湘教版八年级上册数学2.1.3三角形的内角和定理课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
2.1 三角形
第3课时 三角形的内角和定理
我们已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.怎么验证这个结论呢？
方法一：度量法 通过具体的度量，验证三角形的内角和为180°.
想一想
方法二：拼合法 把三个角拼在一起试试看？
方法三：推理验证法.
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
你能用数学的方法说明这个结论吗？
还有其他的拼接方法吗？
讲授新课
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
验证结论
三角形三个内角的和等于180°.
说明：∠A+∠B+∠C=180°
已知：△ABC.
方法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
1
2
方法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA

∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)

∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)

又∵∠1+∠2+∠ACB=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°
E
D
E
D
F
方法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°
∠AED+∠EDF=180°
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
想一想：同学们还有其他的方法吗？
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
（3）在△ABC中, ∠A=40 ° ，∠A=2∠B，则∠C＝＿＿＿.
102 °
40 °
120°
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 ° ， 则 ∠ C=
（2）在△ABC中，∠C=90°，∠B=50 ° ，则∠A＝＿＿＿.

x+2x+ 90=180，
x=30.
x+x+x=180，
x=60.
图（1）
图（2）
（4）求出图中x的值.
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线∠BAC=40 °
在△ABD中
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
典例精析
【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°
∵CD是∠ACB的平分线
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°
∵DE∥BC
∴∠EDC＝∠BCD＝30°
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60
又∵∠CFD＝∠AFE
∴∠CFD＝60°
在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°
∴ ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°
基本图形
由三角形的内角和易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和易得∠1+∠2=∠3+∠4.
总结归纳
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°
∠C为(x ＋ 15)°， 根据题意得
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180
解得 x ＝ 33
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48
即 ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°
和差倍分问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
（1）一个三角形中最多有 个直角？为什么？
（2）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？
（3）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？
（4）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 .
60°
2
1
1
三角形中，三个角都是锐角的三角形叫 ，
有一个角是直角的三角形叫 ，
有一个角是钝角的三角形叫 如图所示.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.
对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角.
F
A
B
C
D
E
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
练一练
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角
∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
∵∠A+∠B+∠ACB=180°
∠BCD+∠ACB=180°
∴∠A+∠B=∠BCD
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
解：过C作CE平行于AB，
A
B
C
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
已知：如图，△ABC，试说明：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
三角形外角的性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
知识要点
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180?,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180?.
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
能力提升：
考考自己?
在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数.
解：在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°.
∴∠B+∠C=100°.
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=50°.
考考自己?
已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数.
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.
由题意得： x+3x+5x=180°，
x=20°.
答：三个内角度数分别为20°,60°,100°.