(共26张PPT)
3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
目标定位 重点难点
1.熟悉用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用
2.熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用
3.两角差的余弦公式的变形 重点：两角差的余弦公式，并能灵活运用
难点：两角差的余弦公式的变形及灵活应用
两角差的余弦公式
cos αcos β＋sin αsin β
公 式 cos(α－β)＝______________________
简记符号 ____________
使用条件 α，β为任意角
【例1】 化简求值．
(1)cos 75°；
(2)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
两角差余弦公式的简单运用
【方法规律】灵活运用两角差公式进行化简求值
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．
(2)先观察待求式与公式右边是否相符，即余弦在前，正弦在后，可行时可通过化负角为正角，化大角为小角，调整角度和名称统一，构造公式．
给值求值
【解题探究】运用同角的平方关系，可得sin A，sin B，再由两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．
【答案】A
【方法规律】由于差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
对公式C(α－β)的理解
(1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
1．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是( )
A．sin 2x B．cos 2y
C．－cos 2x D．－cos 2y
【答案】B
【解析】原式＝cos(x＋y)cos(x－y)＋sin(x＋y)·sin(x－y)＝cos [(x＋y)－(x－y)]＝cos 2y.
3.1.1 两角差的余弦公式
【基础练习】
1．cos 75°cos 15°－sin 255°sin 165°的值是( )
A．－ B．
C． D．0
【答案】B
【解析】cos 75°cos 15°－sin 255°sin 165°＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos (75°－15°)＝cos 60°＝.故选B．
2．已知sin α＝，sin β＝且α，β均为锐角，则α－β的值为( )
A． B．－
C．或 D．
【答案】A
【解析】∵sin α＝，sin β＝且α，β均为锐角，∴cos α＝＝，cos β＝＝.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又sin α>sin β，∴α>β.∴α－β＝.故选A．
3．若x，y∈R，则cos xcos y＋sin xsin y的最大值为( )
A．2 B．
C．1 D．
【答案】C
【解析】cos xcos y＋sin xsin y＝cos(x－y)，故所求最大值为1.
4．若sin α·sin β＝1，则cos(α－β)的值为( )
A．0 B．1
C．±1 D．－1
【答案】B
【解析】∵sin αsin β＝1，∴或由cos2α＋sin2α＝1得cos α＝0，同理，cos β＝0，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1.
5．已知cos＋sin α＝，则cos的值是________．
【答案】
【解析】cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，cos α ＋sin α＝，∴cos＝cos α＋sin α＝.
6．已知tan θ＝－，θ∈，则cos的值为____________．
【答案】
【解析】∵tan θ＝－，θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝－，∴cos＝cos θcos＋sin θsin＝－×＋×＝.
7．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．
【解析】∵α，β∈，∴α＋β∈，
β－∈.
∵sin(α＋β)＝－，sin＝，
∴cos(α＋β)＝＝，
cos＝－＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
8．已知sin＝且<α<，求cos α的值．
【解析】∵sin＝且<α<，
∴<α＋<π.
∴cos＝－＝－.
∴cos α＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
【能力提升】
9．(2019年山东菏泽模拟)若sin＝且α是钝角，则cos＝( )
A． B．
C D．－
【答案】D
【解析】因为sin＝且α是钝角，所以＋<α＋<π＋，cos＝－＝－.所以cos＝cos＝coscos －sinsin ＝－×－×＝－.
10．(2018年吉林期末)已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，则cos(α－β)＝( )
A． B．－
C． D．1
【答案】B
【解析】已知两等式平方得(cos α＋cos β)2＝cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝，(sin α＋sin β)2＝sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝，∴2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，即cos αcos β＋sin αsin β＝－，则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.故选B．
11．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．
【解析】(1)由题意，知A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)．
将点M代入，得sin＝.而0<φ<π，∴＋φ＝π，∴φ＝.
故f(x)＝sin＝cos x.
(2)由题意，有cos α＝，cos β＝.
∵α，β∈，∴sin α＝＝，sin β＝＝.
∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
PAGE
- 1 -
(共28张PPT)
3.1.2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
目标定位 重点难点
1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系
2.熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活应用 重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活应用
难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的变形及灵活应用
1．两角和与差的正弦公式
2．两角和与差的正切公式
3．cos 36°cos 24°－sin 24°sin 36°＝______.
三角函数式的化简求值
【方法规律】解决给角化简求值问题的策略
(1)注意分析式子的结构特点，合理选择正余弦的和差公式．
(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用．
(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角三角函数．
(4)注意对角的变换，即合理拆角或凑角．
给值求值
【特别提醒】给值求值的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
【警示】已知三角函数值求角的方法及注意事项
(1)给值求角问题一般是先根据题设条件求角的某种三角函数值．
(2)解题中要特别注意角的范围，必要时借助三角函数值缩小角的范围．
3．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)sin y可化简为( )
A．cos x B．sin x
C．cos(x＋y) D．cos(x－y)
【答案】A
【解析】原式＝cos [(x＋y)＋y]＋2sin(x＋y)sin y＝cos(x＋y)cos y－sin(x＋y)sin y＋2sin(x＋y)sin y＝cos(x＋y)cos y＋sin(x＋y)sin y＝cos x.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【基础练习】
1．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
【答案】C
【解析】由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，∴sin A≥1.而sin A≤1，∴sin A＝1，A＝.∴△ABC是直角三角形．
2．(2019年吉林延边模拟)已知sin(π＋α)＝，|α|<，则cos＝( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为sin(π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－.又|α|<，所以cos α＝.所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×－×＝.故选D．
3．(2019年安徽黄山模拟)已知x∈，cos＝，则sin x的值为( )
A．－ B．
C． D．－
【答案】B
【解析】因为x∈，cos＝，所以x＋∈，sin＝＝.所以sin x＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.故选B．
4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【解析】∵tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，即tan A＋tan B＝tan Atan B－1，∴tan(A＋B)＝＝－1，即tan(A＋B)＝－tan C＝－1.∴tan C＝1，即C＝，则cos C＝cos＝.故选B．
5．(2017年安徽二模)sin 15°＋cos 15°＝________.
【答案】
【解析】sin 15°＋cos 15°＝＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
6．(2019年广东江门期末)角α的终边与单位圆相交于P，则tan＝________.
【答案】
【解析】由角α的终边与单位圆相交于P，可得tan α＝－，所以tan＝＝.
7．化简求值：
(1)cos 44°sin 14°－sin 44°cos 14°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．
【解析】(1)原式＝sin(14°－44°)＝sin(－30°)＝－.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
8．(2018年吉林梅河口五中期末)已知0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝.
(1)求cos α的值；
(2)求cos的值．
【解析】(1)∵0＜α＜，∴＜＋α＜.
∵cos＝，∴sin＝.
∴cos α＝cos
＝coscos＋sinsin＝.
(2)∵－＜β＜0，∴＜－＜.
∵cos＝，∴sin＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
【能力提升】
9．(2019年四川成都模拟)若α，β∈且sin α＝，sin(α－β)＝－，则sin β＝( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－.因为α，β∈，sin(α－β)＝－，所以α－β∈，cos(α－β)＝.所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝×－×＝.故选B．
10．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A． B．－
C．或－ D．－或
【答案】B
【解析】由根与系数的关系得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0.又－<α<，－<β<，∴－π<α＋β<0.tan(α＋β)＝＝＝，∴α＋β＝－.
11．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m且β为第三象限角，则cos β＝________.
【答案】－
【解析】由sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m，得sin(－β)＝m，即sin β＝－m.又β为第三象限角，cos β＝－＝－＝－.
12．(2018年湖南模拟)已知cos＝3sin，则tan＝________.
【答案】2－4
【解析】由cos＝3sin＝－3sin，得
sin α＝3sin，
∴sin＝3sin，展开得
sincos－cossin
＝3sincos＋3cossin，
即－2sincos＝4cossin，
∴tan＝－2tan.
又tan＝tan＝＝2－，
∴tan＝－2(2－)＝2－4.
13．(2019年广东深圳宝安区期末)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos的值．
【解析】(1)由题意可得函数f(x)的最小正周期为π，
∴＝π，得ω＝2.
根据图象关于直线x＝对称，可得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
结合－≤φ<，可得φ＝－.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
∴f＝sin＝.
∴sin＝.
由<α<，可得0<α－<，
∴cos＝＝.
∴cos＝sin α＝sin＝sincos ＋cossin ＝×＋×＝.
PAGE
- 1 -
(共29张PPT)
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
目标定位 重点难点
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用 重点：熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用
难点：二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用
【答案】A
4．已知tan α＝2，则tan 2α的值为________．
运用二倍角公式化简求值
【方法规律】应用二倍角公式化简求值的三个关注点
(1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值．
(2)当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角．
(3)对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围．
给值求值
前探索
2a.sin 2a
B
(a+6
2a.cos la
a=BT: tan 2a
师讲堂
眼堂感悟
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
【基础练习】
1．(2019年河南安阳模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点(－4,3)，则sin 2α－cos 2α＝( )
A．－ B．－
C．－ D．
【答案】B
【解析】由三角函数的定义，可得sin α＝，cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝cos2α－sin2α＝，sin 2α－cos 2α＝－.故选B．
2．对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
【答案】B
【解析】因为f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)是奇函数，即f(x)的图象关于原点对称．故选B．
3．(2019年安徽马鞍山模拟)已知cos＝，则sin的值为( )
A． B．
C．± D．－
【答案】C
【解析】因为cos＝，所以cos＝，sin＝±.所以sin＝sin＝2sincos＝2××＝±.故选C．
4．若sin＝，则cos＝( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】B
【解析】cos＝2cos2－1＝2cos2－1＝2sin2－1＝－1＝－.
5．(2017年福建莆田一模)已知sin＝，则cos 2α的值是( )
A． B．－
C． D．－
【答案】B
【解析】∵sin＝，∴cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.故选B．
6．(2019年广东佛山期末)已知tan＝2，则tan＝________.
【答案】－
【解析】由tan＝2，可得tan＝＝－，则tan＝tan＝＝－.
7．已知sin(α－45°)＝－且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________．
【答案】
【解析】由于sin(α－45°)＝－且0°＜α＜90°，则－45°＜α－45°＜45°，cos(α－45°)＝＝，
∴cos α＝cos(α－45°＋45°)＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°＝×－×＝，则cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
8．已知＝1，求证：
3sin 2α＝－4cos 2α.
【证明】因为＝1，所以tan α＝－.
tan 2α＝＝－，即＝－，
所以3sin 2α＝－4cos 2α.
9．已知cos α＝，cos(α－β)＝且0＜β＜α＜，求：
(1)tan 2α的值；
(2)β的大小．
【解析】(1)由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝＝.
所以tan α＝＝4，
于是tan 2α＝＝＝－.
(2)由0<β<α<，得0<α－β<.
因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，所以β＝.
【能力提升】
10．(2018年四川模拟)若1＋sin 2x＝2cos2，x∈(0，π)，则tan 2x的值构成的集合为( )
A．{} B．{－，}
C．{－，0，} D．
【答案】C
【解析】∵1＋sin 2x＝2cos2，∴2sin xcos x＝2cos2－1＝cos x．∴cos x＝0或sin x＝.又x∈(0，π)，∴x＝，，.∴2x＝π，，.∴tan 2x＝0或±，则tan 2x的值构成的集合为{－，0，}，故选C．
11．已知cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( )
A． B．
C． D．－1
【答案】B
【解析】sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.
12．已知θ∈(0，π)且sin＝，则tan 2θ＝________.
【答案】－
【解析】∵sin＝(sin θ－cos θ)＝，∴sin θ－cos θ＝.∴1－2sin θcos θ＝，2sin θcos θ＝＞0.依题意知，θ∈，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝，∴sin θ＋cos θ＝.∴sin θ＝，cos θ＝.∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，∴tan 2θ＝＝－.
13．已知函数f(x)＝2sincos＋2cos2(a＞0)，且函数的最小正周期为.
(1)求a的值；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
【解析】(1)函数f(x)＝2sincos＋2cos2(a＞0)，化简可得
f(x)＝sin＋cos＋1
＝－cos 2ax＋sin 2ax＋1
＝2sin＋1.
∵函数的最小正周期为，即T＝，
∴T＝＝，可得a＝2.
∴a的值为2.
(2)由(1)得f(x)＝2sin＋1.
x∈时，4x－∈.
当4x－＝－时，函数f(x)取得最小值为1－；
当4x－＝时，函数f(x)取得最大值为2×1＋1＝3，
∴f(x)在上的最大值为3，最小值为1－.
PAGE
- 1 -
(共40张PPT)
3.2 简单的三角恒等变换
目标定位 重点难点
1.熟练运用三角公式进行化简、求值和证明
2.了解半角公式的推导过程，认识三角变换的特点，不断提高从整体上把握变换过程的能力 重点：能运用三角公式进行简单的恒等变换
难点：三角公式的变形及灵活应用
1．半角公式
【答案】D
4．(2019年广东江门期末)函数f(x)＝sin2x(x∈R)的最小正周期T＝________.
【答案】π
三角公式及其应用
【方法规律】三角函数式条件求值的一般步骤
(1)先化简所求的三角函数式．
(2)从角和三角函数名称两方面来寻找已知条件和所求式子之间的联系．
(3)明确关系，代入求值．
有关证明问题
【解题探究】(1)利用两角和与差的三角函数化简等式的左边，即可证明等式；
(2)利用表达式的左侧，分子分母同乘sin 1°，利用两角差的正弦函数展开分子，化简表达式求和即可证明结果．
【方法规律】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证．常用的方法有化弦法，化切法，公式变形，1的代换等．
已知3sin β＝sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
【证明】由3sin β＝sin(2α＋β)，得
3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，
即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.
由cos(α＋β)cos α≠0，两边同除以cos(α＋β)cos α，
可得tan(α＋β)＝2tan α.
与三角函数性质有关的问题
【错解】A或C
【警示】正确运用半角公式求解问题的两个注意点
(1)熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提．
(2)应用半角公式求值时，要特别注意根据单角的范围去确定半角三角函数值的符号．
3.2 简单的三角恒等变换
【基础练习】
1．(2018年云南玉溪模拟)函数y＝1－2sin2是( )
A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为2π的奇函数
【答案】B
【解析】因为函数y＝f(x)＝1－2sin2＝cos 2＝－sin 2x，x∈R，所以函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝π，且f(－x)＝－sin 2(－x)＝sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是定义域R上的奇函数．故选B．
2．若f(tan x)＝sin 2x，则f(－1)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
【答案】B
【解析】f(－1)＝f＝sin 2＝sin＝－1.
3.·＝( )
A．tan α B．tan 2α
C．1 D．
【答案】B
【解析】原式＝＝＝＝tan 2α.
4．y＝sin xcos x＋sin2x可化为( )
A．sin＋ B．sin－
C．sin＋ D．2sin＋1
【答案】A
【解析】y＝sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋＝＋＝sin＋.
5．若cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为( )
A． B．－
C． D．－
【答案】C
【解析】cos(75°＋α)＝，可得sin(15°－α)＝.cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－2×＝.故选C．
6．已知sin θ＝，θ∈，则cos＝___________.
【答案】
【解析】∵θ∈，∴∈.∴cos θ＝－＝－.∴cos＝＝.
7．已知α∈，tan＝，则sin α＋cos α＝________.
【答案】
【解析】∵tan＝，∴＝，解得tan α＝.∵α∈，sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝，cos α＝.∴sin α＋cos α＝＋＝.
8．已知a＋b＝sin，a－b＝sin，求证：a2＋b2＝1.
【证明】∵a＋b＝sin＝sin θ＋cos θ，
a－b＝sin＝sin θ－cos θ，
∴a＝sin θ，b＝cos θ，∴a2＋b2＝1.∴原等式成立．
9．已知sin α＝，sin(α＋β)＝，α，β均为锐角，求cos的值．
【解析】∵0<α<，sin α＝，
∴cos α＝＝.
又0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.
若0<α＋β<，∵>，即sin α>sin(α＋β)，
∴α＋β<α，不符合题意．∴<α＋β<π.
∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
而0<β<，0<<，
∴cos＝＝.
【能力提升】
10．(2019年河北模拟)已知函数f(x)＝2sinsin(ω>0)，若函数g(x)＝f(x)＋在上有且只有三个零点，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】sin＝cos＝cos＝cos，所以f(x)＝2sincos＝sin.令g(x)＝f(x)＋＝0，得sin＝－.由x∈，得2ωx－∈，函数g(x)的零点应满足2ωx－＝－，，，，…，由g(x)在上有且只有三个零点，可得≤ωπ－<，解得2≤ω<.故选A．
11．(2019年江西萍乡模拟)函数f(x)＝cossin 2x－的图象的一个对称中心的坐标是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】f(x)＝cossin 2x－＝sin 2x－＝sin 2xcos 2x＋sin22x－＝sin 4x＋(1－cos 4x)－＝＝sin，令4x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，取k＝1得函数f(x)图象的一个对称中心坐标是.故选A．
12．若α－β＝，则sin αsin β的最大值为________．
【答案】
【解析】α＝β＋，则sin αsin β＝sinsin β＝(sin2β＋sin βcos β)＝(1－cos 2β＋sin 2β)＝sin＋，∴最大值为.
13．(2019年安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.
(1)若函数f(x)在上的值域为[－，2]，求m的最小值；
(2)在△ABC中，f＝2，sin B＝cos C，求sin C．
【解析】(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
因为x∈，所以2x＋∈.
结合y＝2sin x的图象可得－≤2m＋≤，
解得－≤m≤，即m的最小值为－.
(2)由f＝2sin＝2，
可得sin＝1，
所以＋＝2kπ＋，即A＝4kπ＋(k∈Z)．
又A是△ABC的内角，所以A＝.
所以sin B＝sin＝cos C，
化简整理得cos C＝sin C．
所以sin2C＋2＝1，得sin2C＝.
又C是△ABC的内角，所以sin C>0，则sin C＝.
PAGE
- 1 -
(共29张PPT)
章 末 归 纳 整 合
在解决有关三角函数的问题时，三角函数的图象是不可缺少的工具，大多数题目都要画出所涉及的三角函数的草图，然后结合图象解决问题，所以数形结合思想在解决三角函数问题上有着广泛的应用．
数形结合思想
【点评】本题主要考查正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
分类讨论思想与中学数学的关系较为密切，在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常常需要分类讨论，三角函数与二次函数的综合问题以及三角函数的最值等问题有时也需要分类讨论．
分类讨论思想
【答案】±7
【点评】本题考查三角函数的最值，涉及正切函数的值域和二次函数的最值，涉及分类讨论的思想，属中档题．
本章内容虽然公式多，公式的变式、方法技巧多，但是公式间的逻辑性较强，规律及变换原则较明确．通过近三年的高考看，常以选择题、填空题和解答题的形式出现，其中小题往往单纯考查三角函数式的变换、求值或化简，充分利用了两角和与差的正、余弦公式和正切公式，以及倍角公式，大题则多与向量相结合命题或利用化简后的结果考查有关三角函数的性质，题目难度以中、低档为主．
1．(2018年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
【答案】B
【答案】C
3．(2018年新课标Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
