
【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．
8．【解析】连接QO，PO，如答图.∵QO=PO，∴∠OPQ=∠OQP.∵∠PMQ=50°，∴∠POQ=100°，
∴∠OPQ+∠OQP=180°﹣100°=80°，∴∠OPQ=∠OQP=40°，∴∠A+∠APO=∠POM=20°+40°=60°.∵PO=OM，∴△POM是等边三角形，∴PM=OP=OM，∴以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形．故选C．

（第8题答图）
【点评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识，根据已知得出△POM是等边三角形是解题关键．
9．【解析】设其半径是R，则其正三角形的边长是 R，正方形的边长是R，则它们的比是：．故选B．
【点评】能够构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形．该正多边形的半径即是圆的半径，其半边所对的角是它的中心角的一半，即．
10．【解析】设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3.设正方形的边长是x，由勾股定理，得对角线是 x，则正方形的周率是a2==2≈2.828.设正六边形的边长是b，过点F作FQ∥AB交BE于点Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，
∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选B．

（第10题答图）
【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．　
11．【解析】∵360°÷60°=6，∴中心角为60°的正多边形的边数是6．故选B．
【点评】本题考查了正多边形和圆，熟记正多边形的边数和圆心角的关系是解题的关键．
12．【解析】A、因为OA=OB，OA=AB，所以OA=OB=AB，所以△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，以AB为一边可构成正六边形，故A正确；B、因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，=；再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B正确；C、根据垂径定理，=，故C正确；D、根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC=∠BOC=×∠BOA=×60°=15°，故D错误．故选D．
【点评】此题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用．
13．【解析】设多边形的边数为n．因为正多边形的内角和为（n﹣2）?180°，正多边形的外角和为360°，根据题意，得（n﹣2）?180°=360°×2，n﹣2=2×2，n=6．故正多边形为六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.故选A．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念的掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算．　
14．【解析】如答图.连接AM，与DE、BC分别交于点F、点S，则点F是圆心，又是三角形的内心.∵S是BC的中点，F是DE的中点，则有DE∥BC，∴AF：AS=DE：BC=2：3，∴DE=．故选C．

（第14题答图）
【点评】本题利用了圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形的高的的性质，进行求解．
二．15．72°【解析】正五边形的中心角为=72°．【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．　
16．2【解析】如答图.∵正六边形的边心距为，∴OB=，∠OAB=60°，∴AB===1，∴AC=2AB=2．

（第16题答图）
【点评】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．　
17．【解析】如答图.连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2.∵OM⊥AB，∴AM=BM=1.在△OAM中，由勾股定理，得OM==．

（第17题答图）
【点评】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键．
18．【解析】如答图，连接EO，BO，作OF⊥BE.由正方形ABCD内接于半径为的⊙O，可得CD=AD=BC=2.∵E是CD中点，∴DE=CE=1.在△BCE中由勾股定理，得BE=，则BE×OF=OE×CE×FO=1×1，解得OF=.

（第18题答图）
【点评】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，正方形的性质等知识点，关键是求出EC，BE的长．
19．1：1【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴正六边形的半径=边长，∴正六边形的半径与边长的比为1：1.
【点评】本题考查了正多边形和圆，解答此题的关键是正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．
20．9【解析】当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是360÷40=9；当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．
【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．
21．23，1【解析】用找规律找出P与n的关系式， 不难发现，P与n有下表所列的关系.
3 4 5 6
1 （0+1）=（3﹣3）×3÷2+1 3 （2+1）=（4﹣3）×4÷2+1 6 （5+1）=（5﹣3）×5÷2+1 10 （6+3+1）=（6﹣3）×6÷2+1
因此，P=（n﹣3）?n÷2+1，即P=n2﹣n+1．P=n2﹣n+1可以化为P=（n﹣）2+，
由于n≥3，故P值越大，n取值越大． 在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P值最大代入各值，得231÷1=n2﹣n+1，整理，得n2﹣3n﹣460=0 解得n=23或n=﹣20（不合题意，舍去） 故n=23为最大值，此时正23边形的面积为1．
【点评】本题考查了正多边形和圆以及面积及等积变换．解题的关键是得出P与n的关系式，确定面积取最小值1时，P的值最大．
22．【解析】如答图.∵∠POM=45°，∠DCO=90°，∴∠DOC=∠CDO=45°，∴△CDO为等腰直角三角形，那么CO=CD．连接OA，可得到直角三角形OAB，∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，那么AB2+OB2=52，∴AB2+（2AB）2=52，∴AB的长为．

（第22题答图）
【点评】解决本题的关键是构造直角三角形，注意先得到OB=2AB．　
23．12 【解析】如答图.已知此圆的半径为12，则OB=12mm．在直角△OBD中，BD=OB?sin60°=6 mm．则可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正三角形的边长最大．

（第23题答图）
【点评】此题所求结果有些新颖，要注意题目问题的真正含义．　
24．6【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴边长为6的正六边形外接圆半径是6．
【点评】正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．　
三．25．解：如答图①.连接O1 A，作O1 E⊥AD于点E.
∵O1 A=R，∠O1 AE=45°，
∴AE=O1 A?cos45°=R，
∴AD=2AE=R.
如答图②.连接O2 A，O2 B，则O2 B⊥AC.
∵O2 A=R，∠O2 AF=30°，∠AO2 B=60°，
∴△AO2 B是等边三角形，AF=O2A?cos30°=R，
∴AB=R，AC=2AF=R；
∴圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比R：R：R=：：1．

（第25题答图）
【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形，熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．