4.3 探索三角形全等的条件
一.选择题(共10小题)
1.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,点A,D在直线BE的两侧,AB∥DE,BF=CE,添加一个适当的条件后,仍不能使得△ABC≌△DEF( )
A.AC=DF B.AC∥DF C.∠A=∠D D.AB=DE
2.在如图所示3×3的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的顶点上,像△ABC这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形,在图中画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形,这样的格点三角形最多可以画( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,A,B,C三点在同一条直线上,∠A=∠C=90°,AB=CD,添加下列条件,不能判定△EAB≌△BCD的是( )
A.EB=BD B.∠E+∠D=90° C.AC=AE+CD D.∠EBD=60°
4.如图,点E,F分别在线段BC上,AB∥CD,AE∥DF,那么添加下列条件还不能判定△ABE≌△DCF的是( )
A.AB=CD B.∠A=∠D C.AE=DF D.CE=BF
5.如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①AC=BD;②∠AMB=40°;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC.其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.如图,BP平分∠ABC,D为BP上一点,E,F分别在BA,BC上,且满足DE=DF,若∠BED=140°,则∠BFD的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
7.如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=4,BF=3,EF=2,则AD的长为( )
A.3 B.5 C.6 D.7
8.如图,△ACB和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点C、D、E三点在同一直线上,连结BD,则∠ADB=( )
A.45° B.30° C.60° D.55°
9.如图,已知∠ABC=∠BAD.下列条件中,不能作为判定△ABC≌△BAD的条件的是( )
A.∠C=∠D B.∠BAC=∠ABD C.BC=AD D.AC=BD
10.如图,AB∥FC,E是DF的中点,若AB=20,CF=12,则BD等于( )
A.12 B.8 C.6 D.10
二.填空题(共5小题)
11.如图,若AB=AD,加上一个条件 ,则有△ABC≌△ADC.
12.如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4,四个点中,满足条件的点P有 个.
13.如图,在△ABC中,BF⊥AC于F,AD⊥BC于D,BF与AD相交于E.若AD=BD,BC=8cm,DC=3cm,则AE= cm.
14.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.AB上一点D,使AD=BC,过点D作DE∥BC且DE=AB,连接EC,则∠DCE= °.
15.如图,AB=6cm,AC=BD=4cm.∠CAB=∠DBA,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).设点Q的运动速度为xcm/s,若使得△ACP与△BPQ全等,则x的值为 .
三.解答题(共5小题)
16.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,连结AE并延长交BC的延长线于F,连结BE.
(1)求证:AD=CF;
(2)若AB=BC+AD,求证:BE⊥AF.
17.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,且AB+BC=CD+AD,请判断AD与BC的数量关系,并说明理由.
18.已知:如图,在△ABC中,D为BC上的一点,DA平分∠EDC.且∠E=∠B,ED=DC.求证:△ADE≌△ADC.
19.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度数;
(3)求证:CD=2BF+DE.
20.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为CD中点,连接AE并延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证:CF=AD;
(2)若AD=3,AB=8,当BC为多少时,点B在线段AF的垂直平分线上,为什么?
参考答案
一.选择题(共10小题)
1
A.
2.
D.
3.
D.
4.
B.
5.
B.
6.
A.
7.
B.
8.
A.
9.
D.
10.
B.
二.填空题(共5小题)
11.
BC=DC.
12.
2.
13.
2.
14.
70.
15.
2或.
三.解答题(共5小题)
16.解:(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠ADE=∠FCE.
∵点E是DC的中点,
∴DE=CE.
在△ADE和△FCE中
,
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴CF=AD.
(2)∵CF=AD,AB=BC+AD,
∴AB=BF,
∵△ADE≌△FCE,
∴AE=EF,
∴BE⊥AF.
17.解:结论:AD=BC.
理由:在AB的延长线上截取BE=BC,在CD的延长线上截取DF=DA,连接CE、AF.
∵AE=AB+BE=AB+BC,
CF=CD+DF=CD+DA,
AB+BC=CD+DA,
∴AE=CF,
∵AB∥CD,
∴AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
∴CE=AF,∠E=∠F(平行四边形对边相等,对角相等),
∵BE=BC,DF=DA,
∴∠BCE=∠E,∠DAF=F,
∴∠BCE=DAF,
在△BCE和△DAF中,
∵∠E=∠F,CE=AF,∠BCE=∠DAF,
∴△BCE≌△DAF(ASA),
∴BC=AD.
18.证明:∵AD平分∠EDC,
∴∠ADE=∠ADC,
在△AED和△ACD中,
,
∴△AED≌△ACD(SAS).
19.证明:(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
,
∴△BAC≌△DAE(SAS);
(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,
∴∠E=45°,
由(1)知△BAC≌△DAE,
∴∠BCA=∠E=45°,
∵AF⊥BC,
∴∠CFA=90°,
∴∠CAF=45°,
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;
(3)延长BF到G,使得FG=FB,
∵AF⊥BG,
∴∠AFG=∠AFB=90°,
在△AFB和△AFG中,
,
∴△AFB≌△AFG(SAS),
∴AB=AG,∠ABF=∠G,
∵△BAC≌△DAE,
∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,
∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,
∴∠G=∠CDA,
∵∠GCA=∠DCA=45°,
在△CGA和△CDA中,
,
∴△CGA≌△CDA(AAS),
∴CG=CD,
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
∴CD=2BF+DE.
20.解:(1)∵AD∥BC,
∴∠F=∠DAE.
又∵∠FEC=∠AED,
∴∠ECF=∠ADE,
在△FEC与△AED中,
,
∴△FEC≌△AED(ASA),
∴CF=AD.
(2)当BC=5时,点B在线段AF的垂直平分线上,
理由:∵BC=5,AD=3,AB=8,
∴AB=BC+AD,
又∵CF=AD,BC+CF=BF,
∴AB=BF,
∴△ABF是等腰三角形,
∴点B在AF的垂直平分线上.