高中数学人教B版（2019） 必修三 第七章 7．1．2 弧度制及其与角度制的换算 学案

§7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
【回顾】
1、关于度量
（1）同一个量可以有不同度量方式
（2）这些方式均先规定1个基本单位
（3）不同度量方式可能有不同进制（国际单位以十为进制），不同方式之间可以相互转化
2、角度制的定义
（1）将圆周平均分成360份，其中每1份所对的圆心角为1度，记作：1°
（2）这种用度作单位来度量角的制度称作：“角度制”。
（3）进制：1° = 60’，1’= 60″
【引入】
（1）实验发现：
同心圆中，半径不同，同一个圆心角所对的
弧长不等，但弧长与半径的比值不变。
（2）理论证明：
可推出
因此，当圆心角度数(n)为定值时，比值为常值。
【新课】
一、弧度制
【定义】
（1） 弧度数： 我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的“弧度数”。
（2） 1弧度： 当弧长与半径相等时比值为1，此时的圆心角叫做“1弧度的角”，记作:“1rad”
（3） 弧度制： 这种以弧度为单位度量角的制度，称作“弧度制”。
例1、请用弧度制表示下列图中的角度
（1） （2） （3）
l = r l = 2r l = πr
（4） （5）
【答案】（1）α=1rad （2）β=2rad （3）θ=π rad （4）α= rad （5）β=rad
思考：对比有旋转方向时对角的描述（ l = 2r ）

（1） （2）


【答案】（1）α=2rad （2）β=-2rad

【注释】
1）用弧度制定义的角的大小与半径的大小无关。
2）当我们强调角的旋转方向时， “弧度数”相当于“弧度的绝对值”。 （“rad”可省略）
3）用弧度制表示的角是一个实数（比值），按旋转的方向分为正、负、零，即：正角是一
个正数、负角是一个负数、零角是零。
4）角的集合与实数集之间是一一对应的关系。

例2、请分别用“角度制”和“弧度制”表示下列图中的角度
（1） （2） （3）

【答案】（1）90°= （2）180°=π （3）360°=2π
二、弧度制与角度制的换算
【公式】

例3、把30°，45°，60°化成弧度（用 π 表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边。
【答案】书P10
【思考】
1）1rad的终边所落位置？
2）1rad为多少度？

例4、请把化成角度数。
【答案】书P10

【练习】
角度 0° 30° 45° 60° 90°
弧度
角度 180° 150° 135° 120° 270°
弧度
角度 360° ?30° 225° 300° ?90°
弧度
（1）填表：









【答案】 第一行，依次为：0，，，，
第二行，依次为：π，，，，
第三行，依次为：2π，，，，

（2）将下列各弧度化为角度：
① ② ③
【答案】 ① 240° ② -75° ③ k·360°-60°，k∈Z

三、弧度制下扇形的有关计算公式
例5、推导扇形面积的弧度制公式。
【答案】 书P10
弧长 面积
角度制
弧度制

四、小结
1、弧度制：
2、弧度制与角度制换算
3、弧度制下扇形计算公式
五、自我检测
1、角度制与弧度制之间的互化：
（1）-216° （2） （3）k·360°+210°，k∈Z
2、若，请写出满足下列条件的角β：
（1）β的终边与α的终边关于x轴对称
（2）β的终边与α的终边关于y轴对称
（3）β的终边与α的终边关于原点轴对称
3、已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，求扇形的圆心角的弧度数。
【答案】
1（1） （2）36° （3）
2（1） （2） （3）
3 α = 4 且 r = 1 ，或 α = 1 且 r = 2
六、作业
P11— 练习A ；P12— 练习B1、2 （其他选做）