北师大版八年级下册数学教案：5.4分式方程（二）

《分式方程（二）》教学设计
一、教材内容分析
本节是北师大版八年级下册第五章《分式与分式方程》的第4节《分式方程》，本节共三个课时，探索分式方程的概念、解分式方程以及分式方程在实际问题中的应用.本节课是第二课时.分式方程是刻画现实世界相等关系的重要数学模型，它是在学生已熟练地掌握了整式运算、一元一次方程、分式四则运算等有关知识的基础上进行学习的.同时分式方程也为进一步学习研究反比例函数提供了知识与方法的储备，因此它在教材中起着承上启下的作用.
本课时主要研究分式方程的解法，只要求会解可化为一元一次方程的分式方程.解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程，因此在引导学生探索分式方程的解法时，要注意体现这种转化的思想.教学中注意对学生进行过程性评价，要延迟评价学生运算的熟练程度，允许学生经过一定时间达到《数学课程标准》（2011版）要求的目标，把评价重点放在对算理的理解上.分式方程的主要特点是分母中有未知数，这导致分式方程的求解过程中使用了非同解变形，有可能出现增根，这对学生的思维提出了更高的要求，也对学生解决问题的能力提出了更高的要求，因此分式方程不仅是介绍一类方程及其解法，更是培养学生化归能力，逻辑思维能力，归纳总结能力的良好素材.
二、学生学情分析
学生的知识技能基础：学生基本了解分式方程的概念，学习过分式的四则运算和如何寻找最简公分母，学生已掌握简单的整式方程的解法（一元一次方程及二元一次方程组），从而能通过观察类比的方法，探索分式方程的解法并能理解解题步骤的依据.
学生的活动经验基础：本节课是在已学习了利用转化思想将二元一次方程转化为一元一次方程的基础上再次体会数学转化思想．所以在相关知识的学习过程中，学生已获得了一定的合作学习的经验和数学思考方法，具备了一定的合作与交流的能力.
学生在学习中可能存在的困难：一元一次方程的相关知识，由于学习时间过长，部分学生可能遗忘；增根是学生首次遇到的概念，加上增根产生的原因大多同学不易理解，可能导致学生在增根概念上作过多纠缠，影响了本课主要内容的讨论；可能产生的增根导致分式方程的解法与一元一次方程的解法有着较大的区别——必须进行检验，受一元一次方程解答一般无需书写检验的影响，大多同学难以在短时间内养成书写检验的习惯.
三、教学任务分析
本节课主要探究分式方程的解法.依据课程标准的要求和学生的实际情况确定教学目标和教学重难点如下.
1.教学目标
（1）经历探索分式方程解法的过程，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径，了解解分式方程的一般步骤，使学生进一步体会数学思想中的“转化”思想.
（2）经历探究增根产生的原因的过程，使学生理解解分式方程时，可能出现增根，方程无解的原因，明确分式方程验根的必要性，并掌握解分式方程的验根方法，培养学生的逻辑分析能力.
2.教学重点：探索解分式方程的步骤，熟练掌握分式方程的解法；体会解分式方程验根的必要性.
3.教学难点：如何将分式方程转化为整式方程；理解解分式方程时可能无解的原因，明确分式方程验根的必要性.
四、教学策略分析
本节应突出类比一元一次方程，通过自主探究，合作交流，教师引导的方式，鼓励学生从多角度思考问题解分式方程；借助多媒体手段及时展示学生解题中所出现的问题，规范学生的书写过程.
五、教学过程
（一）复习回顾
1．请写出与的最简公分母.
2．解一元一次方程
3．什么叫做分式方程？它有哪些特点？如何解分式方程呢？
师生行为：学生回顾最简公分母、一元一次方程的解法以及已学分式方程相关知识；教师点拨去分母，为下一步解分式方程做准备；提醒学生注意解一元一次方程每一步易犯的错误，尤其是去分母时每一项都要乘以最简公分母，不能漏乘，同时还应强调检验方程的根,培养学生严谨的作风,并为解分式方程的验根打下基础.
设计目的：回顾最简公分母，解一元一次方程的解法，做好新知学习的铺垫.由于本节课的内容是紧接在分式的运算之后，多数学生在解分式方程时会对方程进行通分，所以着重复习去分母的步骤以及提醒漏乘现象，为学生过渡到分式方程去分母打下基础．
（二）探究新知
活动一：自主探索
例1.类比上述方法，大胆尝试解分式方程：
师生行为：学生自主探索或互相讨论完成，老师巡视学生完成情况；有些学生可能会采用交叉法，也有些学生可能采用去分母，甚至有些学生可能受刚学习的分式加减法的影响进行通分，对于学生可能出现的几种典型的解法用多媒体展示台展示，让同学讨论，得出较好的解法，引导学生体会解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程.
教师在活动中关注:
学生能否观察出分式方程与整式方程的区别.
学生是否有利用“转化思想”解决问题的意识.
学生是否在参与合作交流的活动中获取知识，学生是否从多角度来研究分式方程的解法.
引导学生检验刚才求得的解是否是原方程的解.
设计目的：主要让学生运用“转化思想”探讨解分式方程的方法，鼓励学生从多角度思考问题，解释所得结果的合理性，培养学生的发散思维.通过教师对例题讲解，让学生初步体会解分式方程的一般步骤，了解解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程.
练习：解分式方程（1） （2）
师生行为：学生独立求解，老师巡视学生完成情况，对有困难度的学生给予帮助.对学生不同的解法或学生解题中一些错误的做法在多媒体上展示.
设计目的：通过一组练习题，让学生熟练解简单的分式方程.
活动二：深入探究
例2.解分式方程：
师生行为：学生独立求解，解得.
教师提出问题：（1）你认为是原方程的根？
（2）例1和例2两个方程中,为什么例1去分母后所得整式方程的解是它的解，而例2去分母所得整式方程的解却不是它的解呢?
（3）探究:分式方程无解的原因是什么？
(分式方程去分母后的整式方程的解代入原分式方程分母中,分母为0无意义,所以分式方程无解，我们称它为原方程的增根)
（4）探究:如何检验分式方程的解?
①直接代入原方程(计算量大,很少用) ②间接代入最简公分母(常用检验方法)
设计目的：主要让学生通过自己探索实践,找出分式方程无解的原因及验根的必要性.学生在教学活动中通过积极参与和有效参与,来达到知识与能力、过程和方法、情感态度与价值观的全面落实，突出本节课重点.在解这个方程的过程中,学生容易忽视两个分母互为相反数,所以在去分母时会化简为繁.要提醒学生先将一个分母化为另一个分母的相反数.以此让学生领会这一类题目的解法.同时强调不要漏乘.
活动三：规范解法
例3.解方程
师生行为：学生独立解题，其中一名学生上黑板完成，教师巡视，并对个别有困难的学生进行指导，等学生完成后，师生共同讲评，规范解题过程.
设计目的：经历前两个活动后，再次让学生解分式方程，规范解题步骤，同时为下一个归纳解分式方程的步骤的活动积累经验.
活动四：探究归纳
解分式方程基本思路是什么？有哪些步骤？每一步的目的是什么？
师生行为：师生共同分析交流归纳总结.
解分式方程的基本思路是：分式方程通过去分母转化成整式方程.
　　步　骤 　　目　的
1．化：去分母，化成整式方程（关键找最简公分母） 将分式方程转化为整式方程
2．解：解这个整式方程 得到整式方程的解
3．检验：检验(代入最简公分母看是否为0,为0增根) 舍去增根
4．写：写出最终结果 得到原方程的解
设计目的：通过探究，引发学生的思考，让学生在自主探究合作交流中归纳总结解分式方程的基本思路和步骤，在合作交流中获得成功的快乐。
（三）跟踪反馈
解方程：（1） （2） （3）
师生行为：学生独立求解，老师巡视学生完成情况，对有困难度的学生给予帮助.对学生不同的解法或学生解题中一些错误的做法在多媒体上展示（特别是解方程不检验）.
设计目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对解分式方程是否清楚，以便教师能及时进行查缺补漏．其中（3）题需要学生对分母分解因式，为解最一般的分式方程起示范作用.在两个问题的解答过程中要让学生注意规范书写过程，提醒学生不要忘记验根.
（四）拓展升华
1.已知关于的分式方程有增根，则增根是 ， .
2.关于的分式方程的解是负数，则的取值是
师生行为：估计有相当一部分学生无从入手，老师根据情况引导学生反思分式方程求解的过程，找出问题的切入点；由前面解题可知，求出的值是增根时，原方程无解。由此可知第1题解得，但不能代入原方程，否则分母为0，应将原方程去分母，化为整式方程，此时将代入就可求出的值.
设计目的：设计思考性、探索性的习题，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和实践能力；在学生反思求解分式分程的过程，训练逆向思维，帮助学生多角度理解增根的意义和增根产生的原因，达到融会贯通的目的.
（五）感悟收获
本节课，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？
师生行为：学生对本课学习进行反思总结在全班交流，教师补充总结.
设计目的：让不同层次同学发表意见培养学生语言表达和知识归纳概括能力；通过学生对知识内容和数学思想的小结，梳理所学内容，形成完整知识结构，有利于帮助学生理清知识脉络，明确学习目标．
（六）布置作业
必做题：
解方程：（1） （2） （3） （4）
选做题：
1.关于的分式方程的解为正数，求的取值范围.
2.若方程无解，则的值是多少？
设计目的：必做题是对本节课基本内容的一个反馈，选做题是为学有余力的同学提供学习平台，引导他们课后自主学习，让不同程度的学生都有所发展.
六、板书设计
分式方程解分式方程的步骤： 例1 练习 例2 跟踪反馈 例3 拓展升华
七、教学设计反思
1.本节课的设计采用“复习回顾，提出问题—合作探究，解决问题—例题剖析，尝试练习—巩固升华，拓展思维—反思评价，课外练习”的探究式模式展开，整节课为学生提供开放式、互动的、自主探究的学习方式，注重合作意识以及探究能力的培养，最大限度地调动学生全员参与，关注每一位学生个体，关注学习过程中的团队精神，合作意识，为教学目标的有效实现打下坚实基础。
2. 在解分式方程之前先将最简公分母复习一遍，给学生铺好路，在复习求解含有分母的一元一次方程时，方程两边要都乘以最简公分母，尤其要求每一项都乘以最简公分母，让学生看到去分母的过程，这样学生在探究分式方程解法的同时可进行类比， 让学生在解分式方程时有法可循，而不会觉得无从下手.同时可避免出现很多的问题，也能让学生理解得更透彻.
3.在解分式方程的探究过程中我设计了四个循序渐进，层层深入的活动，尤其是活动二中给出的四个探究问题，步步引领学生探究分式方程无解的原因以及如何进行检验方程的解，
这样的设计可极大地激发学生的求知欲，再采用学生讨论、探索和交流的教学方法，整个课堂上学生将会处于主动的学习状态，从而得到问题的解决，这也正是我们数学教学中所应培养的问题解决能力，在学生回答问题后及时给予评价，让学生体会成功的快乐.
4. 教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行调整.所以本节课的设计就创造性地使用了教材. 本节教材中直接提出问题怎样求解分式方程，学生直接探索它的解法显然有些困难，我是从简单的整式方程引出分式方程后，再引导学生探究它的解法，这样学生很轻松地找到新知识的切入点：用等式性质去分母，转化为整式方程再求解.因此，学生学起来会较为轻松，学的效果应该也会好些.