高中数学苏教版选修2-2第一章 1．4导数在实际生活的应用课件（共25张PPT）
文档属性
| 名称 | 高中数学苏教版选修2-2第一章 1．4导数在实际生活的应用课件（共25张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-05 11:26:35 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
导数在实际生活中的应用
苏教版教科书选修2-2《数学》
新课引入
导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以解决实际生活中的某些最值问题.
1.几何方面的应用
2.物理方面的应用
3.经济学方面的应用
(如：面积、体积等最值问题)
(如：利润最大化问题等)
(如：功、功率等最值问题)
例1 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
例题分析
解 设箱底边长为，
则箱高为
箱子的容积为
由解得
当时,；当时，.
所以，函数在处取得极大值，
这个极大值就是函数的最大值，
即
答 当箱子底边长等于时，箱子容积最大，
最大值为
1.应用题解题基本步骤
解题回顾
2.本题利用了导数法求解容积最大问题
3.对于开区间内，如果函数只有一个极值，那么这个极值也是最值.
（2）建立数学模型；
（3）解答数学问题；
（4）检验并回答实际问题.
（1）仔细审题，明确题意；
例2 某种圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？
解 设圆柱的高为，底半径为，
则表面积S=2
又圆柱体积（定值），则，故
由，解得
此时，，即
当时，；当时，
所以 ，当时，取得极小值，且是最小值.
答 当罐高与罐底的直径相等时，用料最省.
1.对于一个实际生活问题，我们需要将其转化为
数学问题，会用图形语言和数学符号语言表达问题.
解题回顾
2.出现两个或两个以上变量时，需要明确哪个字母是自变量，然后将其它变量用这个自变量表示，从而问题就转化成了一个单变量函数问题，我们再用导数法求这个函数的最值.
3.最后下结论时，要切合题目要求，准确回答.
练习
（1）求内接于半径为R的圆的矩形面积的最大值.
（2）求内接于半径为R的球的圆柱体积的最大值.
（1）求内接于半径为R的圆的矩形面积的最大值.
解 设矩形的一边长为，则另一边长为，
故矩形的面积为
令，对求导可得，.
令，可得.
当时，；当时，.
所以，当时，取得极大值，且为最大值，
此时，矩形面积取得最大值为
答 矩形面积的最大值为
（2）求内接于半径为R的球的圆柱体积的最大值.
解 设球内接圆柱的高为，圆柱底面半径为，
则
求导数，得.
当时，；当时，.
所以，当时，取得极大值，且为最大值，
此时，最大值为
答 圆柱的最大值为
故圆柱的体积为
1.导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题；
2.解题时，先仔细审题，准确理解题意，将实际问题数学化，建立目标函数，然后用导数法求目标函数的最值，最后回到实际问题.
例3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为，电动势为.当外电阻为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？
解 电功率，其中为电流强度，
则.
例题解析
R
由，解得.
当时，；当R>时,
因此，当时，取得极大值，且是最大值，最大值为.
答 当外电阻等于内电阻时，电功率最大，最大电功率是
解题回顾
1.本题求解电功率的最大值问题用了导数法，
可见数学是物理研究的工具和手段.
2.解题中，出现多个字母时，要认清哪个是变量，
哪个是常量.
例4 强度分别为的两个点光源间的距离为，试问：在连结两光源的线段上，何处照度最小？试时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）
解 如图，设点在线段上，且距光源为，则距光源为
点受光源的照度为，即;
点受光源的照度为，即，其中为比例常数.
从而，点的总照度为（0<<3）.
由
解得 .
当<<时，<0；当<<时，>0.
因此，时取得极小值，且是最小值.
答 在连结两光源的线段上，距光源为处的照度最小.
我们特别要注意，
建立正确的目标函数的前提是准确理解题意.
例5 在经济学中，生产单位产品的成本称为成本函数，记为,出售单位产品的收益称为收益函数，记为, 称为利润函数，记为.
（1）如果，
那么生产多少单位产品时，边际成本最低?
（2）如果，产品的单价
，那么怎样定价可使利润最大？
解 （1），
记，
由
解得.
（2）由得收益函数，
则利润函数
.
由，解得.
当时， ；当时， .
所以，当时，取得极小值，也是最小值，
也就是此时边际成本最低.
答 生产1000个单位产品时，边际成本最低；
当产品的单价为75时，利润最大.
?
当时，；
当时，.
所以，当时，利润最大，
此时.
用图象来表示有下列3种形式，这就是如何确定生产规模的一般数学模型.
一般地，为使利润函数最大，生产规模应确定为，且，即
练习
一列车队以速度行进，每辆车长，两车之间的合适间距为问：车速为多少时，单位时段内通过的汽车数量最多？
解 记两车间距为，其中，则一辆车占去的道路长为，
内通过汽车的数量为 .
由 ，解得
当0<时,；当时,.
因此，当时，取得极大值，也是最大值.
因此，当时，每小时通过的车辆数最多，约为辆.
课堂小结
求解实际应用题的步骤：
①仔细审题. 关注实际生活背景.
②建立数学模型. 建立函数模型，关注定义域.
③求解数学问题. 可以用导数法求解最值问题.
④检验并回答. 作答要符合问题要求.
导数在实际生活中的应用
苏教版教科书选修2-2《数学》
新课引入
导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以解决实际生活中的某些最值问题.
1.几何方面的应用
2.物理方面的应用
3.经济学方面的应用
(如：面积、体积等最值问题)
(如：利润最大化问题等)
(如：功、功率等最值问题)
例1 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
例题分析
解 设箱底边长为，
则箱高为
箱子的容积为
由解得
当时,；当时，.
所以，函数在处取得极大值，
这个极大值就是函数的最大值，
即
答 当箱子底边长等于时，箱子容积最大，
最大值为
1.应用题解题基本步骤
解题回顾
2.本题利用了导数法求解容积最大问题
3.对于开区间内，如果函数只有一个极值，那么这个极值也是最值.
（2）建立数学模型；
（3）解答数学问题；
（4）检验并回答实际问题.
（1）仔细审题，明确题意；
例2 某种圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？
解 设圆柱的高为，底半径为，
则表面积S=2
又圆柱体积（定值），则，故
由，解得
此时，，即
当时，；当时，
所以 ，当时，取得极小值，且是最小值.
答 当罐高与罐底的直径相等时，用料最省.
1.对于一个实际生活问题，我们需要将其转化为
数学问题，会用图形语言和数学符号语言表达问题.
解题回顾
2.出现两个或两个以上变量时，需要明确哪个字母是自变量，然后将其它变量用这个自变量表示，从而问题就转化成了一个单变量函数问题，我们再用导数法求这个函数的最值.
3.最后下结论时，要切合题目要求，准确回答.
练习
（1）求内接于半径为R的圆的矩形面积的最大值.
（2）求内接于半径为R的球的圆柱体积的最大值.
（1）求内接于半径为R的圆的矩形面积的最大值.
解 设矩形的一边长为，则另一边长为，
故矩形的面积为
令，对求导可得，.
令，可得.
当时，；当时，.
所以，当时，取得极大值，且为最大值，
此时，矩形面积取得最大值为
答 矩形面积的最大值为
（2）求内接于半径为R的球的圆柱体积的最大值.
解 设球内接圆柱的高为，圆柱底面半径为，
则
求导数，得.
当时，；当时，.
所以，当时，取得极大值，且为最大值，
此时，最大值为
答 圆柱的最大值为
故圆柱的体积为
1.导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题；
2.解题时，先仔细审题，准确理解题意，将实际问题数学化，建立目标函数，然后用导数法求目标函数的最值，最后回到实际问题.
例3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为，电动势为.当外电阻为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？
解 电功率，其中为电流强度，
则.
例题解析
R
由，解得.
当时，；当R>时,
因此，当时，取得极大值，且是最大值，最大值为.
答 当外电阻等于内电阻时，电功率最大，最大电功率是
解题回顾
1.本题求解电功率的最大值问题用了导数法，
可见数学是物理研究的工具和手段.
2.解题中，出现多个字母时，要认清哪个是变量，
哪个是常量.
例4 强度分别为的两个点光源间的距离为，试问：在连结两光源的线段上，何处照度最小？试时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）
解 如图，设点在线段上，且距光源为，则距光源为
点受光源的照度为，即;
点受光源的照度为，即，其中为比例常数.
从而，点的总照度为（0<<3）.
由
解得 .
当<<时，<0；当<<时，>0.
因此，时取得极小值，且是最小值.
答 在连结两光源的线段上，距光源为处的照度最小.
我们特别要注意，
建立正确的目标函数的前提是准确理解题意.
例5 在经济学中，生产单位产品的成本称为成本函数，记为,出售单位产品的收益称为收益函数，记为, 称为利润函数，记为.
（1）如果，
那么生产多少单位产品时，边际成本最低?
（2）如果，产品的单价
，那么怎样定价可使利润最大？
解 （1），
记，
由
解得.
（2）由得收益函数，
则利润函数
.
由，解得.
当时， ；当时， .
所以，当时，取得极小值，也是最小值，
也就是此时边际成本最低.
答 生产1000个单位产品时，边际成本最低；
当产品的单价为75时，利润最大.
?
当时，；
当时，.
所以，当时，利润最大，
此时.
用图象来表示有下列3种形式，这就是如何确定生产规模的一般数学模型.
一般地，为使利润函数最大，生产规模应确定为，且，即
练习
一列车队以速度行进，每辆车长，两车之间的合适间距为问：车速为多少时，单位时段内通过的汽车数量最多？
解 记两车间距为，其中，则一辆车占去的道路长为，
内通过汽车的数量为 .
由 ，解得
当0<时,；当时,.
因此，当时，取得极大值，也是最大值.
因此，当时，每小时通过的车辆数最多，约为辆.
课堂小结
求解实际应用题的步骤：
①仔细审题. 关注实际生活背景.
②建立数学模型. 建立函数模型，关注定义域.
③求解数学问题. 可以用导数法求解最值问题.
④检验并回答. 作答要符合问题要求.