鲁教（五四）版数学九年级上册第二章 直角三角形的边角关系 单元测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 鲁教（五四）版数学九年级上册第二章 直角三角形的边角关系 单元测试卷（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 273.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-04 14:10:04 | ||
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文档简介
鲁教（五四）版数学九年级上册第二章测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为( )
A．3 B. C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tAn B＝，BC＝2 ，则AC等于( )
A．3 B．4 C．4 D．6
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为( )
A. B. C. D．1
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的长是( )
A．3 B．6 C．8 D．9
5．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC的值为( )
A. B. C. D.
7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于( )
A. B. C. D.
8．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )
A．100 m B．50 m C．50 m D. m
9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1?：2，则等腰三角形顶角的度数为( )
A．30° B．50°
C．60°或120° D．30°或150°
10．如图，某海监船以20 n milE/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1 h到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2 h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( )
A．40 n mile B．60 n mile
C．20 n mile D．40 n mile
二、填空题(每题3分，共24分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinB＝________．
12．计算：－|－2＋tan45°|＋(－1.41)0＝________.
13．如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30 m，那么塔AC的高度为________m(结果保留根号)．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.
15．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．
16．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.
17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________．
18．若一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的表达式为________．
三、解答题(19，20题每题12分，其余每题14分，共66分)
19．计算：
(1)(2cos 45°－sin 60°)＋；
(2)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°＋sin245°＋cos245°.
20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)已知c＝8 ，∠A＝60°，求∠B，a，b；
(2)已知a＝3 ，∠A＝45°，求∠B，b，c.
21．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝.
(1)求边AC的长；
(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
22．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．
23．小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①)，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm(参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)．
(1)求证：AC∥BD.
(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(结果精确到0.1°)．
(3)小红的连衣裙穿在衣架上的总长度达到122 cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．
答案
一、1.A
2．A 点拨：由tan B＝知AC＝BC·tan B＝2 ×＝3.
3．B
4．B 点拨：因为AD＝CD，所以∠DAC＝∠DCA.又因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB.所以∠DCA＝∠ACB.在Rt△ACB中，AC＝BC·cos ∠BCA＝10×＝8，则AB＝＝6.
5．C 点拨：对于①，可由AB＝BC·tan ∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，
可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出AB的长；对于④无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.
6．A
7．B 点拨：如图，连接BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4.又BC＝5，CD＝3，
∴CD2＋BD2＝BC2.
∴△BDC是直角三角形，
且∠BDC＝90°.
∴tan C＝＝.
8．A
9．D 点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝，
∴∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝，∴180°－∠BAC＝30°.∴∠BAC＝150°.
10．D 点拨：在Rt△PAB中，
∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C＋∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，∴PC＝2PA，
∵PA＝AB·tan60°，
∴PC＝2×20×＝40 (n mile)．
二、11.
12．2＋ 点拨：原式＝3－|－2＋|＋1＝4－2＋＝2＋.
13．10 14. 15.
16. 点拨：如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，则B′D＝x，BC＝2x，BD＝3x.所以tan∠A′BC′＝＝＝.
17. 点拨：由题意知BD′＝BD＝2 .
在Rt△ABD′中，tan ∠BAD′＝＝＝.
18．y＝2 x－ 点拨：tan 45°＝1，tan 60°＝，－cos 60°＝－，－6tan 30°＝－2 .设y＝kx＋b的图象经过点(1，)，，则用待定系数法可求出k＝2 ，b＝－.
三、19.解：(1)原式＝×＋＝2－＋＝2.
(2)原式＝×－×＋＋＝－1＋＋＝.
20．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4 .
(2)∠B＝45°，b＝3 ，c＝6 .
21．解：(1)如图，过A作AE⊥BC，交BC于点E.在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC－BE＝5－4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC＝＝.
(2)如图，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点F.
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF＝，
∵tan∠DBF＝＝，
∴DF＝，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：
BD＝＝，
∴AD＝5－＝，则＝.
22．解：由题意得BG＝3.2 m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，ME＝NF＝BC＝6 m．在Rt△DEF中，易知＝，∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m)．
在Rt△HMN中，＝，
∴HN＝2.5MN＝13(m)．
∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．
∴加高后的坝底HD的长为29.4 m.
23．(1)证明：方法一 ∵AB，CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠AOC)．
同理∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)．
∴∠OAC＝∠OBD.
∴AC∥BD.
方法二 ∵AB＝CD＝136 cm，
OA＝OC＝51 cm，
∴OB＝OD＝85 cm.
∴＝＝.
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD.
∴∠OAC＝∠OBD.
∴AC∥BD.
(2)解：在△OEF中，OE＝OF＝34 cm，EF＝32 cm.
如图，作OM⊥EF于点M，则EM＝16 cm.
∴cos∠OEF＝＝≈0.471.
∴∠OEF≈61.9°.
(3)解：方法一 小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
理由如下：如图，过A作AH⊥BD于
点H.在Rt△OEM中，OM＝＝＝30(cm)．
易证∠ABD＝∠OEM.
∵∠OME＝∠AHB＝90°，
∴△OEM∽△ABH.
∴＝.
∴AH＝＝＝120(cm)．
∵小红的连衣裙挂在晒衣架上的总长度122 cm大于晒衣架的高度120 cm，
∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
方法二 小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．理由如下：
易得∠ABD＝∠OEF≈61.9°.
如图，过点A作AH⊥BD于点H.
在Rt△ABH中，∵sin∠ABD＝，
∴AH＝AB·sin∠ABD≈136×sin 61.9°≈136×0.882≈120(cm)．
∵小红的连衣裙挂在晒衣架上的总长度大于晒衣架的高度，
∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
解题策略：这是一道几何应用题，体现了新课标理念：数学来源于生活，并服务于生活．背景情境的设置具有普遍性和公平性．涉及的知识点有：平行线的判定、等腰三角形的性质、三角形相似、锐角三角函数等．题目设置由易到难，体现了对数学建模的考查，以及由理论到实践的原则，比较全面地考查了对几何基础知识的掌握情况和对知识的应用能力．题目新颖，综合性强．
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为( )
A．3 B. C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tAn B＝，BC＝2 ，则AC等于( )
A．3 B．4 C．4 D．6
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为( )
A. B. C. D．1
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的长是( )
A．3 B．6 C．8 D．9
5．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC的值为( )
A. B. C. D.
7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于( )
A. B. C. D.
8．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )
A．100 m B．50 m C．50 m D. m
9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1?：2，则等腰三角形顶角的度数为( )
A．30° B．50°
C．60°或120° D．30°或150°
10．如图，某海监船以20 n milE/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1 h到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2 h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( )
A．40 n mile B．60 n mile
C．20 n mile D．40 n mile
二、填空题(每题3分，共24分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinB＝________．
12．计算：－|－2＋tan45°|＋(－1.41)0＝________.
13．如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30 m，那么塔AC的高度为________m(结果保留根号)．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.
15．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．
16．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.
17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________．
18．若一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的表达式为________．
三、解答题(19，20题每题12分，其余每题14分，共66分)
19．计算：
(1)(2cos 45°－sin 60°)＋；
(2)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°＋sin245°＋cos245°.
20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)已知c＝8 ，∠A＝60°，求∠B，a，b；
(2)已知a＝3 ，∠A＝45°，求∠B，b，c.
21．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝.
(1)求边AC的长；
(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
22．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．
23．小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①)，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm(参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)．
(1)求证：AC∥BD.
(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(结果精确到0.1°)．
(3)小红的连衣裙穿在衣架上的总长度达到122 cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．
答案
一、1.A
2．A 点拨：由tan B＝知AC＝BC·tan B＝2 ×＝3.
3．B
4．B 点拨：因为AD＝CD，所以∠DAC＝∠DCA.又因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB.所以∠DCA＝∠ACB.在Rt△ACB中，AC＝BC·cos ∠BCA＝10×＝8，则AB＝＝6.
5．C 点拨：对于①，可由AB＝BC·tan ∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，
可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出AB的长；对于④无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.
6．A
7．B 点拨：如图，连接BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4.又BC＝5，CD＝3，
∴CD2＋BD2＝BC2.
∴△BDC是直角三角形，
且∠BDC＝90°.
∴tan C＝＝.
8．A
9．D 点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝，
∴∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝，∴180°－∠BAC＝30°.∴∠BAC＝150°.
10．D 点拨：在Rt△PAB中，
∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C＋∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，∴PC＝2PA，
∵PA＝AB·tan60°，
∴PC＝2×20×＝40 (n mile)．
二、11.
12．2＋ 点拨：原式＝3－|－2＋|＋1＝4－2＋＝2＋.
13．10 14. 15.
16. 点拨：如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，则B′D＝x，BC＝2x，BD＝3x.所以tan∠A′BC′＝＝＝.
17. 点拨：由题意知BD′＝BD＝2 .
在Rt△ABD′中，tan ∠BAD′＝＝＝.
18．y＝2 x－ 点拨：tan 45°＝1，tan 60°＝，－cos 60°＝－，－6tan 30°＝－2 .设y＝kx＋b的图象经过点(1，)，，则用待定系数法可求出k＝2 ，b＝－.
三、19.解：(1)原式＝×＋＝2－＋＝2.
(2)原式＝×－×＋＋＝－1＋＋＝.
20．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4 .
(2)∠B＝45°，b＝3 ，c＝6 .
21．解：(1)如图，过A作AE⊥BC，交BC于点E.在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC－BE＝5－4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC＝＝.
(2)如图，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点F.
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF＝，
∵tan∠DBF＝＝，
∴DF＝，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：
BD＝＝，
∴AD＝5－＝，则＝.
22．解：由题意得BG＝3.2 m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，ME＝NF＝BC＝6 m．在Rt△DEF中，易知＝，∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m)．
在Rt△HMN中，＝，
∴HN＝2.5MN＝13(m)．
∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．
∴加高后的坝底HD的长为29.4 m.
23．(1)证明：方法一 ∵AB，CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠AOC)．
同理∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)．
∴∠OAC＝∠OBD.
∴AC∥BD.
方法二 ∵AB＝CD＝136 cm，
OA＝OC＝51 cm，
∴OB＝OD＝85 cm.
∴＝＝.
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD.
∴∠OAC＝∠OBD.
∴AC∥BD.
(2)解：在△OEF中，OE＝OF＝34 cm，EF＝32 cm.
如图，作OM⊥EF于点M，则EM＝16 cm.
∴cos∠OEF＝＝≈0.471.
∴∠OEF≈61.9°.
(3)解：方法一 小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
理由如下：如图，过A作AH⊥BD于
点H.在Rt△OEM中，OM＝＝＝30(cm)．
易证∠ABD＝∠OEM.
∵∠OME＝∠AHB＝90°，
∴△OEM∽△ABH.
∴＝.
∴AH＝＝＝120(cm)．
∵小红的连衣裙挂在晒衣架上的总长度122 cm大于晒衣架的高度120 cm，
∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
方法二 小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．理由如下：
易得∠ABD＝∠OEF≈61.9°.
如图，过点A作AH⊥BD于点H.
在Rt△ABH中，∵sin∠ABD＝，
∴AH＝AB·sin∠ABD≈136×sin 61.9°≈136×0.882≈120(cm)．
∵小红的连衣裙挂在晒衣架上的总长度大于晒衣架的高度，
∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
解题策略：这是一道几何应用题，体现了新课标理念：数学来源于生活，并服务于生活．背景情境的设置具有普遍性和公平性．涉及的知识点有：平行线的判定、等腰三角形的性质、三角形相似、锐角三角函数等．题目设置由易到难，体现了对数学建模的考查，以及由理论到实践的原则，比较全面地考查了对几何基础知识的掌握情况和对知识的应用能力．题目新颖，综合性强．