26.1 二次函数
1．下列函数，属于二次函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝(x－1)2－x2 C．y＝2x2－7 D．y＝－
2．函数y＝(m－5)x2＋x是二次函数的条件为( )
A．m为常数，且m≠0 B．m为常数，且m≠5
C．m为常数，且m＝0 D．m可以为任何数
3．已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半径r(cm)之间的函数表达式为( )
A．V＝14r2 B．r＝14πV C．V＝14πr2 D．r＝
4．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数表达式为( )
A．y＝1＋x2 B．y＝a (1＋x) C．y＝a (1＋x2) D．y＝a (1＋x)2
5．用一根长为10 m的木条，做一个长方形的窗框，若长为x m，则该窗户的面积y(m2)与x (m)之间的函数表达式为 ．
6．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，经过调查发现，若每件商品的售价为x元，可卖出(350－10x)件商品,则所获得的利润y(元)与售价x(元)之间的函数表达式为 ．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝45°.设BD＝x，AE＝y，则y关于x的函数表达式为 ．(不要求写出自变量x的取值范围)
8．已知二次函数y＝x2－bx－2，当x＝2时，y＝－2，求当函数值y＝1时，x的值．
9．如图，某矩形相框长26 cm，宽20 cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是x cm，相框内部的面积(指图中较小矩形的面积)为y cm2.
(1)写出y与x的函数表达式；
(2)若相框内部的面积为280 cm2，求相框边的宽度．
10．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售价定为x元，每天所赚利润为y元．
(1)请你写出y与x之间的函数表达式；
(2)当利润等于360元时，求每件商品的售价．
参考答案
1-4 CBCD
5. y＝－x2＋5x 6. y＝－10x2＋560x－7350
7. y＝x2－x＋1 8.3或－1
9.(1)y＝4x2－92x＋520(0＜x＜10) (2)3 cm
10.(1)y＝－10x2＋280x－1600(10≤x≤20) (2)14元
26.2.1 二次函数y=的图象与性质
一．选择题
1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
2．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B. C． D.
3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A． B． C． D.
4．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
二．填空题
5．下列函数，当x＞0时，y随x的增大而减小的是 ．(填序号)
（1）y=﹣x+1，（2）y=2x，（3），（4）y=﹣x2．
6．如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则抛物线的对称轴是 ；若y＞2，则自变量x的取值范围是 ．
7．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分的面积是 ．
三．解答题
8．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）．
（1）求出m的值并画出这条抛物线.
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标.
（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
9．分别在同一直角坐标系内，描点画出y= x2+3与y= x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．
参考答案
一． 1．C 2．B 3．D 4.C
二．5．（1）（4） 6．x= 0＜x＜1 7．2
三． 8．解：（1）由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3），得m=3．
∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4．
列表得：
x ﹣1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
图象如右图．
（2）由﹣x2+2x+3=0，得x1=﹣1，x2=3．
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
（3）由图象可知：
当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．
（4）由图象可知：
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
9．解：抛物线y= x2+3的开口方向向上，顶点坐标是（0，3），对称轴是y轴，且经过点（3，6）和（﹣3，6）.
抛物线y= x2的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，且经过点（3，3）和（﹣3，3），
则它们的图象如图.
26.2.2 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
1．如图，将抛物线y＝x2向________平移________个单位得到抛物线y＝x2＋2；将抛物线y＝x2向________平移________个单位得到抛物线y＝x2－2.
2．将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的关系式为( )
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2
3．不画出图象，回答下列问题：
(1)函数y＝4x2＋2的图象可以看成是由函数y＝4x2的图象通过怎样的平移得到的？
(2)说出函数y＝4x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)如果要将函数y＝4x2的图象经过适当的平移，得到函数y＝4x2－5的图象，应怎样平移？
4．抛物线y＝－x2－6的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________；当x________时，y有最________值，其值为________；当x________0时，y随x的增大而增大，当x________0时，y随x的增大而减小．
5．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的有________．(填序号)
①y＝－x＋1，②y＝2x，③y＝－，④y＝－x2.
6．已知点(－1，y1)，都在函数y＝x2－2的图象上，则y1______y2.(填“>”“<”或“＝”)
7．二次函数y＝2x2＋1，y＝－2x2－1，y＝x2－2的图象的共同特征是( )
A．对称轴都为y轴 B．顶点坐标相同
C．开口方向相同 D．都有最高点
8．二次函数y＝－x2＋1的图象大致是( )
9．二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )
A．抛物线开口向下
B．抛物线经过点(2，3)
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．抛物线的顶点坐标是(0，－3)
10．已知二次函数y＝ax2＋c有最大值，其中a和c分别是方程x2－2x－24＝0的两个根，试求该二次函数的关系式．
11．在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )
12．从y＝2x2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( )
A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5
C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤1
13．已知函数y＝则下列函数图象正确的是( )
14．已知二次函数y＝ax2＋k的图象上有A(－3，y1)，B(1，y2)两点，且y2A．a>0 B．a<0
C．a≥0 D．a≤0
15．小华同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2＋c的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 11 2 －1 2 5 …
由于粗心，小华算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝________．
16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B，C，则BC的长为________．
17．能否适当地上下平移函数y＝x2的图象，使得到的新图象过点(4，－2)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
18．已知抛物线y＝x2，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移几个单位？
19．已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2－4的一个交点坐标为(3，5)．
(1)求抛物线所对应的函数关系式；
(2)求抛物线与x轴的交点坐标；
(3)如果直线y＝kx＋b经过抛物线y＝ax2－4与x轴的交点，试求该直线所对应的函数关系式．
参考答案
1．上 2 下 2
2．A
3．解：(1)函数y＝4x2＋2的图象可以看成是由函数y＝4x2的图象向上平移2个单位得到的．
(2)函数y＝4x2＋2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)．
(3)将函数y＝4x2的图象向下平移5个单位得到函数y＝4x2－5的图象．
4．下 (0，－6) y轴(或直线x＝0) ＝0 大 －6 < >
5．①④ [解析] ①y＝－x＋1，y随x的增大而减小，符合题意；②y＝2x，y随x的增大而增大，不符合题意；③y＝－，在每一个象限，y随x的增大而增大，不符合题意；④y＝－x2，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，符合题意．故答案为①④.
6．> [解析] 抛物线y＝x2－2，当x<0时，y随x的增大而减小．
7．A 8.B 9.D
10．解：解方程x2－2x－24＝0，得x1＝－4，x2＝6.
因为函数y＝ax2＋c有最大值，所以a＜0.
而a和c分别是方程x2－2x－24＝0的两个根，所以a＝－4，c＝6，所以该二次函数的关系式是y＝－4x2＋6.
11．D [解析] A项，由n2≥0，可知直线与y轴的交点在原点或y轴的正半轴上，错误．B项，由二次函数y＝x2＋m的二次项系数为1，可知二次函数图象的开口向上，错误．C项，由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，可知m＜0，由直线可知，－m＜0，错误．D项，由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，可知m＜0，由直线可知，－m＞0，即m<0，正确．故选D.
12. C [解析] 如图，根据y＝2x2－3的图象，分析可得，当x＝0时，y取得最小值，且最小值为－3；当x＝2时，y取得最大值，且最大值为2×22－3＝5.故选C.
13．C [解析] y＝x2＋1，图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)，当x≥－1时，B，C，D正确；y＝，图象在第一、三象限，当x＜－1时，C正确．故选C.
14．A [解析] ∵二次函数y＝ax2＋k的图象关于y轴对称，∴点A(－3，y1)的对称点(3，y1)在二次函数图象上．∵当横坐标1<3时，有对应的纵坐标y215．2 [解析] 根据表格给出的各点坐标可得出，该函数图象的对称轴为直线x＝0，
进而可得函数关系式为y＝3x2－1，
则当x＝2与x＝－2时取值相同，为11.
故这个算错的y值所对应的x＝2.
16．8 [解析] ∵抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，∴点A的坐标为(0，4)．当y＝4时，x2＝4，解得x＝±4，∴点B的坐标为(－4，4)，点C的坐标为(4，4)，∴BC＝4－(－4)＝8.
17．解：能．设将函数y＝x2的图象向上平移c个单位后，所得新图象过点(4，－2)，所得新图象为抛物线y＝x2＋c.
将(4，－2)代入y＝x2＋c，
得－2＝×16＋c，c＝－10，
∴将函数y＝x2的图象向下平移10个单位后，所得新图象过点(4，－2)．
18．解：设将抛物线y＝x2向下平移b(b＞0)个单位，得到的抛物线的关系式为y＝x2－b.
不妨设点A在点B的左侧，由题意可得A(－，0)，B(，0)，C(0，－b)．
∵△ABC是直角三角形，
∴OB＝OC＝OA，即＝b，解得b＝0(舍去)或b＝2，
∴若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移2个单位.
19．解：(1)将交点坐标(3，5)代入y＝ax2－4，得9a－4＝5，解得a＝1.
故抛物线所对应的函数关系式为y＝x2－4.
(2)在y＝x2－4中，令y＝0可得x2－4＝0，解得x1＝－2，x2＝2.
故抛物线与x轴的交点坐标为(－2，0)和(2，0)．
(3)需分两种情况进行讨论：
①当直线y＝kx＋b经过点(－2，0)时，由题意可知
解得
故该直线所对应的函数关系式为y＝x＋2；
②当直线y＝kx＋b经过点(2，0)时，由题意可知解得
故该直线所对应的函数关系式为y＝5x－10.
综上所述，该直线所对应的函数关系式为y＝x＋2或y＝5x－10.
26.2.3二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
1．将抛物线y＝x2向________平移________个单位得到抛物线y＝(x＋5)2；将抛物线y＝x2向________平移________个单位得到抛物线y＝(x－5)2.
2．下列方法可以得到抛物线y＝(x－2)2的是( )
A．把抛物线y＝x2向右平移2个单位 B．把抛物线y＝x2向左平移2个单位
C．把抛物线y＝x2向上平移2个单位 D．把抛物线y＝x2向下平移2个单位
3．顶点是(－2，0)，开口方向、形状与抛物线y＝x2相同的抛物线是( )
A．y＝(x－2)2 B．y＝(x＋2)2
C．y＝－(x－2)2 D．y＝－(x＋2)2
知识点 2 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
4．抛物线y＝(x＋3)2的开口向______；对称轴是直线________；当x＝______时，y有最______值，这个值为________；当x________时，y随x的增大而减小．
5．对于任意实数h，抛物线y＝(x－h)2与抛物线y＝x2( )
A．开口方向相同 B．对称轴相同
C．顶点相同 D．都有最高点
6．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法中正确的是( )
A．其图象开口向上
B．其图象的对称轴是直线x＝3
C．其图象的顶点坐标是(0，3)
D．当x>－3时，y随x的增大而减小
7．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－(x－1)2的图象大致是( )
8．已知函数y＝－(x－1)2的图象上的两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1______y2.(填“<”“>”或“＝”)
9．在平面直角坐标系中画出函数y＝－(x－3)2的图象．
(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)说明该函数图象与二次函数y＝－x2的图象的关系；
(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小．
10．如图是二次函数y＝a(x－h)2的图象，则直线y＝ax＋h不经过
的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．已知二次函数y＝－(x－h)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小．当x＝0时，y的值为( )
A．－1 B．－9 C．1 D．9
12．将抛物线y＝ax2－1平移后与抛物线y＝a(x－1)2重合，抛物线y＝ax2－1上的点A(2，3)同时平移到点A′的位置，那么点A′的坐标为( )
A．(3，4) B．(1，2) C．(3，2) D．(1，4)
13．已知抛物线y＝a(x－h)2的形状及开口方向与抛物线y＝－2x2相同，且顶点坐标为(－2，0)，则a＋h＝________．
14．二次函数y＝a(x－h)2的图象如图所示，若点A(－2，y1)，B(－4，y2)是该图象上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
15．若点A，B，C为二次函数y＝(x－2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为____________．
16．已知直线y＝kx＋b经过抛物线y＝－x2＋3的顶点A和抛物线y＝3(x－2)2的顶点B，求该直线的函数关系式．
17．已知二次函数y＝(x－3)2.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值．
(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)位于对称轴右侧的抛物线上，且x1(3)抛物线y＝(x＋7)2可以由抛物线y＝(x－3)2平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．
18．一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2的形状相同，对称轴与抛物线y＝(x＋2)2的对称轴相同，且顶点在x轴上，求这条抛物线所对应的函数关系式．
19．已知抛物线y＝x2如图所示．
(1)抛物线向右平移m(m>0)个单位后，经过点A(0，3)，试求m的值；
(2)画出(1)中平移后的图象；
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐标．
参考答案
1．左 5 右 5
2．A [解析] 根据平移规律“左加右减”，得抛物线y＝(x－2)2可以由抛物线y＝x2向右平移2个单位得到．
3．B [解析] ∵开口方向、形状与抛物线y＝x2相同，∴a＝.∵抛物线的顶点是(－2，0)，
∴抛物线的表达式为y＝(x＋2)2.
4．上 x＝－3 －3 小 0 <－3
5．A [解析] 抛物线y＝(x－h)2与抛物线y＝x2，
A．a＝1＞0，都开口向上，此说法正确；
B．抛物线y＝(x－h)2的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝x2的对称轴为直线x＝0，说法错误；
C．抛物线y＝(x－h)2的顶点是(h，0)，抛物线y＝x2的顶点是(0，0)，说法错误；
D．a＞0，都有最低点，说法错误．故选A.
6．D [解析] 由a＝－2＜0，可知图象开口向下，故A错误；y＝－2(x＋3)2＝－2[x－(－3)]2，故图象的对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，0)，故B，C错误；因为图象开口向下，对称轴为直线x＝－3，所以当x＞－3时，y随x的增大而减小，故D正确．故选D.
7．D [解析] 抛物线y＝－(x－1)2的对称轴是直线x＝1，可排除选项B和C；直线y＝－x＋1交y轴于点(0，1)，排除选项A.选项D满足题意．故选D.
8．> [解析] 因为二次项系数为－1，小于0，所以在对称轴直线x＝1的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴直线x＝1的右侧，y随x的增大而减小．因为a>2>1，所以y1>y2.故答案为“>”．
9．解：图略．(1)该函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，0)．
(2)二次函数y＝－(x－3)2的图象是由二次函数y＝－x2的图象向右平移3个单位得到的．
(3)当x>3时，y随x的增大而减小．
10．B [解析] 由图象可知a>0，h<0，所以直线y＝ax＋h不经过第二象限．
11．B [解析] 由题意知二次函数y＝－(x－h)2的图象的对称轴为直线x＝－3，故h＝－3.把h＝－3代入二次函数y＝－(x－h)2可得y＝－(x＋3)2，当x＝0时，y＝－9.故选B.
12．A [解析] ∵抛物线y＝ax2－1的顶点坐标是(0，－1)，抛物线y＝a(x－1)2的顶点坐标是(1，0)，∴将抛物线y＝ax2－1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y＝a(x－1)2，∴将点A(2，3)向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为(3，4)．故选A.
13．－4
14．＝ [解析] 由图象可知抛物线的对称轴为直线x＝－3，所以点A和点B关于对称轴对称，所以y1＝y2.
15．y1＞y2＞y3 [解析] ∵二次函数y＝(x－2)2的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∴当x＜2时，y随x的增大而减小，又∵－＜－＜＜2，∴y1＞y2＞y3.
16．解：抛物线y＝－x2＋3的顶点A的坐标为(0，3)，抛物线y＝3(x－2)2的顶点B的坐标为(2，0)．
∵直线y＝kx＋b经过点A，B，
∴
解得
∴该直线的函数关系式为y＝－x＋3.
17．解：(1)因为a＝1>0，所以该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，0)；当x＝3时，y最小值＝0，没有最大值．
(2)因为当x>3时，y随x的增大而增大．又因为3(3)可以．将抛物线y＝(x－3)2向左平移10个单位可以得到抛物线y＝(x＋7)2.
18．解：根据题意设这条抛物线所对应的函数关系式为y＝a(x－k)2.
∵这条抛物线的形状与抛物线y＝2x2的形状相同，∴|a|＝2，即a＝±2.
又∵这条抛物线的对称轴与抛物线y＝(x＋2)2的对称轴相同，∴k＝－2，
∴这条抛物线所对应的函数关系式为y＝2(x＋2)2或y＝－2(x＋2)2.
19．解：(1)平移后得到的抛物线对应的函数关系式为y＝(x－m)2，把(0，3)代入，得3＝(0－m)2，解得m1＝3，m2＝－3.因为m>0，所以m＝3.
(2)如图所示．
(3)如图，由题意可知平移后抛物线的函数关系式为y＝(x－3)2，点B的坐标为，点C的坐标为(6，3)，点P为直线BC与抛物线y＝(x－3)2的对称轴(直线x＝3)的交点．设直线BC所对应的函数关系式为y＝kx＋b，则解得
即直线BC所对应的函数关系式为y＝x，
当x＝3时，y＝，因此点P的坐标为.
26.2.4二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
1．二次函数y＝－3＋2的图象是由抛物线y＝－3x2先向________(填“左”或“右”)平移________个单位，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位得到的．
2．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为( )
A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5
C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－5
3．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
4．在同一平面直角坐标系内，将抛物线y＝(x－2)2＋5先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标为( )
A．(4，4) B．(4，6)
C．(0，6) D．(0，4)
5．抛物线y＝3(x－2)2＋3的开口________，顶点坐标为________，对称轴是________；当x>2时，y随x的增大而________，当x<2时，y随x的增大而________；当x＝________时，y有最________值是________．
6.如图所示为二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，则a________0，h________0，k________0.(填“＞”“＜”或“＝”)
7．二次函数y＝(x－2)2－1的图象不经过的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．设二次函数y＝(x－3)2－4的图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )
A．(1，0) B．(3，0)
C．(－3，0) D．(0，－4)
9．已知二次函数y＝－(x＋1)2＋2，则下列说法正确的是( )
A．其图象开口向上
B．其图象与y轴的交点坐标为(－1，2)
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．其图象的顶点坐标是(－1，2)
10．二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象如图所示．
(1)求b，k的值；
(2)二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象经过怎样的平移可以得到二次函数y＝－x2的图象？
11．已知二次函数y＝(x－1)2－3.
(1)画出该函数的图象，并写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的变化情况；
(2)函数y有最大值还是最小值？并写出这个最大(小)值；
(3)设函数图象与y轴的交点为P，求点P的坐标．
12．若抛物线y＝(x－1)2＋2不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线的关系式变为( )
A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5
C．y＝x2－1 D．y＝x2＋4
13．如图，将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )
A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－2)2＋7
C．y＝(x－2)2－5 D．y＝(x－2)2＋4
14．已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是图26－2－21中的( )
15．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数y的最大值为－1，则h的值为( )
A．3或6 B．1或6
C．1或3 D．4或6
16．已知二次函数y＝－(x＋k)2＋h，当x＞－2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是________．
17．已知抛物线y＝＋m＋2的顶点在第二象限，试求m的取值范围．
18．如图，抛物线y＝－(x－1)2＋4与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求顶点D的坐标；
(2)求△OCD的面积．
19．已知抛物线y＝3－12如图所示．
(1)求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；
(2)求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
(3)如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．
参考答案
1．右 4 上 2
2．A [解析] 抛物线y＝2x2的顶点坐标为(0，0)，点(0，0)向右平移3个单位，再向下平移5个单位所得对应点的坐标为(3，－5)，所以平移后得到的抛物线的表达式为y＝2(x－3)2－5.故选A.
3．B [解析] 由抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”可以得出，应先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．所以选B.
4．D
5．向上 (2，3) 直线x＝2 增大 减小 2 小 3
6．< > >
7．C [解析] 根据题意可得该函数图象的顶点坐标为(2，－1)，与y轴交于(0，3)，且开口向上，故抛物线不经过第三象限，故选C.
8．B [解析] 由题意可知二次函数的图象的对称轴为直线x＝3，所以点M的横坐标为3，对照选项可知选B.
9．D [解析] ∵y＝－(x＋1)2＋2，∴二次函数的图象开口向下，顶点坐标为(－1，2)，对称轴为x＝－1，故A错误，D正确；当x＜－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小，故C错误；在y＝－(x＋1)2＋2中，令x＝0可得y＝1，∴图象与y轴的交点坐标为(0，1)，故B错误．故选D.
10．解：(1)由图象可得二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象的顶点坐标为(1，3)．
因为二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象的顶点坐标为(b，k)，所以b＝1，k＝3.
(2)把二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得到二次函数y＝－x2的图象(其他平移方法合理也可)．
11．解：(1)画函数图象略．∵a＝＞0，∴图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－3)．当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大．
(2)∵a＝＞0，∴函数y有最小值，最小值为－3.
(3)令x＝0，则y＝×(0－1)2－3＝－，所以点P的坐标为.
12．C [解析] ∵y＝(x－1)2＋2，∴原抛物线的关系式变为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.故选C.
13．D [解析] 连结AB，A′B′，则S阴影＝S四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A，B′B交x轴于点M，N.因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN＝4－1＝3.因为S?ABB′A′＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移了3个单位，所以新图象的函数表达式为y＝(x－2)2＋4.
14．A [解析] 由二次函数的图象开口向上得a＞0.因为－c是二次函数图象顶点的纵坐标，所以c＞0.所以一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．
15．B [解析] 如图，当h＜2时，有－(2－h)2＝－1，
解得h1＝1，h2＝3(舍去)；
当2≤h≤5时，y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有－(5－h)2＝－1，
解得h3＝4(舍去)，h4＝6.
综上所述，h的值为1或6.
故选B.
16．k≥2 [解析] 抛物线的对称轴为直线x＝－k，
因为a＝－1＜0，所以抛物线开口向下，
所以当x＞－k时，y随x的增大而减小．
又因为当x＞－2时，y随x的增大而减小，
所以－k≤－2，所以k≥2.
17．解：因为y＝＋m＋2＝[x－(－m＋1)]2＋(m＋2)，所以抛物线的顶点坐标为(－m＋1，m＋2)．因为抛物线的顶点在第二象限，所以即所以m>1.
18．解：(1)顶点D的坐标为(1，4)．
(2)把x＝0代入y＝－(x－1)2＋4，得y＝3，
即OC＝3，
所以△OCD的面积为×3×1＝.
19．解：(1)当x＝0时，y＝－9，所以点C的坐标为(0，－9)．
(2)当y＝0时，3－12＝0，解得x1＝－3，x2＝1，所以点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(1，0)．
(3)由抛物线所对应的函数关系式可知点D的坐标为(－1，－12)，设对称轴与x轴交于点E，则点E的坐标为(－1，0)，所以S四边形ABCD＝S△ADE＋S梯形OCDE＋S△BOC＝×2×12＋×1×(9＋12)＋×1×9＝27.
26.2.5二次函数y=a+bx+c的图象与性质
一．选择题
1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D.第四象限
2.抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C.都有最低点 D.y的值随x的增大而减小
3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（ ）
A.（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）
4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A.开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D.与x轴有两个交点
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B.对称轴是直线x= C．当x＜，y随x的增大而减小 D.当﹣1＜x＜2时，y＞0
二．填空题
6．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）．
7．二次函数y=x2﹣4x﹣5图象的对称轴是直线 ．
8．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是 ．
三．解答题
9．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．
10．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴.
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
[
11．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．
（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；
（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．
参考答案
一．1.C 解析：∵二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0）图象的对称轴为直线x=﹣=﹣=＞0，
∴其顶点坐标在第一或第四象限.
∵当x=0时，y=2，∴抛物线一定经过第二象限，
∴此函数的图象一定不经过第三象限．故选C．
2. B 解析：∵函数y=2x2，y=x2的图象开口向上，∴A不正确；
∵函数y=﹣2x2的图象开口向下，∴有最高点，∴C不正确；
∵在对称轴两侧的增减性不同，∴D不正确；
∵三个抛物线中都不含有一次项，∴其对称轴为y轴，
∴B正确.故选B．
3. B 解析：∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（0，1）.
故选B．
4. C 解析：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选C．
5. D 解析：A.由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故不符合题意；
B.由图象可知，对称轴为直线x=，正确，故不符合题意；
C.因为a＞0，所以当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故不符合题意；
D.由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，故符合题意．故选D．
二．6.上升 解析：∵y=2x2﹣1，∴其对称轴为y轴，且开口向上，
∴在y轴右侧，y随x的增大而增大，
∴其图象在y轴右侧的部分是上升.
7.x=2 解析：对称轴为直线x=﹣=﹣=2，即直线x=2．
8. a＜﹣3 解析：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，
∴a+3＜0，解得a＜﹣3.
三．9． 解：列表，得
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y=2x2 8 2 0 2 8
y=2x2+1 9 3 1 3 9
10．解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
解得h=1，a=﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，过点A′作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°.
在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，
∴OB=OA′=1，
∴A′B=OB=，
∴点A′的坐标为（1，），
∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．
11.解：(1) y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+﹣1﹣=（x﹣）2﹣，
所以顶点坐标是（，﹣），对称轴是直线x=.
（2）当y=0时，x2﹣x﹣1=0，
解得x=或x=.
当m=时，m2+=（）2+
= = =3；
当m=时，m2+=（）2
=
==3，
故m2+=3．
26.2.6 二次函数最值的应用
1．二次函数y＝x2－2x＋6有最________值(填“大”或“小”)，把函数关系式配方得____________，其图象的顶点坐标为________，故其最值为________．
2．某二次函数的图象如图所示，根据图象可知，当x＝________时，该函数有最______值，这个值是________．
3．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，则二次函数y＝ax2＋bx＋c有( )
A．最小值－3 B．最大值－3
C．最小值2 D．最大值2
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( )
A．函数有最小值－5，最大值0 B．函数有最小值－3，最大值6
C．函数有最小值0，最大值6 D．函数有最小值2，最大值6
5．若二次函数y＝ax2＋bx＋1同时满足下列条件：①图象的对称轴是直线x＝1；②最值是15.则a的值为( )
A．14 B．－14 C．28 D．－28
6．一小球被抛出后，它距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1米 B．5米 C．6米 D．7米
7．某公园一喷水管喷水时水流的路线呈抛物线形(如图26－2－32)．若喷水时水流的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋1.25，则在喷水过程中水流的最大高度为( )
图26－2－32
A．1.25 m B．2.25 m
C．2.5 m D．3 m
8．如图26－2－33，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )
A．60 m2 B．63 m2
C．64 m2 D．66 m2
9．飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数关系式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．
10．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线的长x(cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x的值是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？
11．用长8 m的铝合金条制成矩形窗框(如图所示)，使窗户的透光面积最大(铝合金条的宽度忽略不计)，那么这个窗户的最大透光面积是( )
A. m2 B. m2 C. m2 D．4 m2
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当三角尺MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设三角尺的另一直角边PN与边CD相交于点Q，则CQ的最大值为( )
A．4 B. C. D.
13．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y＝上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为(a，b)，则二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x( )
A．有最大值，最大值为－ B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为－
14．如图26－2－36，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________s时，四边形EFGH的面积最小，其最小面积是________cm2.
15．如图，矩形ABCD的周长为20，求：
(1)矩形ABCD的面积的最大值；
(2)矩形ABCD的对角线的最小值．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋x－4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)若M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
17．某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，则平均每件产品的利润y1(元)与国内的销售数量x(千件)之间的关系为y1＝
若在国外市场销售，则平均每件产品的利润y2(元)与国外的销售数量t(千件)之间的关系为y2＝
(1)用含x的代数式表示t为t＝________；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系式为y2＝________；当4≤x＜________时，y2＝100；
(2)求该公司每年销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x的取值范围；
(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大利润为多少？
参考答案
1．小 y＝(x－1)2＋5 (1，5) 5
2．2 小 －1
3．B [解析] 因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，所以顶点(2，－3)是抛物线的最高点，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值－3.
4．B [解析] 根据图象，当－5≤x≤0时，图象的最高点的坐标是(－2，6)，最低点的坐标是(－5，－3)，所以当x＝－2时，y有最大值6；当x＝－5时，y有最小值－3.
5．B [解析] 根据题意，得
解得a＝－14.
6．C [解析] ∵高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t－1)2＋6，
∴当t＝1时，小球距离地面的高度最大，
此时h＝－5×(1－1)2＋6＝6(米)．故选C.
7．B [解析] ∵y＝－x2＋2x＋1.25＝－(x－1)2＋2.25，∴在喷水过程中水流的最大高度为2.25 m．故选B.
8．C [解析] 设AB＝x m，则BC＝(16－x)m，于是矩形ABCD的面积S＝AB·BC＝x(16－x)＝16x－x2＝－(x2－16x)＝－(x2－16x＋64－64)＝－[(x－8)2－64]＝64－(x－8)2.因为(x－8)2≥0，则－(x－8)2≤0，所以S最大值＝64.故选C.
9．20 [解析] 飞机停下时，也就是滑行最远时，故本题中需求出s最大时对应的t值．
10．解：(1)S＝x(60－x)＝－x2＋30x.
(2)在S＝－x2＋30x中，a＝－<0，
∴S有最大值．
当x＝－＝－＝30时，
S取得最大值，最大值为
＝＝450.
∴当x的值为30时，菱形风筝的面积S最大，最大面积是450 cm2.
11．C [解析] 设矩形窗户水平方向的边长为x m，则竖直方向的边长为m，故这个窗户的透光面积S＝x＝－x2＋4x＝－＋，所以这个窗户的最大透光面积是 m2.
12．B [解析] 设BP＝x，CQ＝y，则AP2＝42＋x2，PQ2＝(6－x)2＋y2，AQ2＝(4－y)2＋62.
∵△APQ为直角三角形，∴AP2＋PQ2＝AQ2，即42＋x2＋(6－x)2＋y2＝(4－y)2＋62，
化简，得y＝－x2＋x，
整理，得y＝－(x－3)2＋，
∴CQ的最大值为.
故选B.
13．B [解析] ∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为(a，b)，∴点N的坐标为(－a，b)．
∵点M在反比例函数y＝的图象上，点N在一次函数y＝x＋3的图象上，
∴b＝，b＝－a＋3，整理得ab＝，a＋b＝3，
故二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x可转化为y＝－x2＋3x，该函数的二次项系数为－＜0，故此函数有最大值，最大值为.故选B.
14．3 18 [解析] 设运动时间为t s(0≤t≤6)，则AE＝t cm，AH＝(6－t)cm.根据题意，得S四边形EFGH＝S正方形ABCD－4S△AEH＝6×6－4×t(6－t)＝2t2－12t＋36＝2(t－3)2＋18，∴当t＝3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18.故答案为：3，18.
15．解：(1)∵设矩形的一边长为x，则其邻边长为10－x，
∴矩形ABCD的面积S＝x(10－x)＝－x2＋10x＝－(x－5)2＋25，
∴当x＝5时，S最大＝25.
即矩形ABCD的面积的最大值为25.
(2)设矩形的一边长为x，则其邻边长为10－x，对角线长为y，
∴y2＝x2＋(10－x)2＝2x2－20x＋100＝2(x－5)2＋50，
∴当x＝5时，y最小2＝50，
∴矩形ABCD的对角线的最小值为5 .
16．解：(1)当x＝0时，y＝－4，∴点C的坐标为(0，－4)．当y＝0时，x2＋x－4＝0，解得x1＝－4，x2＝2，∴点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(2，0)．
(2)过点M作MD⊥x轴于点D，设点M的坐标为(m，n)，则AD＝m＋4，MD＝－n，n＝m2＋m－4，
∴S＝S△AMD＋S梯形DMCO－S△ACO
＝(m＋4)(－n)＋(－n＋4)(－m)－×4×4＝－2n－2m－8
＝－2－2m－8
＝－m2－4m(－4∵S＝－m2－4m＝－(m＋2)2＋4，
∴当m＝－2时，S最大值＝4.
17．解：(1)6－x 5x＋80 6
(2)当0＜x≤2时，w＝(15x＋90)x＋(5x＋80)(6－x)＝10x2＋40x＋480；
当2＜x≤4时，w＝(－5x＋130)x＋(5x＋80)(6－x)＝－10x2＋80x＋480；
当4＜x＜6时，w＝(－5x＋130)x＋100(6－x)＝－5x2＋30x＋600.
所以w＝
(3)当0＜x≤2时，w＝10x2＋40x＋480＝10(x＋2)2＋440，此时，当x＝2时，w最大值＝600；
当2＜x≤4时，w＝－10x2＋80x＋480＝－10(x－4)2＋640，此时当x＝4时，w最大值＝640；
当4＜x＜6时，w＝－5x2＋30x＋600＝－5(x－3)2＋645，此时当4＜x＜6时，w＜640.
所以当x＝4时，w最大值＝640.
所以该公司每年国内销售4千件、国外销售2千件时，可使公司每年的总利润最大，最大利润为64万元(或640千元)．
26.2.7 求二次函数的表达式
一．选择题
1．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0
2．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图，则a的取值范围为（ ）
A.a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D.a＜0
3．已知抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1过原点，则m的值为（ ）
A.±1 B．0 C．1 D.﹣1
4．将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（ ）
A．y=（x+1）2+1 B．y=（x+1）2﹣1 C．y=（x﹣1）2+1 D． y=（x﹣1）2﹣1
二．填空题
5．已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ．
6．若点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：a b．（填“＞” “＜”或“=”）．
7．如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线的顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为 ．
三．解答题
8．在平面直角坐标系内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
9．如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．
10．已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于
点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
参考答案
一．1.C 解析：∵图象开口方向向上，∴a＞0.
∵图象的对称轴在x轴的正半轴上，
∴﹣＞0.
∵a＞0，∴b＜0.
∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，∴a＞0，b＜0，c＜0．故选C．
2.B 解析：抛物线的开口方向向下，则a﹣1＜0，
解得a＜1．故选B．
3.D 解析：把（0，0）代入y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1得﹣m2+1=0，解得=1，=﹣1，
而m﹣1≠0，所以m=﹣1．故选D．
4. D 解析：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，向下平移1个单位得到对应点的坐标为（1，﹣1），所以平移后的新图象的函数表达式为y=（x﹣1）2﹣1．故选D．
二．5. （3，﹣3） 解析：∵点（5，﹣3）关于对称轴直线x=4的对称点为（3，﹣3），
∴抛物线一定经过另一点的坐标是（3，﹣3）．
6. ＜ 解析：∵点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，且﹣3＜﹣2，,∴a＜b．
7. y=3（x﹣2）2+2 解析：∵原抛物线的解析式为y=3x2，它的顶点坐标是（0，0），平移后抛物线的顶点坐标为（2，2），∴平移后的抛物线的表达式为y=3（x﹣2）2+2．
三.8.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点，
∴
解得
∴抛物线的表达式为y=﹣2x2﹣3x．
（2）∵y=﹣2x2﹣3x=﹣2（x+）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣，）．
9.解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
∴OC=AB=5，
∴点C的坐标为（0，5）.
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+5，
把点A（﹣1，0）、B（4，0）的坐标分别代入原函数解析式，得
a=﹣，b=.
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+5．
10.解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=﹣5，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣5x+6.
（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6,
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
∴S△ABC=×（3﹣2）×6=3．
26.3 实践与探索
一．选择题
1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A． ③④ B． ②③ C． ①④ D． ①②③
2已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（ ）
A． 直线x=﹣1 B． 直线x=1 C． 直线x=﹣ D． 直线x=
4．抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（ ）
A． ①② B． ①②③ C． ②③④ D． ①②③④
5．将抛物线y=x2﹣2平移到抛物线y=x2+2x﹣2的位置，以下描述正确的是（ ）
A． 向左平移1单位，向上平移1个单位 B． 向右平移1单位，向上平移1个单位
C． 向左平移1单位，向下平移1个单位 D． 向右平移1单位，向下平移1个单位
6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A． （，） B． （2，2） C． （，2） D． （2，）
7．关于x的二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（ ）
A． m＜﹣1 B． ﹣1＜m＜0 C． 0＜m＜1 D． m＞1
8．已知二次函数y=ax2﹣1的图象开口向下，则直线y=ax﹣1经过的象限是（ ）
A． 第一、二、三象限 B． 第一、二、四象限 C． 第一、三、四象限 D． 第二、三、四象限
二．填空题
9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为 _________ ．
10如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是 _________ ．
11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 _________ 米．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b中，其值为正的式子的个数为 _________ 个．
13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是 _________ ．
14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为 _________ 件（用含x的代数式表示）．
三．解答题
15．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．
（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？
17．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．
（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．
18．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．
（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．
19．如图，一块直角三角形木板ABC，其中∠C=90°，AC=3m，BC=4m，现在要把它们加工成一个面积最大的矩形，甲、乙两位木工师傅的加工方法分别如图1、图2所示，请用学过的知识说明哪位师傅的加工方法符合要求．
参考答案
一．选择题
1． B 2． D 3． D 4. B 5． C 6． C 7． D 8． D
二．填空题
9．8 10． x1=0，x2=2 11． 12． 3 13． y1＞y2
14．（60+x）．
三．解答题
15．解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则，
解得：300≤x≤350．
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；
（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），
整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．
∵x=320在300≤x≤350内，
∴当x=320时，最大值为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．
16．解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=，
故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）当x=9时，y=（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，（x﹣6）2+2.6=0，
解得：x1=6+＞18，x2=6﹣（舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得，
此时二次函数解析式为：y=（x﹣6）2+，
此时球若不出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，
解得，
此时球要过网h≥，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
17．解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）
∴，解得
∴二次函数解析式为：y=x2﹣4x+6，
（2）由y=x2﹣4x+6，得y=（x﹣4）2﹣2，
∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），
∵点A，D是y=x2+bx+c与x轴的两个交点，
又∵点A（2，0），对称轴为x=4，
∴点D的坐标为（6，0）．
（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．
∴C点的坐标为（4，0）
∵B（8，6），
设BC所在的直线解析式为y=kx+b，
∴解得
∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6，
∵E点是y=x﹣6与y=x2﹣4x+6的交点，
∴x﹣6=x2﹣4x+6
解得x1=3，x2=8（舍去），
当x=3时，y=﹣，
∴E（3，﹣），
∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5．
（4）存在，
设点P到x轴的距离为h，
∵S△BCD=×2×6=6，S△ADP=×4×h=2h
∵S△ADP=S△BCD
∴2h=6×，解得h=，
当P在x轴上方时，
=x2﹣4x+6，解得x1=4+，x2=4﹣，
当当P在x轴下方时，
﹣=x2﹣4x+6，解得x1=3，x2=5，
∴P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．
18．解：（1）根据题意，
得，
解得，
∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣5，
当y=0时，x2﹣4x﹣5=0，
解得：x1=5，x2=﹣1，
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴B（5，0），
答：该二次函数的解析式是y=x2﹣4x﹣5，和它与x轴的另一个交点B的坐标是（5，0）．
（2）令y=0，得二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象与x轴
的另一个交点坐标B（5，0），
由于P（2，﹣2），符合条件的坐标有共有4个，
分别是M1（4，0）M2（2，0）M3（﹣2，0）M4（2，0），
答：x轴上所有点M的坐标是（4，0）、（2，0）、（﹣2，0）、（2，0），使得△OPM是等腰三角形．
19．解：如图1，设DE=x，EF=y，矩形的面积记为S，
由题意，DE∥CB，
∴
即：
解得y=3﹣x其中0＜x＜4
∴S=xy=x（3﹣x）=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3
∴有最大面积是3．
（2）如图，作CE⊥AB于点E，交NM与点D
∵∠C=90°，AC=3m，BC=4m，
∴AB=5 CE=2.4
设MQ=x MN=y，则DE=x，CD=2.4﹣x
∵MN∥AB
∴
即：
整理得：y=﹣x+5
∴S=xy=x（﹣x+5）=﹣（x﹣）2+3
故两个师傅均符合要求．
