课件17张PPT。章末整合例1已知|a|=1,|b|=4,且向量a与b不共线.
(1)若a与b的夹角为60°,求(2a-b)·(a+b);
(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值.
解:(1)(2a-b)·(a+b)=2a·a+a·b-b·b=2|a|2+|a|·|b|cos θ-|b|2=2×1+1×4×cos 60°-42=-12.
(2)由题意可得(ka+b)·(ka-b)=0,
即k2a2-b2=0,
∵a2=1,b2=16,∴k2-16=0,故k=±4.方法技巧 求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];
(2)分别求|a|和|b|;
(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.例2(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为 .?
(2)已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.解:(1)∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,
当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.
综上,k的取值范围为k>0,且k≠1.例3已知向量a=(3,2),b=(-2,-4),c=a+kb,k∈R.
(1)若b⊥c,求k的值;
(2)求a与b夹角的余弦值.解:(1)由题意可知c=(3-2k,2-4k);
∵b⊥c,∴b·c=-2(3-2k)-4(2-4k)=0,规律方法 1.求向量夹角的方法: (2)用同一个量表示a·b,|a|,|b|代入公式求解.
(3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角.变式训练2已知非零向量a,b满足|a|=4|b|,且b⊥(a+2b),则a与b的夹角为 .?
解析:设向量a与b的夹角为θ,∵b⊥(a+2b),
∴b·(a+2b)=a·b+2b2=|a|·|b|cos θ+2|b|2=0,即4|b|2cos θ+2|b|2=0,(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.方法技巧 三角恒等变换与三角函数图像性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.第八章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=sin 3x+cos 3x的最小正周期是( )
A.6π B.2π C.2π3 D.π3
解析由y=sin 3x+cos 3x?y=222sin 3x+22cos 3x=2sin3x+π4,
可知该函数的最小正周期T=2π|ω|=2π3,故选C.
答案C
2.已知a·b=3,|b|=1,则a在b方向上的投影的数量为( )
A.3 B.2 C.3 D.2
解析a在b方向上的投影的数量为|a|cos θ=a·b|b|=31=3,故选A.
答案A
3.已知sinα+2cosαsinα-2cosα=5,则cos2α+12sin 2α=( )
A.-25 B.3 C.-3 D.25
解析因为sinα+2cosαsinα-2cosα=5,所以tanα+2tanα-2=5?tan α=3,cos2α+12sin 2α=cos2α+sinαcosαcos2α+sin2α
=1+tanα1+tan2α=1+31+9=25,故选D.
答案D
4.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角为( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.π2
解析∵|a|=4,|b|=3,又(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-3|b|2-4a·b=37-4a·b=61,∴a·b=|a|·|b|·cos
=-6,cos=-12,=120°,
因此向量a与b的夹角为2π3.故选C.
答案C
5.若cos θ=-35,且180°<θ<270°,则tanθ2的值为( )
A.2 B.-2 C.±2 D.±12
解析∵cos θ=-35,且180°<θ<270°,
∴90°<θ2<135°,
∴tanθ2=-1-cosθ1+cosθ=-2.
答案B
6.
如图所示,等边三角形ABC的边长为2,D为边AC上的一点,且AD=λAC,△ADE也是等边三角形,若BE·BD=449,则λ的值是( )
A.23 B.33 C.34 D.13
解析BE·BD=(BA+AE)·(BA+AE+ED)=BA2+BA·AE+BA·ED+AE·BA+AE2+AE·ED=22+2·2λcosπ3-2·2λ+2·2λcosπ3+4λ2+4λ2cos2π3=2λ2+4=449?λ2=49,
因为λ>0,所以λ=23,故选A.
答案A
7.已知向量a=(-1,2),b=(x,4),且a∥b,则|a+b|= ( )
A.5 B.53 C.35 D.5
解析∵a∥b,∴-4-2x=0,∴x=-2.
∴b=(-2,4),∴a+b=(-3,6),∴|a+b|=35.
故选C.
答案C
8.已知sin(α+2β)=34,cos β=13,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为( )
A.37-2212 B.3-21412
C.37+2212 D.3+21412
解析因为sin(α+2β)=34,cos β=13,α,β为锐角,
又cos(2β)=2cos2β-1=-79<0,
所以α+2β大于90°.由同角三角函数关系,
可得cos(α+2β)=-74,sin β=223,
所以sin(α+β)=sin[(α+2β)-β]
=sin(α+2β)cos β-cos(α+2β)sin β
=34×13--74×223=3+21412,故选D.
答案D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,选错得0分.
9.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=cos x(cos x+3sin x)-12,则下面的结论不正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π6个单位,得到曲线C2
解析∵y=cos x(cos x+3sin x)-12=cos2x+3sin xcos x-12
=1+cos2x2+32sin 2x-12=12cos 2x+32sin 2x
=cos 2xcosπ3+sin 2xsinπ3=cos2x-π3,
∴将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位,得到曲线C2,根据选项,A,C,D不合题意,故选ACD.
答案ACD
10.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则下列结论正确的是 ( )
A.|b|=2 B.a·b=2
C.a-b与a垂直 D.a∥b
解析由题意知|a|=1,|b|=2,A正确;
a·b=1,B错误;
∵(a-b)·a=(0,-1)·(1,0)=0,
∴(a-b)⊥a,C正确;
∵不存在实数λ,使得b≠λa,
∴a∥b不正确,D错误,故选A,C.
答案AC
11.已知函数y=lgx2-56x+76的零点是x1=tan α和x2=tan β(α,β均为锐角,且α>β),则α+β和tan(α-β)的结果分别为( )
A.π6 B.π4 C.17 D.67
解析由题意知y=lgx2-56x+76的零点是方程x2-56x+76=1的解,即x2-56x+16=0,
tan α+tan β=56,tan α·tan β=16,
因为α,β均为锐角且α>β,
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα·tanβ=1?α+β=π4,
tan α-tan β=(tanα+tanβ)2-4tanα·tanβ=16,
tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanα·tanβ=17,
故选BC.
答案BC
12.以下是函数f(x)=sin 2x+3cos 2x的单调递增区间的是( )
A.-5π12,π12 B.5π3,13π6
C.7π12,13π12 D.19π12,25π12
解析f(x)=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+π3,
由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z),
得kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),
即函数的单调递增区间为kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z).
当k=0时,得-5π12,π12;当k=1时,得7π12,13π12;当k=2时,得19π12,25π12.故选ACD.
答案ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知cos α=35,α∈0,π2,则cosπ3+α= .?
解析因为cos α=35,α∈0,π2,则sin α=45,
所以cosπ3+α=cosπ3cos α-sinπ3sin α=12×35?32×45=3-4310.
答案3-4310
14.已知sin α=3cos α,则cos 2α= .?
解析因为sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1,解得cos2α=110,sin2α=910,
故cos 2α=cos2α-sin2α=110?910=-45.
答案-45
15.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120°.如图,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值是 .?
解析建立如图所示的坐标系,则A(1,0),B(cos 120°,sin 120°),
即B-12,32.
设∠AOC=α,则OC=(cos α,sin α).∵OC=xOA+yOB=(x,0)+-y2,32y=(cos α,sin α),
∴x-y2=cosα,32y=sinα.∴x=sinα3+cosα,y=2sinα3,
∴x+y=3sin α+cos α=2sin(α+30°).
∵0°≤α≤120°,∴30°≤α+30°≤150°.
∴当α=60°时,x+y有最大值2.
答案2
16.(双空)已知tan(α+β)=23,tanβ-π4=-2,则tanα+π4= ,tan(α+2β)= .?
解析tanα+π4=tan(α+β)-β-π4=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=23+21+23×(-2)=-8.
tanβ-π4=tanβ-11+tanβ=-2,tan β=-13.
tan(α+2β)=tan(α+β)+tanβ1-tan(α+β)·tanβ=311.
答案-8 311
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知平面向量a=(1,2),b=(1,x).
(1)若a⊥b,求向量a+b与b夹角的余弦值;
(2)若|a-b|=a·b,求实数x的值.
解(1)由a⊥b,可得1×1+2×x=0,解得x=-12,
所以a+b=2,32,故cos=(a+b)·b|a+b||b|=2×1+32×(-12)22+(32)?212+(-12)?2=55.
(2)a-b=(0,2-x),a·b=1+2x,
由|a-b|=a·b,得|2-x|=1+2x,
解得x=-3或x=13.
又|2-x|=1+2x>0,所以x=-3舍去,故实数x=13.
18.(12分)已知向量a与b不共线,且|a|=1,|b|=4.
(1)若a与b的夹角为120°,求(2a-b)·(a+b);
(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值.
解(1)(2a-b)·(a+b)=2a·a+a·b-b·b=2|a|2+|a|·|b|cos θ-|b|2=2×1+1×4×cos 120°-42=-16.
(2)由题意可得(ka+b)·(ka-b)=0,
即k2a2-b2=|a|2-|b|2=0,
则k2-16=0,k=±4.
19.(12分)已知函数f(x)=cos2ωx+3sin ωxcos ωx(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离为3π2.
(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)设α是第一象限角,且f32α+π2=2326,求sin(α+π4)cos(4π+2α)的值.
解(1)因为f(x)=cos2ωx+3sin ωxcos ωx=1+cos2ωx2+32sin 2ωx,所以f(x)=sin2ωx+π6+12的最小正周期T=2π2ω=3π,解得ω=13,
则f(x)=sin23x+π6+12.
令2kπ-π2≤23x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)可得3kπ-π≤x≤3kπ+π2(k∈Z),即f(x)的单调递增区间为3kπ-π,3kπ+π2 (k∈Z).
(2)因为f32α+π2=2326,即sinα+π2+12=cos α+12=2326,所以cos α=513,又α是第一象限角,所以sin α=1213,所以sin(α+π4)cos(4π+2α)=22·sinα+cosαcos2α=22(cosα-sinα)=-13214.
20.(12分)已知函数f(x)=sin x+3cos x+sinx+π3,x∈R.
(1)求fπ3的值;
(2)若f(α)=1,且0<α<π,求cos α的值.
解(1)fπ3=sinπ3+3cosπ3+sinπ3+π3
=32+32+32=332.
(2)f(x)=sin x+3cos x+sinx+π3
=sin x+3cos x+12sin x+32cos x
=32sin x+332cos x
=312sin x+32cos x=3sinx+π3.
若f(α)=1,则3sinα+π3=1,
即sinα+π3=13,∵0<α<π,∴π3<α+π3<4π3,∵sinα+π3=13∈0,12,
∴0<α+π3<π6(舍)或5π6<α+π3<π,
cosα+π3=-1-19=-223,
则cos α=cosα+π3?π3=cosα+π3cosπ3+sinα+π3sinπ3=-223×12+13×32=3-226.
21.(12分)已知函数f(x)=sin x-23sin2x2.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)求f(x)在区间0,2π3上的最小值.
解(1)∵f(x)=sin x+3cos x-3=2sinx+π3-3,∴f(x)的最小正周期为2π.
由2kπ+π2≤x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z),得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6(k∈Z),∴f(x)的单调递减区间是2kπ+π6,2kπ+7π6 (k∈Z).
(2)∵0≤x≤2π3,
∴π3≤x+π3≤π,-3≤f(x)≤2-3.
当x+π3=π,即x=2π3时,f(x)取得最小值.
∴f(x)在区间0,2π3上的最小值为f2π3=-3.
22.(12分)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cos x,1),b=(cos x,3sin 2x+m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间;
(2)当x∈0,π6时,-4解(1)∵f(x)=2cos2x+3sin 2x+m=2sin2x+π6+m+1,
∴函数f(x)的最小正周期T=π,
在[0,π]上的单调递增区间为0,π6,2π3,π.
(2)∵当x∈0,π6时,f(x)单调递增,
∴当x=π6时,f(x)的最大值等于m+3;
当x=0时,f(x)的最小值等于m+2.
由题设知m+3<4,m+2>-4,解得-6