课件20张PPT。第1课时 半角的正弦、余弦和正切1.不查表求sin 22.5°,cos 22.5°的值. 2.填空: 3.做一做:sin 15°= ;cos 15°= .? 探究一探究二探究三规范解答当堂检测分析:先化简,再求值. 探究一探究二探究三规范解答当堂检测反思感悟利用半角公式求值的思路
(1)看角:看已知角与待求角的2倍关系.
(2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备. 探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测利用半角公式化简三角函数式 探究一探究二探究三规范解答当堂检测反思感悟化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.探究一探究二探究三规范解答当堂检测延伸探究在例2中,若去掉条件“180°<α<360°”,结果如何? 探究一探究二探究三规范解答当堂检测利用半角公式证明问题 探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测反思感悟三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简;
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有目的性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测运用公式求解三角函数综合题的思路 (1)将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式;
(2)求函数f(x)的递减区间及函数图像的对称中心.
审题策略(1)先用倍角公式化简,再用辅助角公式进行变形;(2)用正弦型函数的性质解答问题.探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测答题模板(1)运用和、差、倍角公式化简.
(2)统一化成f(x)=asin ωx+bcos ωx+k的形式.
(3)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性质.
失误警示造成失分的原因:(1)公式应用错误;(2)函数关系式化简不到位;(3)求单调区间时未用区间.探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测答案:D 答案:B 探究一探究二探究三规范解答当堂检测答案:CD 探究一探究二探究三规范解答当堂检测课件20张PPT。第2课时 三角函数的积化和差与和差化积一、积化和差公式
1.(1)积化和差公式有何特点?
(2)积化和差公式右侧系数都为 吗?
提示:(1)积化和差公式中:同名三角函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.
(2)否.sin αsin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)].2.填空: 3.做一做:计算(1)sin 52.5°·cos 7.5°= ;?
(2)sin αsin 3α= .?二、和差化积公式
1.和差化积公式有何特点?
提示:余弦的和或差化为同名三角函数之积;正弦的和或差化为异形式. 3.做一做:计算(1)sin 54°-sin 18°= ;? 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测三角函数式的化简与求值 分析:先化简条件,再求值. 反思感悟三角函数化简与求值的策略
当条件式或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究本例若不利用积化和差公式,如何求解? 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测证明恒等式 分析:根据积化和差公式将左边变形整理,进行角的统一. 反思感悟三角恒等式证明的常用方法
当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,我们往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知sin A+sin 3A+sin 5A=a,cos A+cos 3A+cos 5A=b,求证:(2cos 2A+1)2=a2+b2.
证明:由题意知(sin A+sin 5A)+sin 3A=2sin 3A·cos 2A+sin 3A=a,
(cos A+cos 5A)+cos 3A=2cos 3Acos 2A+cos 3A=b,
则sin 3A(2cos 2A+1)=a,①
cos 3A(2cos 2A+1)=b.②
两式平方相加,得(2cos 2A+1)2=a2+b2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测与三角函数有关的综合问题 分析:先将解析式化简,然后求解. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三角函数综合问题的求解策略
求解三角函数性质的问题,往往将解析式化为一个角一种三角函数的形式后再研究其性质.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测积化和差、和差化积公式的应用规律
(1)积化和差公式中:同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α、β,等式右边为它们的和差角.
(2)和差化积公式中:两三角函数的系数绝对值必须相同,且为同名,一次三角函数方可施行,若是异名需用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次函数.
余弦函数的和或差化为同名函数之积;正弦函数的和或差化为异名探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛本题根据分式的性质,创造性地对算式的结构进行变换,构造积的运算,然后由三角函数的倍角公式,积化和差公式及诱导公式得解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:B 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.sin 15°sin 30°sin 75°的值是 .? 5.sin 105°+sin 15°= ,
cos 75°×cos 15°= .?8.2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 半角的正弦、余弦和正切
课后篇巩固提升
基础巩固
1.如果sin θ=35,5π2<θ<3π,那么tanθ2+cosθ2的值为 ( )
A.1010-3 B.3-1010
C.-30+1010 D.30+1010
答案B
2.设a=12cos 6°-32sin 6°,b=2tan13°1+tan213°,c=1-cos50°2,则有( )
A.a>b>c B.a
C.a解析因为a=sin 24°,b=tan 26°,c=sin 25°,所以a答案C
3.若sinα1+cosα=12,则sin α+cos α的值是( )
A.75 B.85 C.1 D.2915
答案A
4.下列各式中,值为12的是( )
A.sin 15°cos 15° B.2cos2π12-1
C.1+cos30°2 D.tan22.5°1-tan222.5°
解析tan22.5°1-tan222.5°=12tan 45°=12.
答案D
5.已知sin α=-817,且α∈π,3π2,则sinα2= ,cosα2= ,tanα2= .?
解析∵π<α<3π2,∴cos α=-1517.
∴π2<α2<3π4,∴sinα2=1-cosα2=41717.
cosα2=-1+cosα2=-1717.
tanα2=sinα2cosα2=-4.
答案41717 -1717 -4
6.设-3π<α<-5π2,则化简1-cos(α-π)2的结果为 .?
解析∵-3π2<α2<-5π4,∴cosα2<0,1-cos(α-π)2=1+cosα2=-cosα2.
答案-cosα2
7.已知α为三角形的内角,sin α=35,则tanα2= .?
答案3或13
8.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,3).
(1)求tan(-α)+sinπ2+αcos(π-α)sin(-3π-α)的值;
(2)求tan 2α+tanα2的值.
解(1)由题意得sin α=12,cos α=-32,tan α=-33,
则原式=-tanα+cosα(-cosα)·sinα=33-3232×12=-23.
(2)tan 2α=2tanα1-tan2α=-3,tanα2=sinα1+cosα=121-32=2+3.
故tan 2α+tanα2=2.
能力提升
1.设5π<θ<6π,cosθ2=a,则sinθ4等于( )
A.-1+a2 B.-1-a2
C.-1+a2 D.-1-a2
解析由于5π<θ<6π,所以5π4<θ4<3π2.
所以sinθ4=-1-cosθ22=-1-a2.
答案B
2.若f(x)=2tan x-2sin2x2-1sinx2cosx2,则fπ12的值为( )
A.43 B.833 C.4 D.8
答案D
3.(多选)已知函数f(x)=cos2x-sin2x+1,则( )
A.f(x)的对称轴为x=π4+kπ2(k∈Z)
B.f(x)的对称轴为x=kπ2(k∈Z)
C.f(x)的最小正周期为π,最大值为2
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为1
解析f(x)=1+cos2x2?1-cos2x2+1=cos 2x+1,
故T=2π2=π,f(x)max=1+1=2.
f(x)的对称轴为2x=kπ(k∈Z),x=kπ2(k∈Z),故选BC.
答案BC
4.已知f(x)=sin2x+π4,若a=f(lg 5),b=flg15,则( )
A.a+b=0 B.a-b=0
C.a+b=1 D.a-b=1
解析∵f(x)=1-cos2x+π22=1+sin2x2,
∴a=1+sin(2lg5)2,b=1+sin2lg152=1-sin(2lg5)2,∴a+b=12+12sin(2lg 5)+12?12sin(2lg 5)=1.
答案C
5.化简2-2-2+2+2cosα(3π<α<4π)等于( )
A.sinα16 B.2sinα16
C.2cosα16 D.cosα16
解析原式=2-2-2+2cosα2=2-2-2+2cosα2=2-2-2cosα4=2-2+2cosα4=2-2cosα8=2-2cosα8=2sinα16=2sinα16.
答案B
6.若sin(π-α)=45,α∈0,π2,则sin 2α-cos2α2的值等于 .?
答案425
7.若θ∈(π,2π),则1-cosθ1+cosθ= .?
解析∵θ∈(π,2π),∴sin θ<0,
∴1-cosθ1+cosθ=1-cos2θ1+cosθ=-sinθ1+cosθ=-tanθ2.
答案-tanθ2
8.设a=(1+cos α,sin α),b=(1-cos β,sin β),c=(1,0),α∈(0,π),β∈(π,2π),a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1-θ2=π6,求sinα-β8的值.
解由题意得
cos θ1=a·c|a||c|=1+cosα2+2cosα=1+cosα2=cosα2.
因为θ1∈[0,π],α2∈0,π2,所以θ1=α2.
同理,cos θ2=b·c|b||c|=1-cosβ2=sinβ2=cosβ2-π2,
因为θ2∈[0,π],β2?π2∈0,π2,所以θ2=β2?π2.
将θ1=α2,θ2=β2?π2代入θ1-θ2=π6中,得α-β2=-π3,故sinα-β8=sin-π12=sinπ4-π3=2-64.
9.已知sinπ4+2αsinπ4-2α=14,α∈π4,π2,求2sin2α+tan α-1tanα-1的值.
解因为sinπ4+2αsinπ4-2α=14,
所以2sinπ4+2αcosπ4+2α=12,
即sinπ2+4α=12.所以cos 4α=12.
而2sin2α+tan α-1tanα-1
=-cos 2α+sin2α-cos2αsinαcosα=-cos2α+2tan2α.
因为α∈π4,π2,所以2α∈π2,π.
所以cos 2α=-1+cos4α2=-32,
tan 2α=-1-cos4α1+cos4α=-33.
所以-cos2α+2tan2α=--32+2-33=523,
即2sin2α+tan α-1tanα-1的值为532.
8.2.4 三角恒等变换的应用
第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
课后篇巩固提升
基础巩固
1.化简cosα-cos3αsin3α-sinα的结果为( )
A.tan α B.tan 2α
C.cos α D.cos 2α
答案B
2.若cos(α+β)cos(α-β)=13,则cos2α-sin2β=( )
A.-23 B.-13 C.13 D.23
答案C
3.函数y=sinπ3+2x·sinπ3-2x的最大值为( )
A.34 B.-14 C.14 D.-34
答案A
4.cos 75°-cos 15°的值为( )
A.12 B.-12
C.23 D.-22
解析原式=-2sin 45°·sin 30°=-22.
答案D
5.cos 37.5°·cos 22.5°的值是( )
A.32+6+24 B.6+24
C.1232-6+24 D.1212+6+24
解析原式=12(cos 60°+cos 15°)=1212+6+24.
答案D
6.已知sin α+sin β=12,cos α+cos β=13,则tan(α+β)= ,cos(α-β)= .?
解析由sin α+sin β=12,cos α+cos β=13,
得2sinα+β2cosα-β2=12,2cosα+β2cosα-β2=13,
两式相除得tanα+β2=32,
则tan(α+β)=2tanα+β21-tan2α+β2=2×321-322=-125.
(sin α+sin β)2=sin2α+sin2β+2sin αsin β=14,
(cos α+cos β)2=cos2α+cos2β+2cos αcos β=19,
则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-5972.
答案-125 -5972
7.函数y=cosx+π3cosx+2π3的最大值是 .?
答案34
8.已知tan α,tan β是方程x2+3x-4=0的两个根,求cos2α+cos2βsin2α+sin2β的值.
解由根与系数的关系知tan α+tan β=-3,tan αtan β=-4,
故原式=2cos(α+β)cos(α-β)2sin(α+β)cos(α-β)=cos(α+β)sin(α+β)=1tan(α+β)=1-tanαtanβtanα+tanβ=1+4-3=-53.
9.已知A,B,C为△ABC的三个内角,且A>C,B=60°,能否利用log4sin A+log4sin C=-1求出A和C的大小?若能,请求出结果;若不能,请说明理由.
解能.在△ABC中,B=60°,∴A+C=120°. ①
∵log4sin A+log4sin C=-1,
∴sin Asin C=14.
∵sin Asin C=12[cos(A-C)-cos(A+C)],
∴12[cos(A-C)-cos(A+C)]=14,
∴cos(A-C)=12+cos(A+C)=12+cos 120°=0.
又∵0°由①②,得A=105°,C=15°.
能力提升
1.化简cos2π7+cos4π7+cos6π7的结果为( )
A.sinπ7 B.12sinπ7
C.-12 D.-12cosπ7
答案C
2.sin α+sin β=33(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( )
A.-2π3 B.-π3 C.π3 D.2π3
答案D
3.已知α-β=π3,且cos α-cos β=13,则cos(α+β)等于 ( )
A.13 B.23 C.79 D.89
答案C
4.(多选)在△ABC中,若sinAsinB=cosBcosA,则△ABC可能是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.任意三角形 D.钝角三角形
解析由题意知sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,因此sin 2A-sin 2B=0,由和差化积公式得2cos(A+B)sin(A-B)=0,于是cos(A+B)=0或sin(A-B)=0,即A+B=π2或A=B.故选ABD.
答案ABD
5.若x+y=1,则sin x+sin y与1的大小关系是( )
A.sin x+sin y>1 B.sin x+sin y=1
C.sin x+sin y<1 D.不确定
解析∵sin x+sin y=2sinx+y2·cosx-y2=2sin12·cosx-y2,
又0<12<π6<π2,
∴sin12∴sin x+sin y=2sin12·cosx-y2∴sin x+sin y<1.
答案C
6.cos 72°-cos 36°的值为 .?
解析cos 72°-cos 36°=-2sin 54°sin 18°=-2sin18°cos36°cos18°cos18°=-sin72°2cos18°=-12.
答案-12
7.若cos2α-cos2β=m,则sin(α+β)sin(α-β)= .?
解析sin(α+β)sin(α-β)=-12(cos 2α-cos 2β)
=-12[(2cos2α-1)-(2cos2β-1)]
=cos2β-cos2α=-m.
答案-m
8.已知0<α<π,0<β<π,且cos α+cos β-cos(α+β)=32,则2α+β等于 .?
解析因为cos α+cos β-cos(α+β)=32,
所以2cosα+β2·cosα-β2?2cos2α+β2-1?32=0,
即4cos2α+β2-4cosα-β2·cosα+β2+1=0,
因为方程有实根,所以Δ=16cos2α-β2-16≥0,则cos2α-β2=1,所以α=β,于是4cos2α-4cos α+1=0,
即(2cos α-1)2=0,所以α=β=π3,从而2α+β=π.
答案π
9.求证:2sin2θsin2φ+2cos2θcos2φ=1+cos 2θcos 2φ.
证明左边=2·1-cos2θ2·1-cos2φ2+2·1+cos2θ2·1+cos2φ2=12(1-cos 2θ-cos 2φ+cos 2θcos 2φ)+12(1+cos 2θ+cos 2φ+cos 2θcos 2φ)=12(2+2cos 2θcos 2φ)=1+cos 2θcos 2φ=右边.
所以原式成立.
10.已知△ABC的三个内角A,B,C满足(1)A+C=2B;(2)1cosA+1cosC=-2cosB,求cosA-C2的值.
解由题设条件知B=60°,A+C=120°,
因为-2cos60°=-22,所以1cosA+1cosC=-22.
所以cos A+cos C=-22cos Acos C.
利用和差化积及积化和差公式得,
2cosA+C2cosA-C2=-2[cos(A+C)+cos(A-C)],
所以cosA-C2=-2-12+2cos2A-C2-1,
化简得42cos2A-C2+2cosA-C2-32=0,
又2cosA-C2-222cosA-C2+3=0,
因为22cosA-C2+3≠0,所以cosA-C2=22.
