苏教版数学必修二直线与平面、平面与平面复习课（共20张PPT）

(共20张PPT)
直线与平面、平面与平面复习课
苏教版必修2 数学
① ②
③ ④
⑤
⑥



平行关系
⑦ ⑧
⑨ ⑤ ⑩



垂直关系








A
P
O


直线与平面所成角



平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角
一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角
l


l
?
?



A
B
O

平面与平面所成角




以二面角的棱上任意一点为端点，
在两个面内分别作垂直于棱的射线，
这两条射线所成的角叫做二面角的平面角


1．如图所示，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱长为 ，底面三角形
的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小为 ．
A
B
C
A1
B1
C1
取AC的中点D，连结DB，C1D，
D
则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成的角，
分析：
在△DCC1中，易得DC1＝ ，
在△ABC中，易得BD＝ ，
在Rt△BC1D中，tan∠BC1D ，
即∠BC1D＝30°.



作
证
算
过点B作平面AC1的垂线，转化为在过点B的平面AC1的垂面内作交线AC的垂线
2．如图所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝ ，PB＝ ，
则二面角P—?BC—?A的大小为 ．
P
A
B
C


找
证
算
解析：
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC，∴BC⊥PC.
又∵BC⊥AC.
∴∠PCA为二面角P?BC?A的平面角．
在Rt△PBC中，∵PB＝ ，BC＝ ，∴PC＝2.
在Rt△ABC中， ，
∴在Rt△PAC中，cos∠PCA ，
∴∠PCA＝45°，即二面角P?—BC—?A的大小为45°.
找/作
证
算
通过分析条件，鉴别已知角是否为二面角的平面角（线面角），否则就需利用垂直关系作辅助线得到
证明某平面角是所求二面角的平面角（线面角）
把角放在三角形内求值，注意角的范围



线面角、面面角的求解步骤


例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．
(1) 求证：直线DE∥平面A1C1F；
(2) 求证：平面B1DE⊥平面A1C1F ；
(3) P是A1F上异于A1、F的一点，且过点P和DE的平面截平面A1C1F得到截面DEQP(点Q在棱C1F上)，求证：PQ∥DE．
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F


例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．
(1)求证：直线DE∥平面A1C1F；
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
(1) 证明：
∵ D，E分别为AB，BC的中点
∴DE∥AC，
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥CC1且AA1 = CC1
∴四边形ACC1A1是平行四边形，
∴AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1.
又DE 平面A1C1F，A1C1 平面A1C1F，
∴直线DE∥平面A1C1F.



例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．
(2) 求证：平面B1DE⊥平面A1C1F ；
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
(2) 证明：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
AA1⊥平面A1B1C1，A1C1 平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1.
又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，
A1B1 平面A1B1C1， AA1 平面A1B1C1
∴A1C1⊥平面ABB1A1.
又∵B1D ?平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
又∵B1D 平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D.
∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，
A1F 平面A1C1F， A1C1 平面A1C1F
∴B1D⊥平面A1C1F.


例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．
(3) P是A1F上异于A1、F的一点，且过点P和DE的平面截平面A1C1F得到截面DEQP(点Q在棱C1F上)，求证：PQ∥DE．
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
P
Q
(3) 证明：
∵过点P和DE的平面截平面A1C1F得到截面DEQP
∴平面DEQP ∩平面A1C1F=PQ
又由(1) 知DE∥平面A1C1F， DE 平面DEQP
∴ DE∥PQ．


解题回顾


(1) 线线平行?线面平行,实现空间问题平面化．
(2) 证明线面平行时务必要说清三点：
两线平行；一线在面外；一线在面内．
(3) 运用线面平行的性质时，一定要找交线．
(4) 要证面面垂直，则需证线面垂直；
要证线面垂直，则需证线线垂直．


例2 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．
(1) F是A1C1的中点，求证：BF∥平面A1DE；
(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，求证：AB⊥DE.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
证明：(1) 连结AF，设交A1E于点O，连结OD
在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AA1∥CC1且AA1 = CC1
∴四边形ACC1A1是平行四边形，
F
O
∴AC∥A1C1且AC = A1C1 ，
∵ F是A1C1的中点， E是AC的中点，
∴ AF∥AE且AF=AE
∴四边形AEFA1是平行四边形,
∴O是AF的中点
∵ D是AB的中点
∴在△ABF中，OD∥BF
又∵ OD 平面A1DE， BF 平面A1DE ，
所以BF∥平面A1DE.
线线平行 线面平行

找等比例线


例2 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．
(1) F是A1C1的中点，求证：BF∥平面A1DE；
(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，求证：AB⊥DE.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
证明：(1) 连结CF，
F
在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AA1∥CC1且AA1 = CC1
∴四边形ACC1A1是平行四边形，
∴AC∥A1C1且AC = A1C1 ，
∵ F是A1C1的中点， E是AC的中点，
∴ A1F∥CE且AF=CE
∴四边形A1FCE是平行四边形
∴ A1E∥CF
又∵ A1E 平面A1DE， CF 平面A1DE ，
∴ CF∥平面A1DE .
面面平行 线面平行



例2 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．
(1) F是A1C1的中点，求证：BF∥平面A1DE；
(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，求证：AB⊥DE.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E

F
∵D，E分别为AB，AC的中点
∴在△ABC中， DE∥BC
∵ DE 平面A1DE， BC 平面A1DE
∴ BC∥平面A1DE
∵BF 平面BCF
∴ BF∥平面A1DE .
又∵ CF∩BC=C，CF 平面BCF，BC 平面BCF
∴平面BCF ∥平面A1DE
面面平行 线面平行



例2 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．
(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，求证：AB⊥DE.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E

(2) 如图，在平面ABB1A1内，过点A作AG⊥A1D于点G.
G

∵平面A1DE⊥平面ABB1A1 ，
平面A1DE∩平面ABB1A1 ＝A1D，AG 平面ABB1A1 ，
∴AG⊥平面A1DE.
又DE 平面A1DE，∴AG⊥DE.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，DE 平面ABC，
∴A1A⊥DE.
∵AG∩A1A＝A，AG 平面ABB1A1 ，A1A 平面ABB1A1 ，
∴DE⊥平面ABB1A1.
∵AB 平面ABB1A1 ，
∴DE⊥AB.

解题回顾


(1) 找平行关系时，常借助三角形的中位线与边的平行关系，或借助平行四边形边的平行关系．有时还可以借助两平面平行的关系来证明线面平行．
(2) 在已知面面垂直的问题中，一般要用性质定理，在一个平面内找（作）交线的垂线，使之转化为线面垂直，进而转化为线线垂直，因此熟练掌握“线面垂直”与“面面垂直”间的条件转化是解决这类问题的关键．



课堂小结
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门学科，今天我们通过抓住两条主线：平行关系、垂直关系和两个空间角对直线与平面、平面与平面的位置关系进行了复习，接下来同学们将要学习空间物体的大小（表面积、体积等）。
对空间物体的位置关系和大小的研究，都离不开常见几何体模型，同学们在学习、生活中要注意积累。



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