苏科新版八年级下册第10章《分式》培优训练试题 （解析版）

苏科新版八年级下册第10章《分式》培优训练试题
一．选择题（共8小题）
1．﹣3x（　　）
A．是一次二项式 B．是二次二项式
C．是整式 D．不是整式
2．某项工程，x人做需a天完成，若增加y人，则完成此工程所需天数是（　　）
A．ax+y B．ax﹣y C． D．
3．解分式方程，去分母后得到（　　）
A．x＝2+3 B．x＝2（x﹣1）+3
C．x（x﹣1）＝2+3（x﹣1） D．x＝3（x﹣1）+2
4．能使分式的值为正整数的所有x的值的和为（　　）
A．10 B．0 C．﹣8 D．﹣10
5．若关于x的方程＝有解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k≠﹣1且k≠2 D．k≠﹣1且k≠﹣2
6．张阿姨，李阿姨到农贸市场买大米，第一次，张阿姨买了100千克大米，李阿姨买了100元的大米；第二次，张阿姨还是买了100千克大米，李阿姨还是买了100元的大米．下列说法正确的是（　　）
A．如果米价下降张阿姨买的合算
B．如果米价上涨张阿姨买的合算
C．无论米价怎样变化李阿姨买的合算
D．无法判断谁买的合算
7．如果x2﹣4x+1＝0，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知不等式组至少有3个整数解，且分式方程＝﹣4的解为非负数，则满足条件的所有整数a的绝对值之和为（　　）
A．16 B．13 C．17 D．20
二．填空题（共8小题）
9．若分式的值为零，则x＝　 　．
10．甲、乙两人做机械零件．甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．若设甲每小时做x个，则可列方程　 　．
11．对和进行通分，需确定的最简公分母是　 　．
12．若关于x的方程＝无解，则a的值是　 　．
13．已知a+b＝5，ab＝3，＝　 　．
14．已知+＝3，求＝　 　．
15．观察下列各等式：0＜a＜1，，，…根据你发现的规律，计算：＝　 　（n为正整数）．
16．已知实数a、b、c满足a+b＝ab＝c，有下列结论：①若c≠0，则＝﹣；②若c≠0，则（1﹣a）（1﹣b）＝；③若c＝5，则a2+b2＝15．其中正确的结论是　 　．（填序号）
三．解答题（共6小题）
17．化简（﹣）÷，并从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数代入求代数式的值．



18．（1）先化简再求值：当a＝2时求：（a﹣）÷的值．
（2）已知，求实数A﹣B的值．


19．（1）化简：
（2）设S＝，a为非零常数，对于每一个有意义的x值，都有一个S的值对应，可得下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 3 5 6 7 …
S … 2 2 …
仔细观察上表，能直接得出方程的解为　 　．

20．某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元．因畅销，商店又于4月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计18.75万元，数量是3月份的1.5倍，但每件进价涨了5元．这两批T恤衫开始都以每件180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打八折出售，很快售完．问商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？




21．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3200米．甲同学先步行200米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到8分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？







22．材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x、y、z满足＝＝，求2x﹣y﹣z的值”时，采用了引入参数法k，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数k的值，进而得出x、y、z之间的关系，从而解决问题．过程如下：
解：设＝＝＝k，则有y+z＝kx，z+x＝ky，x+y＝kz，
将以上三个等式相加，得2（x+y+z）＝k（x+y+z）
∵x、y、z都为正数
∴k＝2，即＝2
∴2x﹣y﹣z＝0．
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数x、y、z满足＝＝＝k，求k的值；
（2）已知＝＝，a、b、c互不相等．求证：8a+9b+5c＝0．













苏科新版八年级下册第10章《分式》培优训练试题
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．﹣3x（　　）
A．是一次二项式 B．是二次二项式
C．是整式 D．不是整式
【分析】根据分母中不含有字母的式子是整式，可得答案．
【解答】解：是分式，故﹣3x不是整式，
故选：D．
2．某项工程，x人做需a天完成，若增加y人，则完成此工程所需天数是（　　）
A．ax+y B．ax﹣y C． D．
【分析】设该项工程总量为1，（x+y）人完成这项工程所需的天数＝1÷（x+y）人的工作效率
【解答】解：每人的工作效率＝，
则（x+y）个人完成这项工程的工作效率是（x+y）?．
故（x+y）个人完成这项工程所需的天数是1÷[（x+y）?]＝（天）．
故选：D．
3．解分式方程，去分母后得到（　　）
A．x＝2+3 B．x＝2（x﹣1）+3
C．x（x﹣1）＝2+3（x﹣1） D．x＝3（x﹣1）+2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可做出判断．
【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣1）+3，
故选：B．
4．能使分式的值为正整数的所有x的值的和为（　　）
A．10 B．0 C．﹣8 D．﹣10
【分析】先把分式进行化简，再根据分式的值为正整数求出x的值即可．
【解答】解：＝＝＝，
∵分式的值是正整数，
∴当x＝1时，原式＝10；
当x＝0时，原式＝5；
当x＝﹣3时，原式＝2；
当x＝﹣8时，原式＝1；
1+0﹣3﹣8＝﹣10．
故选：D．
5．若关于x的方程＝有解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k≠﹣1且k≠2 D．k≠﹣1且k≠﹣2
【分析】解分式方程，用含k的代数式表示出x，因为方程有解，从而确定k的范围．
【解答】解：方程的两边都乘以x（x﹣1），得x﹣1+2x＝k，
整理，得3x＝k+1，
所以x＝
由于x≠0，x≠1，
∴≠0，≠1，
∴k≠﹣1且k≠2．
故选：C．
6．张阿姨，李阿姨到农贸市场买大米，第一次，张阿姨买了100千克大米，李阿姨买了100元的大米；第二次，张阿姨还是买了100千克大米，李阿姨还是买了100元的大米．下列说法正确的是（　　）
A．如果米价下降张阿姨买的合算
B．如果米价上涨张阿姨买的合算
C．无论米价怎样变化李阿姨买的合算
D．无法判断谁买的合算
【分析】先设第一次大米的单价为a，第二次大米的单价为b，分别计算两人两次所卖大米的平均单价，求出单价，再比较两者的差，根据结果来比较大小．
【解答】解：设第一次大米的单价为a，第二次大米的单价为b，
张阿姨两次购买的平均单价为，李阿姨两次购买的平均单价为
则﹣＝≥0．
所以无论米价怎样变化都是李阿姨买的合算．
故选：C．
7．如果x2﹣4x+1＝0，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把已知条件两边都除以x，得到x+＝4，然后两边平方，利用完全平方公式展开，求出x2+的值，再把所求代数式分子分母都除以x2，然后整体代入计算即可得解．
【解答】解：把x2﹣4x+1＝0方程两边都除以x得，x+＝4，
两边平方得，x2++2＝16，
所以，x2+＝14，
＝＝＝．
故选：C．
8．已知不等式组至少有3个整数解，且分式方程＝﹣4的解为非负数，则满足条件的所有整数a的绝对值之和为（　　）
A．16 B．13 C．17 D．20
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有3个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数求出满足题意整数a的值，进而求出之和．
【解答】解：至，
不等式组整理得：，
由不等式组至少有3个整数解，得到a＜4，
＝﹣4，
分式方程去分母得：3x﹣a＝﹣4（x﹣1），
解得：x＝，
由分式方程的解为非负数，得到≥0，解得a≥﹣4，
∵a＜4且≠1，
∴a＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
则满足条件的所有整数a的绝对值之和为4+3+2+1+0+1+2＝13．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．若分式的值为零，则x＝　﹣1　．
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为零，且分母不为零，进而求出答案．
【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
10．甲、乙两人做机械零件．甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．若设甲每小时做x个，则可列方程　＝　．
【分析】设甲每小时做x个零件，根据题意可得：甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，据此列方程．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，
由题意得，＝．
故答案是：＝．
11．对和进行通分，需确定的最简公分母是　2（x+y）（x﹣y）　．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式和的分母分别是2（x+y）、（x+y）（x﹣y）．
则最简公分母是2（x+y）（x﹣y）．
故答案是：2（x+y）（x﹣y）．
12．若关于x的方程＝无解，则a的值是　2或1　．
【分析】分式方程去分母，可得（a﹣2）x＝﹣a，再根据方程＝无解，即可得到a的值．
【解答】解：分式方程去分母，可得
a（x+1）＝2x，
即（a﹣2）x＝﹣a，
当a＝2时，方程（a﹣2）x＝﹣a无解；
当a≠2时，若x＝1，则a﹣2＝﹣a，即a＝1；
若x＝﹣1，则2﹣a＝﹣a（无解）；
综上所述，a＝2或1，
故答案为：2或1．
13．已知a+b＝5，ab＝3，＝　　．
【分析】将a+b＝5、ab＝3代入原式＝＝，计算可得．
【解答】解：当a+b＝5、ab＝3时，
原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
14．已知+＝3，求＝　﹣　．
【分析】由+＝3知＝3，即a+b＝3ab，整体代入到原式，计算可得．
【解答】解：∵+＝3，
∴＝3，
则a+b＝3ab，
所以原式＝
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
15．观察下列各等式：0＜a＜1，，，…根据你发现的规律，计算：＝　　（n为正整数）．
【分析】由已知规律，可知原式＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．
【解答】解：∵＝﹣，＝（﹣），
所以＝（1﹣），＝（﹣），…，＝（﹣），
∴原式＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．
16．已知实数a、b、c满足a+b＝ab＝c，有下列结论：①若c≠0，则＝﹣；②若c≠0，则（1﹣a）（1﹣b）＝；③若c＝5，则a2+b2＝15．其中正确的结论是　①②③　．（填序号）
【分析】①根据a+b＝ab＝c，将中分子和分母中a+b换为ab，即可求得所求式子的值；
②根据a+b＝ab，两边同时除以ab，化简，可以得到＝1，再将（1﹣a）（1﹣b）化简，即可判断是否正确；
③根据a+b＝ab＝c，c＝5，通过变形即可得到a2+b2的值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵实数a、b、c满足a+b＝ab＝c，
∴若c≠0，则＝＝＝＝﹣，故①正确；
若c≠0，，即，故（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣（a+b）+ab＝1﹣ab+ab＝1＝，故②正确；
若c＝5，则（a+b）2＝c2＝25，即a2+2ab+b2＝25，故a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣2×5＝15，故③正确；
故答案为：①②③．
三．解答题（共6小题）
17．化简（﹣）÷，并从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数代入求代数式的值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣1，0，1，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝＝．
18．（1）先化简再求值：当a＝2时求：（a﹣）÷的值．
（2）已知，求实数A﹣B的值．
【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题；
（2）先对题目中的式子化简，即可求得A、B的值，从而可以求得A﹣B的值．
【解答】解：（1）（a﹣）÷
＝
＝
＝a﹣1，
当a＝2时，原式＝2﹣1＝1；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
A﹣B＝1﹣2＝﹣1．
19．（1）化简：
（2）设S＝，a为非零常数，对于每一个有意义的x值，都有一个S的值对应，可得下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 3 5 6 7 …
S … 2 2 …
仔细观察上表，能直接得出方程的解为　x＝7或x＝﹣1　．
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可得；
（2）先从表格中选取利于计算的x、S的值代入S＝，求出a的值，从而还原分式方程，解之可得．
【解答】解：（1）原式＝[﹣]?
＝?
＝?
＝；

（2）将x＝1、S＝2代入S＝，得：a＝2，
则分式方程为＝，
∴（x﹣3）2＝16，
则x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，
解得x＝7或x＝﹣1，
经检验x＝7或x＝﹣1均为分式方程的解，
故答案为：x＝7或x＝﹣1．
20．某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元．因畅销，商店又于4月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计18.75万元，数量是3月份的1.5倍，但每件进价涨了5元．这两批T恤衫开始都以每件180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打八折出售，很快售完．问商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【分析】首先求得：商店3月份购进T恤衫的数量和3月份购进T恤衫的价格，然后利用毛利润＝销售收入﹣总进价计算利润．
【解答】解：设3月份购进T恤衫x件，
由题意得，﹣＝5，
解得；x＝1000，
经检验：x＝1000是原分式方程的解，且符合题意，
即：3月份购进T恤衫1000件；
设3月份购进T恤衫的价格为y元/件，
由题意得，1.5×＝；
解得y＝120
经检验：y＝120是原分式方程的解，且符合题意，
即：3月份购进T恤衫的价格为120元/件，
所以4月份购进T恤衫的价格为125元，购买1500件，
由题意得，（180﹣120）×1000+（180×0.9﹣125）×（1500﹣100）+（180×0.8﹣125）×100＝13700（元），
答：商店共获毛利润13700元．
21．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3200米．甲同学先步行200米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到8分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【分析】（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，根据题意列方程即可得到结论；
（2）8×200＝1600米即可得到结果．
【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，
由题意得：﹣8＝+．
解得x＝200．
经检验x＝200原方程的解
答：乙骑自行车的速度为200m/min．

（2）当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行8分钟，
所以 8×200＝1600（m）．
答：乙同学离学校还有1600m．
22．材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x、y、z满足＝＝，求2x﹣y﹣z的值”时，采用了引入参数法k，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数k的值，进而得出x、y、z之间的关系，从而解决问题．过程如下：
解：设＝＝＝k，则有y+z＝kx，z+x＝ky，x+y＝kz，
将以上三个等式相加，得2（x+y+z）＝k（x+y+z）
∵x、y、z都为正数
∴k＝2，即＝2
∴2x﹣y﹣z＝0．
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数x、y、z满足＝＝＝k，求k的值；
（2）已知＝＝，a、b、c互不相等．求证：8a+9b+5c＝0．
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．
【解答】解：（1）∵正数x、y、z满足＝＝＝k，
∴x＝k（2y+z），y＝k（2z+x），z＝k（2x+y），
∴x+y+z＝3k（x+y+z），
∵x、y、z均为整数，
∴k＝；
（2）证明：设＝＝＝k，
则a+b＝k（a﹣b），b+c＝2k（b﹣c），c+a＝3k（c﹣a），
∴6（a+b）＝6k（a﹣b），3（b+c）＝6k（b﹣c），2（c+a）＝6k（c﹣a），
∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）＝0，
∴8a+9b+5c＝0