29.1 第1课时 投影
知识点 1 平行投影
1.在如图的四幅图形中，两棵小树在阳光下同一时刻的影子可能是( )
2．如图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为( )
A．①②③④ B．④③①②C. ③④②① D．④②③①
3.一天下午小红先参加了校运动会女子100 m比赛，过了一段时间又参加了女子400 m比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么________(填“甲”或“乙”)照片是参加400 m比赛时照的．
知识点 2 中心投影
4.晚上，晓华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是( )
A.逐渐变长 B．逐渐变短C.先变长后变短D．先变短后变长
5.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下( )
A.小明的影子比小强的影子长
B.小明的影子比小强的影子短
C.小明的影子和小强的影子一样长
D.无法判断谁的影子长
6.圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面上圆环形阴影的面积是( )
A.0.324π m2 B．0.288π m2C.1.08π m2D．0.72π m2
7.如图，小军、小珠在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，且他们之间的距离为2.7 m，则路灯的高为________m.
8.如图，点P表示广场上的一盏照明灯．
(1)请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子(用线段表示)；
(2)若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的水平距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离(结果精确到0.1米，参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574)．
参考答案
1．D [解析] 太阳光线是互相平行的，同一时刻物体的影长与高度成正比例关系．
2.B
3.甲 [解析] 根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体影子的指向是：西－西北－北－东北－东，影长由长变短，再变长．∵比赛是在下午进行的，∴乙照片是在参加100 m比赛时拍摄的，甲照片是在参加400 m比赛时拍摄的．
4.D [解析] 晓华走近路灯时，身影变短，远离路灯时，身影变长，所以身影先变短后变长．
5.D [解析] 在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，则小明比小强高，但在同一路灯下，离路灯的远近不同，则影子的长短不同，故无法判断谁的影子长．
6．D [解析] 如图所示．∵AC⊥OB，BD⊥OB，∴△AOC∽△BOD，∴＝，
即＝，解得BD＝0.9 m，同理可得AC′＝0.2 m，则BD′＝0.3 m，∴S圆环形阴影＝0.92π－
0.32π＝0.72π(m2)．
7.3 [解析] 如图，因为小军、小珠各自的身高与影长相等，所以∠E＝∠F＝45°，所以AB＝BE＝BF.设路灯的高AB为xm，则BD＝x－1.5，BC＝x－1.8.又因为CD＝2.7，
所以x－1.5＋x－1.8＝2.7，解得x＝3.
8.(1)如图，线段AC是小敏在照明灯P照射下的影子．
(2)如图，过点Q作QE⊥MO于点E，过点P作PF⊥AB于点F，交QE于点D，则PF⊥EQ.
在Rt△PDQ中，∠PQD＝55°，DQ＝QE－DE＝4.5－1.5＝3(米)．
∵tan55°＝，
∴PD＝3tan55°≈4.28(米)．
∵DF＝QB＝1.6米，
∴PF＝PD＋DF≈4.28＋1.6≈5.9(米)．
答：照明灯P到地面的距离约为5.9米．
第2课时 正投影
知识点 1 正投影
1.如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是( )
2.把一个正五棱柱按如图方式摆放，当投影线由正前方射到后方时，它的正投影是( )
3．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小________．
知识点 2 画物体的正投影
4.画出图中物体(正三棱柱)的正投影：
(1)投影线由物体前方射到后方；
(2)投影线由物体左方射到右方；
(3)投影线由物体上方射到下方．
5.下列说法正确的有( )
①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是一条线段；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.底面与投影面垂直的圆锥的正投影是________．
7.如图，在正方体上面放一个圆柱，已知正方体的一个侧面ABCD平行于投影面P，若圆柱中心正对正方体上面的中心，圆柱高等于AB，底面直径为AB.若AB＝4 cm.
(1)画出立体图形的正投影；
(2)计算投影的面积．
8.如图，已知一纸板的形状为正方形ABCD，其边长为10 cm，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为四边形A1B1C1D1.若∠ABB1＝45°，求四边形A1B1C1D1的面积．
参考答案
1．D [解析] 从上向下观察水杯，杯口的正投影为圆，杯把为线段．故选D.
2.B
3.相同 [解析] 当物体的某个面平行于投影面时，光线垂直于这个面，故这个面的正投影与这个面的形状、大小相同．
4.解：如图．
5.D [解析] 根据题目要求画图分析，说法①②③④都正确．
6.等腰三角形
7.解：(1)如图．
(2)×4×4＋4×4＝(cm2)，即投影的面积为cm2.
8.解：易知四边形A1B1C1D1是矩形．如图，过点A作AH⊥BB1于点H.
∵∠ABB1＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝AB＝×10＝5 (cm)，
∴A1B1＝AH＝5 cm.
∵A1D1＝AD＝10 cm，
∴矩形A1B1C1D1的面积为A1B1·A1D1＝5 ×10＝50 (cm2)．
29.2 第1课时 三视图
知识点 1 三视图的识别
1.图中的长方体的主视图(主视图也称正视图)是( )
2．如图的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是( )
3.图中几何体的俯视图是( )
4.如图的几何体的左视图是( )
5.下列四个立体图形中，它们各自的三视图中有两个相同，而另一个不同的是( )
A．①② B．②③ C.②④ D．③④
6.如图是由棱长为1的正方体组成的几何体，则它的主视图的面积为________，左视图的面积为________，俯视图的面积为________．
知识点 2 三视图的画法
7.如图的圆柱的三视图画法正确的是( )
8．一个几何体由n个大小相同的小正方体搭成，其左视图、俯视图如图，则n的值最小是( )
A.5 B．7 C.9 D．10
9.画出下列几何体的三视图：
能力提升
10.两个等直径圆柱构成如图的T型管道，则其俯视图正确的是( )
11．如图的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是( )
12．如图是某几何体的俯视图，正方形中的数字为该位置上小正方体的个数，则该几何体的主视图是( )
13．由5个大小相同的小正方体拼成的几何体如图，则下列说法正确的是( )
A．主视图的面积最小
B.左视图的面积最小
C.俯视图的面积最小
D.三个视图的面积相等
14．如图是由8个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图都是2×2的正方形，若拿掉若干个小立方块后(几何体不倒掉)，其三个视图仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉小立方块( )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
15.画出图中几何体(上半部分为正六棱柱，下半部分为圆柱)的三视图．
16.如图是一粮仓，其顶部是一圆锥，底部是一圆柱．
(1)画出粮仓的三视图；
(2)若这个圆锥的底面周长为32 m，母线长为7 m，为防雨需要在粮仓顶部铺上油毡，则需要多少油毡(油毡接缝重合部分不计)?
(3)若这个圆柱的底面圆的半径为8 m，高为5 m，粮食最多只能装至与圆柱同样高，则这个粮仓最多可以存放多少粮食(结果保留π)?
参考答案
1.C 2. C 3.B
4.C [解析] 从左面看该立体图形，应该是“L”型的图形．故选C.
5.D
6. 4 5 5 [解析] 该几何体的主视图为，左视图为，俯视图为，所以主视图、左视图、俯视图的面积分别为4，5，5.
7.A
8.B [解析] 由俯视图可知该几何体标1，2，3，4的位置上都有小正方体，结合左视图知1，2位置中，其中一个位置有三个小正方体，另一个位置最少有一个小正方体，3，4位置中，其中一个位置有两个小正方体，另一个位置最少有一个小正方体，故该几何体至少有七个小正方体．
9.解：如图所示：
(1)
(2)
10.B [解析] 俯视图是从上往下看得到的图形，图中竖直圆柱的俯视图是圆形，横放的圆柱的俯视图是长方形，又因为它们的直径相等，故该T型管道的俯视图是选项B中的图形．
11.D 12.B 13.B
14.B [解析] 拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为2×2的正方形，则下面一层应有4个小立方块，上面一层至少应该有2个小立方块．故最多能拿掉2个小立方块．
15.解：如图．
16.解：(1)粮仓的三视图如图所示．
(2)S侧＝32×7×＝112(m2)．
答：需要112 m2的油毡．
(3)V圆柱＝πr2h＝π×82×5＝320π(m3)．
答：这个粮仓最多可以存放320π m3的粮食．
第2课时 由三视图确定几何图形(实物）
知识点 1 由三视图判断出几何体或者物体原型
1.某几何体的三视图如图，则这个几何体是( )
A．圆柱 B．正方体 C.球 D．圆锥
2.图中三视图对应的正三棱柱的摆放位置是( )
3．一个几何体的三视图如图，则该几何体是( )
4.若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，则这个几何体是( )
A.正方体 B．圆锥 C.圆柱 D．球
5.若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是( )
A.圆柱 B．圆锥 C.球 D．正方体
6.如图，请你根据三视图画出该物体的立体图形，并说出该物体的具体名称．
知识点 2 由三视图确定面积或体积的大小
7.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图，则其主视图的面积为( )
A.6 B．8 C．12 D．24
8.由若干个棱长为1 cm的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，则这个几何体的表面积是( )
A.15 cm2 B．18 cm2 C.21 cm2 D．24 cm2
9．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据(单位： cm)，可求得这个几何体的体积为( )
A.2 cm3 B．3 cm3 C.6 cm3 D．8 cm3
10．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为( )
A.3，2 B.2，2 C.3，2 D.2，3
能力提升
11．某电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目《墙来了》，选手需按墙上的空洞造型(如图所示)摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．若墙上的三个空洞恰是某个几何体的三视图，则该几何体为( )
12．由若干个边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图，则构成这个几何体的小正方体有( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
13．如图是由若干个同样大小的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置处立方体的个数，则这个几何体的主视图是( )
14．如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为( )
A.2 B. C．2 D．1
15.如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为( )
A.236π B．136π C．132π D．120π
16.某几何体的三视图及相关数据如图，则该几何体的全面积S＝________．
冲刺满分
17.由n个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如图，则n的最大值是( )
A．18 B．19 C．20 D．21
18.如图①是一个几何体的主视图和左视图，同学们在探究它的俯视图时，画出了如图②的几个图形，其中可能是该几何体俯视图的共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
参考答案
1.D 2.A
3.D [解析] 观察四个选项中的几何体，只有D项中几何体的俯视图是两个同心圆．故选D.
4.A 5.C
6.解：(1)
(2)
7.B [解析] 主视图反映物体的长和高，左视图反映物体的宽和高，俯视图反映物体的长和宽．结合三者之间的关系从而确定主视图的长和高分别为4，2，所以其面积为8.故选B.
8.B [解析] 根据主视图、左视图和俯视图可知该几何体由4个小正方体组成，各侧面都是3个正方形，所以这个几何体的表面积是3×6＝18(cm2)．故选B.
9.B [解析] 由三视图可知，该几何体为长方体，长、宽、高分别是1 cm，1 cm，3 cm，所以它的体积为1×1×3＝3(cm3)．故选B.
10.C
11.A [解析] A项，三视图分别为正方形、矩形、三角形，符合题意．B项，三视图分别为三角形、三角形、带圆心的圆，不符合题意．C项，三视图分别为矩形、矩形、圆，不符合题意．D项，三视图分别为三角形、三角形、带有对角线的矩形，不符合题意．故选A.
12.B [解析] 综合三视图可知，这个几何体的底层应该有5个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用的小正方体有5＋1＝6(个)．
13.D [解析] 由俯视图可得主视图由2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一列由3个小正方形组成．故选D.
14.B [解析] 由正六棱柱的主视图和左视图可得正六棱柱的边长为2，求a的值可结合俯视图来解答，如图，作AD⊥BC于点D.在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AD＝1，∴a＝BD＝＝＝.
15.B [解析] 根据几何体的三视图得原几何体由“直径为4、高为2的圆柱”“直径为8、高为8的圆柱”组合而成，因此该几何体的体积为π×()2×2＋π×()2×8＝136π，故选B.
16.πb(b＋c) [解析] 依题意，知该几何体是圆锥．圆锥的母线长为c，底面半径为b，则由圆锥的侧面积公式，得S侧＝lr＝·2πb·c＝πbc，底面圆的面积为πb2，∴该几何体的全面积S＝πb(b＋c)．
17.A [解析] 综合主视图和俯视图，可知该几何体最多可由如图所示的小正方体堆成，正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，故n最大为8＋5＋5＝18.
18.C [解析] 由已知的主视图和左视图可知，原几何体是上下两层，且上下两层均为柱体．当上、下两个柱体都为长方体时，俯视图是a；当上面柱体为圆柱、下面柱体为长方体时，俯视图是b；当上、下两个柱体都为三棱柱时，俯视图是c；当上面柱体为长方体、下面柱体为圆柱时，俯视图是e；当上、下两个柱体都为圆柱时，俯视图是f；若俯视图是d，则该几何体的主视图和左视图应该是如图所示的图形，故d不符合题意．
第3课时 由三视图到表面展开图
知识点 1 由三视图到几何体的表面展开图
1.如图是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图是( )
2.如图是某几何体的三视图(图中尺寸单位： cm)，则该几何体的全面积是( )
A．40π cm2 B．65π cm2 C.80π cm2 D．105π cm2
3.如图是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，可知圆锥的侧面展开图中扇形圆心角的度数为( )
A.90° B．120° C.135° D．150°
4.如图是一个圆柱的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为________．(结果保留π)
5.如图是三个几何体的三视图和展开图，请将同一物体的三视图和展开图搭配起来．
A与______；B与______；C与______．
6.根据图中的三视图画出该物体的展开图．
知识点 2 由物体的展开图想象物体的三视图
7.某物体的侧面展开图如图，那么它的左视图为( )
8.如图是一个几何体的展开图，下面哪一个平面图形不是它的三视图中的一个视图( )
9．如图是某个几何体的表面展开图，则把该几何体平放在平面上时，其俯视图为( )
10.如图是某几何体的展开图．
(1)这个几何体的名称是__________；
(2)画出该几何体的三视图；
(3)求这个几何体的体积(π取3.14)．
能力提升
11．一个圆锥的左视图如图，则这个圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为( )
A.2π B．4π C.6 D．6π
12.一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形，则该圆柱的底面圆的半径是( )
A. B. C.或 D.或
13.如图是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，求它的表面积．
14.如图是一个几何体的三视图，若主视图的高为25，俯视图中等边三角形的边长为10，求这个几何体的表面积．
15.如图是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中所示数据计算这个几何体的全面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请求出蚂蚁爬行的最短路程．
参考答案
1．A [解析] 由三视图可知此几何体为圆柱，它的侧面展开图为矩形，且矩形的一边为圆柱的高，另一边为圆柱的底面圆的周长．故选A.
2.B [解析] 由主视图和左视图为三角形可判断出该几何体是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为8 cm，底面半径为10÷
2＝5(cm)，故表面积为×2πrl＋πr2＝π×5×8＋π×52＝65π(cm2)．
3.B [解析] ∵圆锥的底面直径为6，∴半径为3，圆锥的底面周长为6π.∵圆锥的高是6 ，∴圆锥的母线长为＝9.设扇形的圆心角为n°，∴＝6π，解得n＝120，即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角的度数为120°.故选B.
4. 24π [解析] 由图可知，圆柱的底面直径为4，高为6，所以侧面积为4×π×6＝
24π.
c a b [解析] A为正三棱柱，B为圆锥，C为正方体．
6.解：展开图如图所示.
7.B
8.D [解析] 由几何体的展开图可知该几何体为正六棱柱，若A项是它的俯视图，则B项是它的主视图，C项是它的左视图．故选D.
9.B
10.解：(1)圆柱.
(2)三视图如图所示.
(3)这个几何体的体积为πr2h≈3.14×52×20＝1 570.
11.D [解析] 根据圆锥的左视图可知底面圆的直径为6，母线长为5，∴这个圆锥的侧面展开图的弧长为πd＝6π.故选D.
12.C
13.解：S侧面＝2×3×6＝36(cm2)，S底面＝×2×(×2)×6＝6 (cm2)，
∴S表面＝36＋2×6 ＝36＋12 (cm2).
14.解：根据题意可得正三角形的高为＝5 ，∴俯视图的面积为×10×5 ＝25 ，∴这个几何体的表面积为3×25×10＋2×25 ＝750＋50 .
15.(1)圆锥．
(2)由三视图知该圆锥底面直径为4 cm，母线长为6 cm，∴圆锥的侧面积S侧＝×4π×6＝12π(cm2)，底面圆的面积为π()2＝4π(cm2)，故该几何体的全面积为12π＋4π＝
16π(cm2)．
(3)由圆锥的母线长为6 cm，底面圆的半径为2 cm，可得此圆锥侧面展开图扇形的圆心角为120°，半径为6 cm，如图，连接AB′，B′C，则∠B′AC＝60°，
∴△AB′C为等边三角形，B′D的长为蚂蚁所爬的最短路程．
∵D为AC的中点，
∴B′D⊥AC，
∴B′D＝＝＝3 (cm)，
即蚂蚁爬行的最短路程为3 cm.
