课件24张PPT。章末整合例1已知扇形的圆心角为α,所在圆的半径为r.
(1)若α=120°,r=6,求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长为24,当α为多少弧度时,该扇形的面积S最大?并求出最大值.方法规律弧度制下解决扇形相关问题的步骤 (2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.变式训练1用一根长为10 m的绳索围成一个圆心角小于π且半径不超过3 m的扇形场地,设扇形的半径为x m,面积为S m2.
(1)写出S关于x的函数表达式,并求出该函数的定义域;
(2)当半径x和圆心角α分别为多大时,所围扇形的面积S最大,并求出最大值.例2利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围. 方法技巧利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.
(3)写角的范围时,先抓住边界值,再注意角的范围的写法要求.变式训练2利用三角函数线,写出满足|cos α|>|sin α|的角α的集合. 解:如图,作出单位圆.
所以角α的集合为名师点评1.sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
2.已知tan α=m,求关于sin α,cos α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点:(1)一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cos α≠0,所以可除以cos α,这样可将待求式化为关于tan α的表示式,然后代入tan α=m的值,从而完成待求式的求值.方法技巧1.确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的关键是φ的确定,常用方法有:
(1)代入法:把图像上的一个已知点代入(此时A,ω已知)或代入图像与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).2.求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.
3.具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②当A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.(1)解析:y=cos 2x+2sin x-2
=-sin 2x+2sin x-1=-(sin x-1)2.
因为-1≤sin x≤1,所以-4≤y≤0,
所以函数y=cos 2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0].
答案:[-4,0]规律方法三角函数最值问题的常见类型及求解方法:
(1)y=asin 2x+bsin x+c(a≠0),利用换元思想设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.
(2)y=Asin(ωx+φ)+b,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)的范围,最后得最值.变式训练5函数y=sin 2x+cos x的最大值为 .? 第七章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知角α的终边与单位圆交于点-32,-12,则sin α的值为( )
A.-32 B.-12 C.32 D.12
解析由正弦函数的定义,知sin α=y=-12.
答案B
2.把-765°化成2kπ+α(0≤α<2π),k∈Z的形式是 ( )
A.-4π-π4
B.-4π+7π4
C.-6π-π4
D.-6π+7π4
解析由题意,可得-765°=-720°-45°=-1 080°+315°=-6π+7π4,故选D.
答案D
3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长为( )
A.2 B.sin 2
C.2sin1 D.2sin 1
解析连接圆心与弦的中点,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形,半弦长为1,其所对的圆心角也为1,故半径为1sin1,这个圆心角所对的弧长为2×1sin1=2sin1,故选C.
答案C
4.要得到函数y=sin2x+π3的图像,只需将函数y=sin 2x的图像( )
A.向左平移π6个单位
B.向右平移π3个单位
C.向左平移π3个单位
D.向右平移π6个单位
解析∵y=sin2x+π3=sin2(x+π6),
∴只需将函数y=sin 2x的图像向左平移π6个单位即可得到函数y=sin2x+π3的图像.
答案A
5.已知f(x)=sinx+π2,g(x)=cosx-π2,则f(x)的图像( )
A.与g(x)的图像相同
B.与g(x)的图像关于y轴对称
C.向左平移π2个单位得g(x)的图像
D.向右平移π2个单位得g(x)的图像
解析因为f(x)=sinx+π2=cos x,所以将其图像向右平移π2个单位,得y=g(x)=cosx-π2的图像.
答案D
6.若函数f(x)=sin 2x+2cos x在区间-2π3,θ上的最大值为1,则θ的值是( )
A.0 B.π3 C.π2 D.-π2
解析由f(x)=sin 2x+2cos x=1-cos 2x+2cos x取到最大值1,
可知cos x=0,结合三角函数的图像易知θ=-π2,故选D.
答案D
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图像如图所示,如果A>0,ω>0,|φ|<π2,则( )
A.A=4 B.ω=1
C.φ=π6 D.B=4
解析根据函数的最大值和最小值得A+B=4,A-B=0,
求得A=2,B=2,
函数的周期为5π12?π6×4=π,即π=2πω,ω=2,
当x=π6时函数取最大值,即sin2×π6+φ=1,2×π6+φ=2kπ+π2(k∈Z).
∵|φ|<π2,∴φ=π6.
故选C.
答案C
8.设函数f(x)=2sinωx+φ+π4ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )
A.f(x)在π4,3π4上单调递减
B.f(x)在0,π2上单调递减
C.f(x)在0,π2上单调递增
D.f(x)在π4,3π4上单调递增
解析由题意知,2πω=π?ω=2,
∵f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,
∴φ+π4=π2+kπ,k∈Z?φ=π4+kπ,k∈Z.
又|φ|<π2,∴φ=π4,
f(x)=2sin2x+π4+π4=2cos 2x.
当x∈π4,3π4时,2x∈π2,3π2;当x∈π2,3π2时,cos x不单调,可知A,D错误;
当x∈0,π2时,2x∈(0,π);当x∈(0,π)时,cos x单调递减,
∴当x∈0,π2时,cos 2x单调递减,可知B正确,C错误.故选B.
答案B
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,选错得0分.
9.已知函数f(x)=tan x,则下列结论正确的是( )
A.2π是f(x)的一个周期
B.f-3π4=f3π4
C.f(x)的值域为R
D.f(x)的图像关于点π2,0对称
解析A.f(x)=tan x的最小正周期为π,所以2π是f(x)的一个周期,该选项正确;
B.f-3π4=1,f3π4=-1,所以该选项错误;
C.f(x)=tan x的值域为R,所以该选项正确;
D.f(x)=tan x的图像关于点π2,0对称,所以该选项正确.
故选ACD.
答案ACD
10.同时满足下列三个条件的函数为( )
①在0,π2上是增函数;②为R上的奇函数;③最小正周期为T≥π.
A.y=tan x B.y=|cos x|
C.y=tanx2 D.y=sin12x
解析A中y=tan x,在0,π2上是增函数且为奇函数又是以π为最小正周期的函数,三个条件均满足;
B中y=|cos x|,为偶函数,所以不满足条件;
C中y=tanx2,以2π为最小正周期,所以不满足条件;
D中y=sinx2,在0,π2上是增函数且为奇函数又是以4π为最小正周期的函数,满足三个条件. 故选AD.
答案AD
11.已知函数y=sin2x-π6,则以下说法正确的是 ( )
A.周期为π4
B.非奇非偶函数
C.函数图像的一条对称轴为直线x=π3
D.函数在2π3,5π6上为减函数
解析该函数的周期T=π2;
因为f(-x)=sin-2x-π6=sin2x+π6,所以该函数是非奇非偶函数;函数y=sin2x-π6在2π3,5π6上是减函数,但y=sin2x-π6在2π3,5π6上是增函数,令x=π3,则y=sin2×π3?π6=1,x=π3为函数图像的对称轴,因此B,C正确.
答案BC
12.将函数f(x)的图像向右平移π6个单位,再将所得函数图像上的所有点的横坐标缩短到原来的23,得到函数g(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图像.已知函数g(x)的部分图像如图所示,则函数f(x)的( )
A.最小正周期为π,最大值为2
B.最小正周期为π,图像关于点π6,0中心对称
C.最小正周期为π,图像关于直线x=π6对称
D.最小正周期为π,在区间π6,π3上单调递减
解析由题图可知,A=2,T=42π9?π18=2π3,
ω=2πT=3.
又由g2π9=2可得φ=-π6+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<π2,∴φ=-π6.
∴g(x)=2sin3x-π6,f(x)=2sin2x+π6.
∴f(x)的最小正周期为π,最大值为2,选项A正确;对于B,令2x+π6=kπ(k∈Z),则x=kπ2?π12,可知函数f(x)图像的对称中心为kπ2?π12,0(k∈Z),B错误;对于C,令2x+π6=kπ+π2(k∈Z),所以x=kπ2+π6(k∈Z),函数图像的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z),C正确;又当x∈π6,π3时,2x+π6∈π2,5π6,所以f(x)在π6,π3上是减函数,D正确.故选ACD.
答案ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知角α的终边经过点P(8,y),且cos α=45,则y的值为 .?
解析由题意得cos α=882+y2=45,解得y=±6.
答案±6
14.函数y=sin(x+1)+1的值域是 .?
解析∵函数y=sin(x+1)的值域是[-1,1],
∴函数y=sin(x+1)+1的值域是[0,2].
答案[0,2]
15.已知f(x)=ax3+bsin x+1,且f(1)=5,则f(-1)的值为 .?
解析∵f(1)=5,∴a+bsin 1=4,
∴-a-b·sin 1=-4,
∴f(-1)=-a-b·sin 1+1=-3.
答案-3
16.(双空)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图所示,则ω= ;f(0)= .?
解析由题意可知周期为T=4×7π12?π3=π,
ω=2πT=2,
又2sin2×7π12+φ=-2,取φ=π3,即f(x)=2sin2x+π3,
可得f(0)=2sinπ3=3.
答案2 3
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知角α的终边上有一点P(-3,m+1),m∈R.
(1)若α=120°,求实数m的值;
(2)若cos α<0,且tan α>0,求实数m的取值范围.
解(1)依题意得tan α=m+1-3=tan 120°=-3,
所以m=2.
(2)由cos α<0,且tan α>0,得α为第三象限角,
所以m+1<0,即m<-1.故实数m的取值范围为(-∞,-1).
18.(12分)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点P的坐标是(-1,2).
(1)求sin α,tan α;
(2)求2sin(π-α)-sin(π2-α)sin(2π-α)+cos(π+α).
解(1)∵P(-1,2),
∴sin α=255,
tan α=-2.
(2)∵sin α=255,α为第二象限角,
∴cos α=-55,
2sin(π-α)-sin(π2-α)sin(2π-α)+cos(π+α)=2sinα-cosα-sinα-cosα
=2×255+55-255+55=-5.
19.(12分)已知f(x)=sin2x+π6+32,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)函数f(x)的图像可以由函数y=sin 2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到?
解(1)T=2π2=π,由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z可知kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z.
所以所求的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.
(2)变换情况如下:
y=sin 2x的图像y
=sin2x+π12的图像y=sin2x+π6+32的图像.
20.(12分)已知函数f(x)=sin2x+π4+1.
(1)用五点法作出f(x)在x∈-π8,7π8上的简图;
(2)写出f(x)的对称中心以及单调递增区间;
(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合.
解(1)∵-π8≤x≤7π8,
∴0≤2x+π4≤2π.
列表如下:
2x+π4
0
π2
π
3π2
2π
x
-π8
π8
3π8
5π8
7π8
f(x)
1
2
1
0
1
画出图像如下图所示:
(2)由2x+π4=kπ+π2,k∈Z,
得x=kπ2+π8,k∈Z,
可知函数图像的对称中心为kπ2+π8,1,k∈Z.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z,
故函数的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.
(3)当2x+π4=2kπ+π2,k∈Z,即x=kπ+π8,k∈Z时,
函数f(x)取得最大值,且最大值为2.
故函数f(x)的最大值为2,
此时x=kπ+π8,k∈Z.
21.(12分)如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(t以年初以来的月为计量单位);
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
解(1)设种群数量y关于t的解析式为
y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),
则-A+b=700,A+b=900,
解得A=100,b=800.
∵周期T=2×(6-0)=12,
∴ω=2πT=π6,
∴y=100sinπ6t+φ+800.
又当t=6时,y=900,
∴900=100sinπ6×6+φ+800,∴sin(π+φ)=1,∴sin φ=-1,∴取φ=-π2,
∴y=100sinπ6t-π2+800.
(2)当t=2时,y=100sinπ6×2-π2+800=750,即当年3月1日动物种群数量约是750.
22.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图像如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)当x∈0,π2时,求f(x)的取值范围.
解(1)由题中图像知A=2,
T=2×11π12?5π12=π,2πω=π,则ω=2,
由图像过点5π12,0得2sin5π6+φ=0,观察图像取5π6+φ=π,得φ=π6,故f(x)=2sin2x+π6.
(2)结合(1)中求得的函数解析式,
由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,
解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,
故函数的单调递增区间为-π3+kπ,π6+kπ,k∈Z.
(3)∵0≤x≤π2,∴π6≤2x+π6≤7π6,因此-12≤sin2x+π6≤1,
故f(x)的取值范围为[-1,2].
