期中数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2015的倒数为（ ）
A．﹣2015 B．2015 C．﹣ D．
2．（3分）在数轴上表示﹣3的点与表示3的点之间的距离是（ ）
A．6 B．﹣6 C．0 D．﹣1
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3=a2 B．5a2﹣3a2=2a C．（a3）3=a9 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
4．（3分）已知∠A=37°，则∠A的余角等于（ ）
A．37° B．53° C．63° D．143°
5．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．地球绕着太阳转 B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 D．打开电视，正在播放新闻
6．（3分）一次函数y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0
7．（3分）设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（ ）
A．19 B．25 C．31 D．30
8．（3分）下列各点中，在函数y=﹣图象上的是（ ）
A．（﹣2，4） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（8，1）
9．（3分）下列命题中错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直
C．同旁内角互补
D．矩形的对角线相等
10．（3分）如图，已知直线AB∥CD，且直线EF分别交AB、CD于M、N两点，NH是∠MND的角平分线．若∠AMN=58°，则∠MNH的度数是（ ）
A．29° B．61° C．34° D．58°
11．（3分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．=
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80° B．100° C．60° D．40°
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）计算：33﹣（﹣3）= ．
14．（3分）多项式a2﹣4因式分解的结果是 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是 ．
16．（3分）从﹣1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为 ．
17．（3分）高一新生入学军训射击训练中，小张同学的射击成绩（单位：环）为：5、7、9、10、7，则这组数据的众数是 ．
18．（3分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）化简：（x+1）2﹣x（x+1）．
21．（6分）解方程组：．
22．（8分）今年5月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随机抽取了部分学生进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩m分成A、B、C、D四等（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m＜60），并绘制出了如图的两幅不完整的统计图：
（1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？
（2）将图乙中条形统计图补充完整；
（3）如果该校今年有九年级学生1000人，试估计其中D等学生的人数．
23．（8分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
25．（10分）已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；
（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；
（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．
26．（12分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年湖南省衡阳市逸夫中学九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2015的倒数为（ ）
A．﹣2015 B．2015 C．﹣ D．
【分析】利用倒数的定义求解即可．
【解答】解：2015的倒数为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记倒数的定义．
2．（3分）在数轴上表示﹣3的点与表示3的点之间的距离是（ ）
A．6 B．﹣6 C．0 D．﹣1
【分析】根据数轴上的两点表示的数之间的距离是大数减小数，可得答案．
【解答】解：3﹣（﹣3）=6，
所以在数轴上表示﹣3的点与表示3的点之间的距离为6．
故选：A．
【点评】本题考查了数轴，数轴上的两点表示的数之间的距离是大数减小数．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3=a2 B．5a2﹣3a2=2a C．（a3）3=a9 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【分析】A、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=a3，错误；
B、原式=2a2，错误；
C、原式=a9，正确；
D、原式=a2+b2﹣2ab，错误，
故选C．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）已知∠A=37°，则∠A的余角等于（ ）
A．37° B．53° C．63° D．143°
【分析】根据互为余角的定义作答．
【解答】解：∵∠A=37°，
∴∠A的余角=90°﹣37°=53°．
故选B．
【点评】本题考查了互为余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角．
5．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．地球绕着太阳转 B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 D．打开电视，正在播放新闻
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故A符合题意；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故B不符合题意；
C、明天会下雨是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（3分）一次函数y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故选C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时图象在一、二、四象限．
7．（3分）设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（ ）
A．19 B．25 C．31 D．30
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x1与x2的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，
∴x1+x2=﹣5，x1x2=﹣3，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+6=31．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8．（3分）下列各点中，在函数y=﹣图象上的是（ ）
A．（﹣2，4） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（8，1）
【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣8，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣8的点在函数图象上，
四个选项中只有A选项符合．
故选A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
9．（3分）下列命题中错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直
C．同旁内角互补
D．矩形的对角线相等
【分析】根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据矩形的性质对D进行判断．
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项为真命题；
B、菱形的对角线互相垂直，所以B选项为真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，所以C选项为假命题；
D、矩形的对角线相等，所以D选项为真命题．
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．（3分）如图，已知直线AB∥CD，且直线EF分别交AB、CD于M、N两点，NH是∠MND的角平分线．若∠AMN=58°，则∠MNH的度数是（ ）
A．29° B．61° C．34° D．58°
【分析】先根据平行线的性质求出∠MND的度数，再由角平分线的定义即可得出结论．
【解答】解：∵直线AB∥CD，∠AMN=58°，
∴∠MND=∠AMN=58°．
∵NH是∠MND的角平分线，
∴∠MNH=∠MND=29°．
故选A
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
11．（3分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．=
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD?AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80° B．100° C．60° D．40°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠B的度数，根据圆周角定理得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°﹣130°=50°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）计算：33﹣（﹣3）= 30 ．
【分析】原式利用乘方的意义及减法法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=27+3=30，
故答案为：30
【点评】此题考查了有理数的乘方，以及相反数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）多项式a2﹣4因式分解的结果是 （a+2）（a﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣4=（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
15．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是 （3，2） ．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是（3，2），
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
16．（3分）从﹣1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为 ．
【分析】由从﹣1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵从﹣1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，即：、π；
∴抽取到无理数的概率为：=．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．（3分）高一新生入学军训射击训练中，小张同学的射击成绩（单位：环）为：5、7、9、10、7，则这组数据的众数是 7 ．
【分析】根据众数的定义即可求解．
【解答】解：这组数据的众数是7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了众数的概念．关键是根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
18．（3分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ∠ABD=∠CBD或AD=CD． ．（只需写一个，不添加辅助线）
【分析】由已知AB=BC，及公共边BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．
【解答】解：答案不唯一．
①∠ABD=∠CBD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②AD=CD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SSS）．
故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．
三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1+4×﹣2﹣1+3=+1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）化简：（x+1）2﹣x（x+1）．
【分析】利用完全平方公式和整式的乘法计算，进一步合并得出答案即可．
【解答】解：原式=x2+2x+1﹣x2﹣x
=x+1．
【点评】此题考查整式的混合运算，掌握计算方法与计算公式是解决问题的关键．
21．（6分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x=3，即x=1，
把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．（8分）今年5月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随机抽取了部分学生进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩m分成A、B、C、D四等（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m＜60），并绘制出了如图的两幅不完整的统计图：
（1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？
（2）将图乙中条形统计图补充完整；
（3）如果该校今年有九年级学生1000人，试估计其中D等学生的人数．
【分析】（1）抽查人数可由B等所占的比例为50%，根据总数=某等人数÷比例来计算；
（2）可由总数减去A、B、D的人数求得C等的人数，再画直方图；
（3）用样本估计总体，先计算出D等学生所占的百分比，再乘以1000即可解答．
【解答】解：（1）∵B等人数为100人，所占比例为50%，
∴抽取的学生数=100÷50%=200（名）；
（2）C等的人数=200﹣100﹣40﹣10=50（人）；
如图所示：
（3）D等学生所占的百分比为：=5%，
故该校今年有九年级学生1000人，其中D等学生的人数为：1000×5%=50（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．会画条形统计图．
23．（8分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
【分析】（1）由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又邻边EF=BE，则四边形BCFE是菱形；
（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE?BF进行解答．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，BC=2DE．
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE是平行四边形．
∵BE=2DE，BC=2DE，
∴BE=BC．
∴□BCFE是菱形；
（2）解：连结BF，交CE于点O．
∵四边形BCFE是菱形，∠BCF=120°，
∴∠BCE=∠FCE=60°，BF⊥CE，
∴△BCE是等边三角形．
∴BC=CE=4．
∴．
∴．
【点评】此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
【分析】（1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；
（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．
【解答】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2+BE2=BD2，
即CD2+42=（8﹣CD）2，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，
即32+62=AD2，
解得：AD=．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．
25．（10分）已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；
（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；
（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．
【分析】（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，代入（50，200）、（60，260）两点求得解析式即可；
（2）把y=620代入（1）求得答案即可；
（3）利用水费+污水处理费=600元，列出方程解决问题．
【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，
∵直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260）
∴
解得
∴y关于x的函数关系式是y=6x﹣100；
（2）由图可知，当y=620时，x＞50，
∴6x﹣100=620，
解得x=120．
答：该企业2013年10月份的用水量为120吨．
（3）由题意得6x﹣100+（x﹣80）=600，
化简得x2+40x﹣14000=0
解得：x1=100，x2=﹣140（不合题意，舍去）．
答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨．
【点评】此题考查一次函数的运用，一元二次方程和一元一次方程的运用，注意理解题意，结合图象，根据实际选择合理的方法解答．
26．（12分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与 △ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．
【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a=，
∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：直线x=3；
（2）P点坐标为（3，）．
理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x=3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．
设直线BA′的解析式为y=kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得，
解得，
∴y=x﹣，
∵点P的横坐标为3，
∴y=×3﹣=，
∴P（3，）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，
把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），
此时：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，
∵AD+CF=CO=5，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG?OC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，
∴当t=时，△CAN面积的最大值为，
由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，
∴N（，﹣3）．
【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．
期末测试
(时间：90分钟 满分：120分)
题号
一
二
三
总分
合分人
复分人
得分
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A．y＝3x－1 B．y＝ C．y＝3x2＋x－1 D．y＝2x2＋
2．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3，5，9厘米的三条线段不能围成一个三角形．其中确定事件的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(岳阳中考)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱
4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且点A是上与点B，点C不同的一点，若△BOC是直角三角形，则△BAC必是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．有一个角是30°的三角形 D．有一个角是45°的三角形
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为( )
A．x1＝－3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝－1 C．x＝－3 D．x1＝－3，x2＝1
6．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是( )
A．3个 B．不足3个 C．4个 D．5个或5个以上
7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，2，以B点为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( )
A．2－π B．4－π C．4－π D．2－π
8．如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列结论：①abc＞0；②b＋2a＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为(4，0)；④a＋c＞b；⑤3a＋c＜0.其中正确的结论有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．抛物线y＝－(x＋3)2＋2的顶点坐标为____________．
10．身高相同的小明和小丽站在灯光下的不同位置，已知小明的投影比小丽的投影长，我们可以判定小明离灯较____________．
11．已知扇形的半径为4 cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是____________cm.
12．已知a，b可以取－2，－1，1，2中的任意一个值(a≠b)，则直线y＝ax＋b的图象不经过第四象限的概率是____________．
13．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∠ACB＝40°，点P在边BC上，则∠PAB的度数可能为____________．(写出一个符合条件的度数即可)
14．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是____________．
15．如图是一个上下底密封且为正六棱柱的纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为____________cm2.(结果可保留根号)
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 tan∠CBE＝____________.
三、解答题(共72分)
17．(6分)在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝0.6米，求油的最大深度．
18．(6分)已知抛物线y＝－3x2＋12x－8.
(1)用配方法求出它的对称轴和顶点坐标；
(2)求出它与y轴的交点坐标和与x轴的交点坐标．
19．(6分)如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°，求图中阴影部分的面积．(结果中保留π)
20．(8分)(岳阳中考)已知不等式组
(1)求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
(2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．
21．(8分)桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A，C，B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C且与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米(图中用线段AD，CO，BE等表示桥柱)，CO＝ 1米，FG＝2米．
(1)求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；
(2)求柱子AD的高度．
22．(12分)如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE＝EF＝2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG＝EG＝3，连接FD.
(1)求⊙O的半径；
(2)求证：DF是⊙O的切线．
23．(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是CE上的一点，且FC＝FA，延长AF交⊙O于点G，连接CG.
(1)试判断△ACG的形状(按边分类)，并证明你的结论；
(2)若⊙O的半径为5，OE＝2，求CF·CD的值．
24．(14分)(长沙中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c是常数)的对称轴为y轴，且经过(0，0)，(，)(a>0)两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)．
(1)求a，b，c的值；
(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；
(3)设⊙P与x轴相交于M(x1，0)，N(x2，0)(x1＜x2)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标.
参考答案
1．C 2.B 3.A 4.D 5.D 6.D 7.D 8.B 9.(－3，2)
10．远 11.π 12. 13.30°(满足0°≤∠PAB≤50°即可)
14．2π 15.(75＋360) 16.
17．连接OA，过点O作OD⊥AB，交AB于点C，交⊙O于点D.由题意，得OA＝OD＝0.5米，AC＝AB＝ 0.3米，∴OC2＝OA2－AC2.∴OC＝＝＝0.4(米)．∴CD＝OD－OC＝0.5－0.4＝0.1(米)．∴油的最大深度是0.1米．
18．(1)y＝－3x2＋12x－8＝－3(x2－4x)－8＝－3(x－2)2＋12－8＝－3(x－2)2＋4.∴函数y＝－3x2＋12x－8的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4)．
(2)令x＝0，则y＝－8.∴函数y＝－3x2＋12x－8与y轴的交点坐标为(0，－8)．令y＝0，则－3x2＋12x－8＝0，解得x1＝2＋，x2＝2－.∴函数y＝－3x2＋12x－8与x轴的交点坐标分别为(2＋，0)，(2－，0)．
19．连接OB，OC.∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°.∵⊙O的直径为2，∴OB＝OC＝.∴S扇形OBC＝＝π，S△OBC＝××＝.∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC＝π－.
20．(1)由①，得x＞－2.由②，得x≤2.∴不等式组的解集为－2＜x≤2.∴它的所有整数解为－1，0，1，2.
(2)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，积为正数的有2种情况，∴积为正数的概率为＝.
21．(1)由题意可知：点C坐标为(0，1)，点F坐标为(－6，2)，设抛物线表达式为y＝ax2＋c(a≠0)，则有解得∴抛物线表达式为y＝x2＋1.
(2)∵点A的横坐标为－8，当x＝－8时，y＝，∴柱子AD的高度为米．
22．(1)设⊙O的半径为r.∵BE＝2，DG＝3，∴OE＝2＋r，OG＝3＋r.又∵EF⊥AB，∴∠OEG＝90°.在Rt△OEG中，根据勾股定理，得OE2＋EG2＝OG2.∴(2＋r)2＋32＝(3＋r)2.解得r＝2，即⊙O的半径为2.
(2)证明：∵EF＝2，EG＝3，∴FG＝EF＋EG＝5.∵DG＝3，OD＝2，∴OG＝DG＋OD＝5.∴FG＝OG.又∵DG＝EG，∠G＝∠G，∴△DFG≌△EOG.∴∠FDG＝∠OEG＝90°.∴DF⊥OD.∴DF是⊙O的切线．
23．(1)△ACG是等腰三角形．证明：∵CD⊥AB，∴＝.∴∠G＝∠ACD.∵FC＝FA，∴∠ACD＝∠CAG. ∴∠G＝∠CAG.∴AC＝CG∴△ACG是等腰三角形．
(2)连接AD，BC，CO.由(1)，知＝，∴AC＝AD.∴∠D＝∠ACD.又∵∠G＝∠ACD，∴∠D＝∠G＝∠CAG.又∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA.∴AC∶CD＝CF∶AC，即AC2＝CF·CD.∵CD⊥AB，∴AC2＝AE2＋
CE2＝(5－2)2＋(52－22)＝30.∴CF·CD＝30.
24．(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为y轴，且经过(0，0)，(，)(a>0)两点，∴解得 ∴二次函数的解析式为y＝x2.
(2)证明：设P(x，y)，⊙P的半径r＝.又∵y＝x2，则r＝，化简得r＝＞x2＝y，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交．
(3)设P(k，k2)．∵PA＝，作PH⊥MN于点H，连接PM，PN，PA，则PM＝PN＝.又PH＝ k2，则MH＝NH＝＝2.故MN＝4.∴M(k－2，0)，N(k＋2，0)．又∵A(0，2)，∴AM＝，AN＝.当AM＝AN时，解得k＝0；当AM＝MN时，＝4，解得 k＝2±2，则k2＝4±2；当AN＝MN时，＝4，解得k＝－2±2，则k2＝4±2.综上所述， P的纵坐标为0或4＋2或4－2.
1.1 二次函数
一、选择题
1．下列关于x的函数中，一定是二次函数的是( )
A．y＝2x2 B．y＝2x－2
C．y＝ax2 D．y＝
2．二次函数y＝2(x＋2)2－3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A．－2，8，5 B．2，8，5
C．2，－8，5 D．2，8，－5
3．对于函数y＝ax2＋bx＋c，有以下四种说法，其中正确的是( )
A．当b＝0时，函数y＝ax2＋c是二次函数
B．当c＝0时，函数y＝ax2＋bx是二次函数
C．当a＝0时，函数y＝bx＋c是一次函数
D．以上说法都不正确
4．若y＝(2－m)xm2－2是关于x的二次函数，则m的值为( )
A．±2 B．2 C．－2 D．无法确定
5．某工厂一种产品的年产量是20件，如果以后每一年的年产量都比上一年增加，且增加的百分数为x，那么两年后该产品的年产量y(件)关于增长率x的函数表达式是( )
A．y＝20(1－x)2 B．y＝20＋2x
C．y＝20(1＋x)2 D．y＝20＋20x2＋20x
6．用一根长为800 cm的木条做一个长方形的窗框，若其中一边长为x cm，设它的面积为y cm2，则y关于x的函数表达式是( )
A．y＝800x(0
B．y＝400x(0C．y＝x(800－x)(0D．y＝－x2＋400x(0二、填空题
7．把二次函数y＝(2－3x)(6－x)化成一般形式为____________，其中a＝________，b＝________，c＝________．
8．当m＝________时，函数y＝(m＋1)xm2＋1是关于x的二次函数．
9．如图K－1－1，在一幅长50 cm，宽30 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画的总面积为y cm2，若金色纸边的宽为x cm，则y与x之间的函数表达式是________________．(不要求写出x的取值范围)
图K－1－1
10．2017·常德如图K－1－2，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x满足的函数表达式为________________．
图K－1－2
11．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元时，房间会全部住满．每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天需对每个房间支出20元的各种费用．设每个房间每天房价定为x元，宾馆每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为________________(不要求写出x的取值范围).
三、解答题
12．已知正方体的棱长为x cm，它的表面积为S cm2，体积为V cm3.
(1)分别写出S与x，V与x之间的函数表达式；
(2)这两个函数中，哪个是二次函数？
13．直角三角形的一条直角边长为x cm，两条直角边长的和为7 cm，面积为y cm2.请写出y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围，并说明这个函数是不是二次函数．
14.已知关于x的函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.
(1)若这个函数是一次函数，求m的值；
(2)若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
15．如图K－1－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿AC边向点C以2 mm/s的速度移动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以4 mm/s的速度移动．如果P，Q两点同时出发，请你写出△PCQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数表达式及t的取值范围．
图K－1－3
16．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销时发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价格x(元)之间的函数表达式为m＝162－3x.
(1)试写出商场销售这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价格x(元)之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)m＝162－3x与(1)中得到的函数表达式都是二次函数吗？
参考答案
1．[解析] A A．是二次函数，故A符合题意；B.是一次函数，故B不符合题意；C.a＝0时，不是二次函数，故C不符合题意；D.函数表达式不是整式，故D不符合题意．
2．[解析] B 将y＝2(x＋2)2－3化为一般形式是y＝2x2＋8x＋5，故选B.
3．[解析] D A．当b＝0，a≠0时，函数y＝ax2＋c是二次函数，故此选项错误；B.当c＝0，a≠0时，函数y＝ax2＋bx是二次函数，故此选项错误；C.当a＝0，b≠0时，函数y＝bx＋c是一次函数，故此选项错误；D选项正确．故选D.
4．[解析] C 由题意，得m2－2＝2且2－m≠0，∴m＝－2.
5．C
6．[解析] D 长方形窗框的一边长为x cm，周长是800 cm，则与其相邻的另一边长为＝(400－x)cm，所以y＝x(400－x)＝－x2＋400x，根据实际问题，x需满足07．y＝3x2－20x＋12 3 －20 12
8．[答案] 1
[解析] 根据题意，得m2＋1＝2且m＋1≠0，解得m＝±1且m≠－1，所以m＝1.
9．y＝4x2＋160x＋1500
10．[答案] y＝2x2－4x＋4(0＜x＜2)
[解析] 如图所示，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2.∴∠1＋∠2＝90°.∵四边形EFGH为正方形，∴∠HEF＝90°，EH＝EF，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3.在△AHE与△BEF中，∵∠A＝∠B，∠2＝∠3，EH＝FE，∴△AHE≌△BEF(AAS)，∴AH＝BE＝2－x.在Rt△AHE中，由勾股定理，得EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(2－x)2＝2x2－4x＋4，即y＝2x2－4x＋4(0＜x＜2)．
11．[答案] y＝－＋58x－1120
[解析] 每个房间每天房价定为x元，宾馆每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为y＝(x－20)＝－＋58x－1120.
12．解：(1)S＝6x2(x>0)，V＝x3(x>0)．
(2)S＝6x2(x>0)是二次函数．
13．解：由题意，得y＝x(7－x)＝－x2＋x.
∵两条直角边长的和为7 cm，∴自变量x的取值范围是0＜x＜7.
这个函数是二次函数．
14．解：(1)由题意，得解得m＝0.
(2)由m2－m≠0，得m≠0且m≠1.
15．解：∵出发时间为t s，点P的速度为2 mm/s，点Q的速度为4 mm/s，
∴PC＝(12－2t)mm，CQ＝4t mm，
∴S＝×(12－2t)×4t＝－4t2＋24t.
∵t＞0，12－2t＞0，∴0＜t＜6.
16．解：(1)由题意，可知y＝m(x－30)，
即y＝(162－3x)(x－30)．
整理，得y＝－3x2＋252x－4860.
(2)m＝162－3x是一次函数，(1)中得到的函数y＝－3x2＋252x－4860是二次函数．
1.2二次函数的图像和性质
一、填空题
1.二次函数y=x（x﹣6）的图象的对称轴是________．
2.函数y= （x﹣1）2+3，当x________时，函数值y随x的增大而增大．
3.抛物线y=x2+1的顶点坐标是________?
4.对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣ ，﹣ }=________；若min{（x﹣1）2 ， x2}=1，则x=________．
5.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
17
7
1
﹣1
1
…
则当y＜7时，x的取值范围是________．
6.如果抛物线y=（m+1）x2的最低点是原点，那么实数m的取值范围是________?
7.如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴有两个交点，与y轴的交点坐标是（0，3），把它向下平移2个单位长度后，得到新的抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，以下四个结论： ①b2﹣4ac＜0，②abc＜0，③4a+2b+c=1，④a﹣b+c＞0中，其中正确的是________（填序号）．
8.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为________．
二、选择题
9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法： ①2a+b=0； ②当﹣1≤x≤3时，y＜0； ③若（x1 ， y1）、（x2 ， y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2 ④9a+3b+c=0 其中正确的是（?? ）
A.?①②④??????????????????????????????????B.?①②③??????????????????????????????????C.?①④??????????????????????????????????D.?③④
10.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x= ，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2 ． 上述说法正确的是（?? ）
A.?①②④??????????????????????????????????B.?③④??????????????????????????????????C.?①③④??????????????????????????????????D.?①②
11.为了备战世界杯，中国足球队在某次集训中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图），则下列结论：①a＜-；②-＜a＜0； ③a-b+c＞0；④0＜b＜-12a．其中正确的是（ ）
A.?①③?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
12.已知：二次函数y=x2-4x-a，下列说法中错误的是（ ? ? ）
A.?当x＜1时，y随x的增大而减小 B.?若图象与x轴有交点，则a≤4 C.?当a=3时，不等式x2-4x+a＜0的解集是1＜x＜3 D.?若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=3
13.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y= 在同一坐标系内的图象大致为（?? ）
A.??????????B.??????????C.??????????D.?
14.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列各式一定成立的是（ ? ? ）
A.?-=0??????????????????????????B.?a+b+c＞0??????????????????????????C.?a-b+c＞0??????????????????????????D.?b2-4ac＜0
15.
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图示，有下列结论： ①a+b+c＜0；②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a；⑤b2-4ac＞0． 其中正确的结论有( ）
A.?4个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?1个
16.将抛物线y=x2﹣2x+2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（?? ）
A.?（﹣2，3）????????????????????????B.?（﹣1，4）????????????????????????C.?（3，4）????????????????????????D.?（4，3）
17.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a-b+c的值为 ( ? ? ? ）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?－1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?2
18.关于二次函数y=﹣（x﹣3）2﹣2的图象与性质，下列结论错误的是（ ）
A.?抛物线开口方向向下???????????????????????????????????????????B.?当x=3时，函数有最大值﹣2 C.?当x＞3时，y随x的增大而减小????????????????????????????D.?抛物线可由y=x2经过平移得到
三、解答题
19.已知二次函数y=x2﹣2mx+4m﹣8（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围．（2）以抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．（3）若抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的最小值．
20.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数． （1）求k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．
21.已知点（3，0）在抛物线y=﹣3x2+（k+3）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．
22.一家图文广告公司制作的宣传画板颇受商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为正方形，边长在10～30dm之间．每张画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：dm2）成正比例，每张画板的出售价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板的大小无关，是固定不变的．浮动价与画板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
画板的边长（dm）
10
20
出售价（元/张）
160
220
（1）求一张画板的出售价与边长之间满足的函数关系式； （2）已知出售一张边长为30dm的画板，获得的利润为130元（利润＝出售价－成本价）， ①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式； ②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？
23.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．
参考答案
一、填空题
1.x=3 2.＞1 3.（0，1） 4.；2或﹣1
5.﹣1＜x＜3 6.m＞﹣1 7.②③④ 8.y=（x﹣2）2﹣2
二、选择题
9.C 10.A 11.B 12.B 13.D 14.C 15. A 16.D 17.A 18.D
三、解答题
19.解：（1）二次函数y=x2-2mx+4m-8的对称轴是：x=m． ∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小， 而x≤2应在对称轴的左边， ∴m≥2． （2）如图：顶点A的坐标为（m，-m2+4m-8） △AMN是抛物线的内接正三角形， MN交对称轴于点B，tan∠AMB=tan60°==， 则AB=BM=BN， 设BM=BN=a，则AB=a， ∴点M的坐标为（m+a，a-m2+4m-8）， ∵点M在抛物线上， ∴a-m2+4m-8=（m+a）2-2m（m+a）+4m-8， 整理得：a2-a=0 得：a=?（a=0舍去） 所以△AMN是边长为2的正三角形， S△AMN=×2×3=3，与m无关； （3）当y=0时，x2-2mx+4m-8=0， 解得： ， ∵抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数， ∴（m-2）2+4应是完全平方数， ∴m的最小值为：m=2．
20.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根， ∴△=4﹣4（k﹣1）≥0． ∴k≤2． ∵k为正整数， ∴k=1，2； （2）设方程x2+2x+k﹣1=0的两根为x1 ， x2 ， 则 x1+x2=﹣2，x1?x2=k﹣1， 当k=1时，方程x2+2x+k﹣1=0有一个根为零； 当k=2时，方程x2+2x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1． k=2符合题意． 二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2 ， 对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，0）．
21.解：把（3，0）代入y=﹣3x2+（k+3）x﹣k得，0=﹣27+（k+3）×3﹣k， 解得，k=9， ∴抛物线为y=﹣3x2+12x﹣9， ∴对称轴为直线x=﹣=﹣=2， 即直线x=2．
22.（1）设正方形画板的边长为xdm，出售价为每张y元，且y＝kx＋b（k≠0） （1分） 由表格中的数据可得，， 解得 从而一张画板的出售价y与边长x之间满足函数关系式y＝6x＋100 （2）设每张画板的成本价为ax2 ， 利润W＝6x＋100－ax2 当x＝30时，W＝130，180＋100－900a＝130，得a＝ 一张画板的利润W与边长x之间满足函数关系式W＝－x2＋6x＋100 由W＝－16(x－18)2＋154，知当x＝18时，W有最大值，W最大＝154 因此当正方形画板的边长为18dm时，可获最大利润154元.
23.解：设这个二次函数的关系式为y=a（x-1）2-2， ∵二次函数的图象过坐标原点， ∴0=a（0-1）2-2 解得：a=2 故这个二次函数的关系式是y=2（x-1）2-2，即y=2x2-4x．
1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
一、选择题
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(1，0)，(2，0)，(3，4)三点，则该抛物线的函数表达式为( )
A．y＝x2－3x＋2 B．y＝2x2－6x＋4
C．y＝2x2＋6x－4 D．y＝x2－3x－2
2．如果抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点坐标是(0，－4)，那么它的函数表达式是( )
A．y＝－x2－2x－4
B．y＝－x2＋2x－4
C．y＝－(x＋3)2＋1
D．y＝－x2＋6x－12
3．如图K－7－1，该抛物线的函数表达式是( )
图K－7－1
A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2
4．已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴也经过点A，则该抛物线的函数表达式为( )
A．y＝x2＋2x B．y＝－x2＋2x
C．y＝x2－2x D．y＝－x2－2x
5．已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点(2，4)，且其顶点在直线y＝2x＋1上，则该二次函数的表达式为( )
A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2－2x＋3
C．y＝x2－2x＋5 D．y＝x2－2x＋4
二、填空题
6．2017·上海已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的表达式可以是________________．(只需写一个)
7．已知点P(－1，5)在抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是4，则该抛物线的函数表达式为________________．
三、解答题
8．根据下面的条件，求二次函数的表达式．
(1)图象经过点(1，－4)，(－1，0)，(－2，5)；
(2)图象的顶点是(－2，3)，且过点(－1，5).
9．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？
10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
—1
0
2
3
4
…
y
…
5
2
2
5
10
…
(1)根据上表填空：
①这条抛物线的对称轴是________，抛物线一定经过点(－2，________)；
②抛物线在对称轴右侧的部分是________的(填“上升”或“下降”)；
(2)将抛物线y＝ax2＋bx＋c向上平移，使它经过点(0，5)，求平移后的抛物线的函数表达式．
11．2017·鄞州区模拟已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(－1，0)和点C(2，3)．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)如果将此抛物线沿y轴平移一次后过点(－2，1)，试确定这次平移的方向和距离．
12．2017·黑龙江模拟如图K－7－2，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，且OA＝2，AB＝1.将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，此时抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，D两点．求这条抛物线的函数表达式．
图K－7－2
参考答案
1．[解析] B 把(1，0)，(2，0)，(3，4)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得
所以y＝2x2－6x＋4.故选B.
2．[解析] B 设y＝a(x－3)2－1，将(0，－4)代入，得－4＝9a－1，∴a＝－，
∴y＝－(x－3)2－1，
即y＝－x2＋2x－4.
故选B.
3．[解析] D 根据题意，把抛物线经过的三点(0，2)，(－1，0)，(2，0)代入函数表达式中，列出方程组，求出各系数即可．
4．[解析] A ∵抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴也经过点A，∴抛物线的顶点坐标是(－3，－3)，∴－＝－3，＝－3，解得a＝，b＝2，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x.故选A.
5．[解析] D 根据题意，二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点(2，4)，∴4＋2m＋n＝4，得n＝－2m.又∵抛物线的顶点坐标是(－，)，代入y＝2x＋1，整理得m2－4m－4n＋4＝0，把n＝－2m代入，得m2＋4m＋4＝0，解得m1＝m2＝－2，所以n＝4，二次函数的表达式为y＝x2－2x＋4，故选D.
6．[答案] 答案不唯一，如y＝x2－1
[解析] ∵函数图象的顶点坐标为(0，－1)，∴该函数的表达式为y＝ax2－1.又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0, ∴这个二次函数的表达式可以是y＝x2－1.
7．[答案] y＝－x2－2x或y＝－x2－2x＋8
[解析] 根据题意，得顶点坐标为(－1，1)或(－1，9)，∴－＝－1，＝1或9，解得b＝－2，c＝0或c＝8，则该抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x或y＝－x2－2x＋8，故答案为y＝－x2－2x或y＝－x2－2x＋8.
8．解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.依题意，得解得
∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.
(2)设二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2＋3.
∵二次函数的图象过点(－1，5)，
∴5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2，
∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.
9．解：(1)设此二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，将(0，3)，(－3，0)，(2，－5)代入y＝ax2＋bx＋c，得解得a＝－1，b＝－2，c＝3，
∴此二次函数的表达式是y＝－x2－2x＋3.
(2)当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上．
10．解：(1)①∵当x＝0和x＝2时，y值均为2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝－2和x＝4时，y值相同，
∴抛物线一定经过点(－2，10)．
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且x＝2，3，4时的y值逐渐增大，∴抛物线在对称轴右侧的部分是上升的．故答案为上升．
(2)将(－1，5)，(0，2)，(2，2)代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，得 解得
∴原二次函数的表达式为y＝x2－2x＋2.
∵点(0，5)在点(0，2)上方3个单位处，
∴平移后的抛物线的函数表达式为y＝x2－2x＋5.
11．解：(1)由题意，可得解得
所以此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)设抛物线沿y轴平移m个单位，
则此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3＋m.
由题意，可知1＝－4－4＋3＋m，
解得m＝6＞0，
所以抛物线向上平移了6个单位．
12．解：∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，
∴CD＝AB＝1，OC＝OA＝2，
则B(2，1)，D(－1，2)．将其代入抛物线的函数表达式，得解得
∴这条抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋.
1．4 二次函数与一元二次方程的联系
一、选择题
1．若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )
A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝1
2．2017·兰州下表是几组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
－1
－0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
3．如果抛物线y＝x2＋(k－1)x＋4与x轴有两个重合的交点，那么正数k的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如果关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个不等实根分别为x1＝1，x2＝2，那么抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线( )
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝ D．x＝－
5．2017·徐州若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1 D．b＜1
6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形．如果水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的函数表达式为h＝30t－5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
二、填空题
7．2018·黔南州已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴另一个交点的坐标是________．
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
8.抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图K－8－1所示，则关于x的一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的解为________．
图K－8－1
9．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则＋的值为________．
10．2017·德阳若抛物线y＝－ax2＋x－与x轴交于An，Bn两点(a为常数且a≠0，n为自然数且n≥1)，用Sn表示An，Bn两点间的距离，则S1＋S2＋…＋S2017＝________．
三、解答题
11．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.
(1)请在图K－8－2中建立平面直角坐标系并画出该函数的图象；
(2)根据图象求方程－x2＋2x＋3＝0的解；
(3)观察图象确定x取何值时，y＜0；
(4)若方程－x2＋2x＋3＝k有两个不相等的实数根，请直接写出k的取值范围.
图K－8－2
12．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围；
(2)如图K－8－3，二次函数的图象经过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.
图K－8－3
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m－1(m＞0)与x轴的交点为A，B.
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点．
①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．
图K－8－4
14．小明在一次羽毛球比赛中，打出的羽毛球的飞行路线为图K－8－5所示的抛物线的一部分，小明在O点正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝－(x－4)2＋h.
(1)直接写出h的值________；
(2)求羽毛球的落地点与点O之间的水平距离；
(3)若距离点O的水平距离为5 m的点B处有一球网BC，且高度为1.55 m，请你通过计算判断此球能否过网？
图K－8－5
参考答案
1．[解析] C ∵二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，∴方程ax2－2ax＋c＝0一定有一个解为x＝－1.∵函数图象的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象与x轴的另一个交点为(3，0)，∴方程ax2－2ax＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3.
2．[解析] C 观察表格，得方程x2＋3x－5＝0的一个近似根为1.2，故选C.
3．[解析] C ∵抛物线y＝x2＋(k－1)x＋4与x轴有两个重合的交点，∴Δ＝(k－1)2－16＝0，解得k＝5或k＝－3.∵k为正数，∴k＝5.
4．[解析] C ∵方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝2，∴抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，∴抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝＝，故选C.
5．[解析] A ∵函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，∴ Δ＝(－2)2－4b＞0 且b≠0，解得b＜1且b≠0.
6．[解析] A 水流回落到地面时的高度h为0，把h＝0代入h＝30t－5t2，得5t2－30t＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6 s，故选A.
7．(3，0)
8．[答案] x1＝1，x2＝－3
[解析] 观察图象，可知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的一个交点为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，∴抛物线与x轴另一交点的坐标为(－3，0)，∴一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的解为x1＝1，x2＝－3，故本题答案为x1＝1，x2＝－3.
9．[答案] －4
[解析] 令y＝0，则2x2－4x－1＝0，∴一元二次方程的解是点A和点B的横坐标，即x1，x2，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝－，
∴＋＝＝－4.
10．[答案]
[解析] ∵y＝－ax2＋x－＝－a(x－)(x－)，∴点An的坐标为(，0)，点Bn的坐标为(，0)(不失一般性，设点An在点Bn的左侧)，∴Sn＝－，∴S1＋S2＋…＋S2017＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
11．解：(1)如图所示：
(2)方程－x2＋2x＋3＝0的解为x1＝－1，x2＝3.
(3)当x＜－1或x＞3时，y＜0.
(4)若方程－x2＋2x＋3＝k有两个不相等的实数根，则k＜4.
12．解：(1)根据题意，知22－4×(－1)×m＞0，解得m＞－1.
(2)将点A(3，0)代入y＝－x2＋2x＋m，得－9＋6＋m＝0，解得m＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝0时，y＝3，即点B(0，3)．令直线AB的函数表达式为y＝kx＋b，将点A(3，0)，B(0，3)代入，得解得k＝－1，b＝3，
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3.
由可得x＝1，y＝2，
∴点P的坐标为(1，2)．
13．解：(1)∵y＝mx2－2mx＋m－1＝m(x－1)2－1，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－1)．
(2)①∵m＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x.
令y＝0，得x＝0或2，不妨设A(0，0)，B(2，0)，
∴线段AB上的整点有3个．
②如图所示，
当抛物线经过点(－1，0)时，m＝，
当抛物线经过点(－2，0)时，m＝，
∴m的取值范围为＜m≤.
14．解：(1)根据题意，知点P(0，1)，将P(0，1)代入y＝－(x－4)2＋h，得－×16＋h＝1，解得h＝，故答案为.
(2)由(1)知抛物线的函数表达式为y＝－(x－4)2＋，当y＝0时，－(x－4)2＋＝0，解得x＝4＋2 或x＝4－2 (舍)．
答：羽毛球落地点与点O之间的水平距离为(4＋2 )m.
(3)在y＝－(x－4)2＋中，当x＝5时，y＝－＋＝＝1.625＞1.55，所以此球可以过网．
1.5二次函数的应用
一、选择题
1.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?? 1.5??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?3
2.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则下列几个时刻高度最高的是（ ）
A.?第8秒?????????????????????????????????B.?第10秒????????????????????????????????C.?第12秒???????????????????????????????D.?第14秒
3.如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为 ，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（?? ）
A.?16?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?13
4.湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（?? ）
A.?5500（1+x）2=4000????????????????????????????????????????B.?5500（1﹣x）2=4000 C.?4000（1﹣x）2=5500???????????????????????????????????????D.?4000（1+x）2=5500
5.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）
A.?y＝－(x－)2＋3???????B.?y＝－3(x＋)2＋3???????C.?y＝－12(x－)2＋3???????D.?y＝－12(x＋)2＋3
6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
7.如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地，墙长为30m，围成鸡场的最大面积为（ ）平方米．
A.?800?????????????????????????????????????B.?750?????????????????????????????????????C.?600?????????????????????????????????????D.?2400
8.二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
9.如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ） ?
A.?AE=12cm??????B.?sin∠EBC=??????C.?当0＜t≤8时，y=t2??????D.?当t=9s时，△PBQ是等腰三角形
10.某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y= x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（ ）
A.?12.75米?????????????????????????????B.?13.75米?????????????????????????????C.?14.75米?????????????????????????????D.?17.75米
二、填空题
11.如图，已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是________?．
12.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为?________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
13.如图，用火柴棒按如下方式摆放：设第n个图中需要y根火柴棒，请写出y与n的函数关系式： ________?．
14.已知等腰直角三角形的斜边长为x，面积为y，则y与x的函数关系式为________?．
15.用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： ________?．
16.某种产品原来的成本为185元，经过两次降价后为y元，如果每次的降价率都为x，则y与x的函数关系式为________．
17.已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣ t2+20t+1．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为________．
18.如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y= x2﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是________．
三、解答题
19.平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，﹣）；Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（， 0），且BC=5，AC=3（如图（1））． （1）求出该抛物线的解析式； （2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动．D（0，4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m，△DAB的面积为s． ①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）； ②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
20.己知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根． （1）请直接写出点A、点B的坐标． （2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标． （3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
21.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为多少？
22.“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件． （1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？ （2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？
23.某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x（元/人）（x＞20），日接待游客的人数为y（人）． （1）求y与x（x＞20）的函数关系式； （2）已知景点每日的接待成本为z（元），z与y满足函数关系式：z=100+10y．求z与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？（利润=门票收入﹣接待成本）
参考答案
一、选择题
1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.A 8.D 9.D 10.B
二、填空题
11.12.22 13.14.y=
15.y=﹣x2+25x 16.y=185（1﹣x）2 17.4s 18.3﹣ ＜m＜2或4＜m＜3+
三、解答题
19.解：（1）由题意，设所求抛物线为 y=a（x﹣3）2﹣．① 将点（0，0）代入①，得a=． ∴y=x2﹣3x． （2）①当点B位于原点左侧时，如图（1）： S=S△OBD+S梯形OCAD﹣S△ABC ， =?4?（﹣m）+（4+3）（5+m）﹣， =m+10． ∴S=m+10．（﹣4.5≤m＜0）， 当点B位于原点右侧（含原点O）时，如图（2）： S=S梯形OCAD﹣S△OBD﹣S△ABC ， =（4+3）（5+m）﹣?4?m﹣， =m+10． ∴S=m+10．（0≤m＜﹣2）， ②m1=﹣1，m2=﹣4，m3=﹣4.4．
20.解：（1）A（﹣2，0），B（6，0）； （2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得 ， 解得， ∴y=﹣x2+2x+6， ∵y=﹣（x﹣2）2+8， ∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）； （3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP， ∵C（0，6）， ∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则 ， 解得， ∴y=x+2，当x=2时，y=4， 即P（2，4）； （4）依题意，得AB=8，QB=6﹣m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24， ∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA， ∴=（）2=（）2 ， 即S△BDQ=（m﹣6）2 ， 又S△ACQ=AQ×OC=3m+6， ∴S=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ=24﹣（m﹣6）2﹣（3m+6）=﹣m2+m+=﹣（m﹣2）2+6， ∴当m=2时，S最大．
21.解：∵AB边长为x米， 而菜园ABCD是矩形菜园， ∴BC=（30﹣x）， 菜园的面积=AB×BC=（30﹣x）?x， 则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=﹣x2+15x．
22.解：（1）设商品的定价为x元，由题意，得 （x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]=1600， 解得：x=40或x=60； 答：售价应定为40元或60元． （2）设利润为y元，得： y=（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40）， 即：y=﹣2x2+200x﹣3200； ∵a=﹣2＜0， ∴当x=﹣=﹣=50时，y取得最大值； 又x≤40，则在x=40时可取得最大值， 即y最大=1600． 答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大为1600元．
23.解：（1）由题意得y=500﹣50×， 即y=﹣10x+700； （2）由z=100+10y，y=﹣10x+700，得 z=﹣100x+7100； （3）w=x（﹣10x+700）﹣（﹣100x+7100） 即w=﹣10x2+800x﹣7100， 当x=﹣=﹣=40时，景点每日获取的利润最大， w最大===8900（元）， 答：当门票价格为40元时，景点每日获取的利润最大，最大利润是8900元．
第1章达标检测卷
(120分，90分钟)
题 号
一
二
三
总 分
得 分
一、选择题(每题3分，共30分)
1．抛物线y＝2(x＋3)2－4的顶点坐标是( )
A．(3，－4) B．(－3，－4) C．(3，4) D．(－3，4)
2．将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是( )
A．(0，2) B．(0，3) C．(0，4) D．(0，7)
3．已知函数y＝x2－x－4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞－2 D．－2＜x＜4
(第4题)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则( )
A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c
C．bc＋1＝a D．以上都不是
5．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A. B. C. D.
6.二次函数y＝x2＋x＋c的图象与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1A．当n<0时，m<0 B．当n>0时，m>x2
C．当n<0时，x10时，m7．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线y＝ax2＋bx＋c对应的函数表达式为( )
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
8．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象大致是( )
(第9题)
9．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
10．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示.
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－12
－2
4
6
4
…
给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为(0，6)；②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)；④当x<0时，函数值y随x的增大而减小．
从表中可知，上述说法正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每题3分，共30分)
11．二次函数y＝2x2－x－3的图象的开口向________，对称轴是直线______________，顶点坐标是______________．
12.如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线对应的函数表达式是________________．
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取得最大值，为4，当x＝0时，y＝－14，则此函数关系式是________________．
14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是______________．
15．已知二次函数y＝x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是____________．
16．开口向下的抛物线y＝a(x＋1)(x－9)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠ACB＝90°，则a的值为________．
17．如图，某涵洞的截面边缘是抛物线，在图中建立适当的直角坐标系，抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，当涵洞水面宽AB为12 m时，水面到涵洞顶点O的距离为________．
(第17题) (第18题)
(第19题) (第20题)
18.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．下列结论：①2a＋b＝0；②a＋c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；④abc＞0，其中正确的结论是________(填写序号)．
19．如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．
20．已知二次函数y＝(x－2a)2＋(a－1)，(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线对应的函数表达式是y＝________.
三、解答题(21～22题每题8分，23～24题每题10分，其余每题12分，共60分)
21.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一次函数y＝－x＋3的图象与x轴、y轴的交点，并且也经过(1，1)点，求这个二次函数的关系式，并求x为何值时，函数有最大(最小)值？这个值是多少？
23．如图，已知抛物线y＝x2＋bx与直线y＝2x交于点O(0，0)，A(a，12)．点B是抛物线上O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C、E.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)若点C为OA的中点，求BC的长；
(3)以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为(m，n)，求出m、n之间的关系式．
(第23题)
24．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴交于A、B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F.已知点A的坐标为(－1，0)．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)求△EMF与△BNF的面积之比．
(第24题)
25．某公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一段抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．根据图象提供的信息解答下面的问题：
(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元？(利润＝售价－成本)
(2)求出一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元？
(第25题)
26．已知：抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
(1)求抛物线对应的函数表达式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；
(2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C.
①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为(a，b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
一、1.B 2.B
3．A 点拨：将函数关系式化为 y＝(x－1)2－4，当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．
4．A
5．B 点拨：将点(2，0)的坐标代入y＝ax2－6x得0＝a×22－6×2，解得a＝3，则y＝3x2－6x＝3(x－1)2－3，∴抛物线顶点坐标为(1，－3)，由勾股定理得所求距离为＝.
6．C
7．D 点拨：根据题意得a＝－2，所以抛物线y＝ax2＋bx＋c对应的函数表达式为y＝－2(x＋1)(x－3)，即y＝－2x2＋4x＋6.
8．C 9.A 10.A
二、11.上；x＝；
12．y＝x2＋2x＋3 点拨：由题可得：y＝(x＋1)2－2，向上平移，得：y＝(x＋1)2＋c，经过点A(0，3)，则：3＝1＋c，c＝2，所以新抛物线对应的函数表达式是：y＝(x＋1)2＋2＝x2＋2x＋3.
13．y＝－2x2＋12x－14 点拨：本题运用方程思想，根据题意得y＝a(x－3)2＋4，将x＝0，y＝－14代入得－14＝a×9＋4，解得a＝－2. ∴y＝－2(x－3)2＋4，即y＝－2x2＋12x－14.
14．x1＝5，x2＝－2 点拨：抛物线与x轴交点的横坐标即是对应方程的两根．
15．m≥－2 点拨：由y＝x2＋2mx＋2＝(x＋m)2＋2－m2，得抛物线的对称轴为直线x＝－m，∵x＞2时，y随x的增大而增大，∴m≥－2.
16．－ 点拨：本题运用数形结合思想和方程思想，由题易知，△AOC∽△COB，∴OC2＝OA·OB＝1×9，OC2＝9，∴OC＝3，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，3)或(0，－3)，将其分别代入y＝a(x＋1)(x－9)＝ax2－8ax－9a，得－9a＝3或－9a＝－3，解得a＝－或a＝.又∵抛物线开口向下，∴a＝－.
17．9 m 18.①④ 19.
20.x－1 点拨：可以取a＝－1，a＝0时，分别求出抛物线的两个顶点，然后将两个顶点的坐标分别代入y＝kx＋b，即可求出表达式．
三、21.(1)证法一：因为(－2m)2－4(m2＋3)＝－12＜0，所以关于x的方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根．
所以不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象与x轴没有公共点．
证法二：因为a＝1＞0，所以该函数的图象开口向上．
又因为y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3≥3，
所以该函数的图象在x轴的上方．
所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
(2)解：y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3.
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点．
所以把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
22．解：对于y＝－x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝2，把(0，3)，(2，0)，(1，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得
所以
所以二次函数的关系式为y＝x2－x＋3.
因为y＝x2－x＋3＝－ ，所以当x＝时，函数有最小值，最小值为－.
点拨：本题用待定系数法求a，b，c，再通过配方求函数的最值及对应的x值．
23．解：(1)∵点A(a，12)在直线y＝2x上，
∴12＝2a，
解得：a＝6，
又∵点A是抛物线y＝x2＋bx上的一点，
将(6，12)代入y＝x2＋bx，可得b＝－1，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x.
(2)∵点C是OA的中点，
∴点C的坐标为(3，6)，
把y＝6代入y＝x2－x，
解得：x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，
∴点B的坐标为(1＋，6)．
故BC＝1＋－3＝－2.
(3)∵直线OA对应的函数表达式为y＝2x，
点D的坐标为(m，n)，
∴点E的坐标为，点C的坐标为(m，2m)，
∴点B的坐标为，
把代入y＝x2－x，可得m＝n2－n，
∴m、n之间的关系式为m＝n2－n.
24．解：(1)由题意，得－(－1)2＋2×(－1)＋c＝0，∴c＝3.∴y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点M(1，4)．
(2)∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点B(3，0)．
∴EM＝1，BN＝2.易知EM∥BN，∴△EMF∽△BNF.
∴＝＝＝.
25．解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)．
(2)由图象知，抛物线的顶点为(6，4)，
∴可设关系式为Q＝a(t－6)2＋4.又∵图象过点(3，1)，
∴1＝a(3－6)2＋4，解得a＝－.∴Q＝－(t－6)2＋4，即Q＝－t2＋4t－8(t＝3，4，5，6，7)．
(3)由图象可知，M(元)是关于t(月)的一次函数，
∴可设M＝kt＋b. ∵点(3，6)，(6，8)在其图象上，
∴解得
∴M＝t＋4.∴W＝M－Q＝t＋4－＝t2－t＋12，
即W＝t2－t＋12(t＝3，4，5，6，7)．
∵W＝t2－t＋12＝(t－5)2＋.
∴当t＝5时，W最小值＝.
∴该公司在一个月内最少获利×30 000＝110 000(元)．
26．解：(1)∵抛物线经过坐标原点(0，0)，
∴m2－1＝0，
∴m＝±1，
∴y＝x2＋x或y＝x2－3x.
∵当x<0时，y随x的增大而减小，
∴y＝x2－3x.
∴y<0时，0(2)①当BC＝1时，矩形ABCD的周长为6.
②∵点A的坐标为(a，b)，
∴当点A在对称轴左侧时，矩形ABCD的一边BC＝3－2a，另一边AB＝3a－a2，
∴周长L＝－2a2＋2a＋6，其中0当点A在对称轴的右侧时，矩形ABCD的一边BC＝2a－3，另一边AB＝3a－a2，
∴周长L＝－2a2＋10a－6，其中周长存在最大值．
当0∴当a＝时，L最大值＝，A点坐标为.
当∴当a＝时，L最大值＝，A点坐标为.
2．1 圆的对称性
一、选择题
1．下列语句中，不正确的有( )
①过圆上一点可以作无数条圆中最长的弦；
②长度相等的弧是等弧；
③圆上的点到圆心的距离都相等；
④同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图K－10－1所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在同一条直线上，图中弦的条数为( )
图K－10－1
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，则点A与⊙O的位置关系是 ( )
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．不能确定
4．半径为5的圆的弦长不可能是( )
A．3 B．5 C．10 D．12
5．已知MN是⊙O的一条非直径的弦，则下列说法中错误的是( )
A．M，N两点到圆心O的距离相等
B．MN是圆的一条对称轴
C．在圆中可画无数条与MN相等的弦
D．圆上有两条弧，一条是优弧，一条是劣弧
6．如图K－10－2所示，方格纸上一圆经过(2，6)，(－2，2)，(2，－2)，(6，2)四点，则该圆圆心的坐标为( )
图K－10－2
A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)
7.形如半圆型的量角器直径为4 cm，放在如图K－10－3所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上)，连接60°和120°刻度线的一个端点P，Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为( )
图K－10－3
A．(－1，) B．(0，) C．(，0) D．(1，)
二、填空题
8．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于________．
9．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为 d cm.
(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O______；
(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O______；
(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O______．
10．如图K－10－4所示，三圆同心于点O，AB＝4 cm，CD⊥AB于点O，则图中阴影部分的面积为________cm2.
图K－10－4
11．如图K－10－5所示，在矩形ABCD的顶点A处拴了一只小羊，在B，C，D处各有一筐青草，要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到．如果AB＝5，BC＝12，那么拴羊的绳长l的取值范围是________．
图K－10－5
三、解答题
12．如图K－10－6所示，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO，并延长CO，BO分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.
图K－10－6
13．如图K－10－7，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D.
求证：AB∥CD.
图K－10－7
14．如图K－10－8，在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，M，N分别是AB，AC的中点，AD⊥BC，垂足为D，以D为圆心，3 cm为半径画圆，判断A，B，C，M，N各点和⊙D的位置关系.
图K－10－8
15．图K－10－9，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，垂足为E，EF与AB 的延长线相交于点F，点O在AD上，AO ＝ CO，BC∥EF.
求证：(1)AB＝AC;
(2)A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．
图K－10－9
参考答案
1．[解析] B ①②不正确．
2．A
3．[解析] A d＝3 cm＜4 cm＝r，所以点A在⊙O内．
4．[解析] D 圆中弦的长度小于或等于圆的直径．
5．B 6.B
7．[解析] B 连接OQ，PO，则∠POQ＝120°－60°＝60°.∵PO＝OQ，∴△POQ是等边三角形，∴PQ＝PO＝OQ＝×4＝2(cm)，∠OPQ＝∠OQP＝60°.∵∠AOQ＝90°－60°＝30°，∴∠QAO＝180°－60°－30°＝90°，∴AQ＝OQ＝1 cm.∵在Rt△AOQ中，由勾股定理，得OA＝＝，∴点A的坐标是(0，)．故选B.
8．半径
9．(1)内 (2)上 (3)外
10．[答案] π
[解析] 根据圆是轴对称图形，得阴影部分的面积＝大圆的面积＝π(4÷2)2＝π(cm2)．
11．[答案] 5≤l＜13
[解析] 根据题意画出图形如图所示：
AB＝CD＝5，AD＝BC＝12，根据矩形的性质和勾股定理得到：
AC＝＝13.
∵AB＝5，BC＝12，AC＝13，而B，C，D中至少有一个点在⊙A内或上，且至少有一个点在⊙A外，∴点B在⊙A内或上，点C在⊙A外，∴要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到，拴羊的绳长l的取值范围是5≤l＜13.
12．证明：∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC.
又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，
∴△EOB≌△FOC，
∴OE＝OF，
∴CE＝BF.
13．证明：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCD＝(180°－∠O)．
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OAB＝(180°－∠O)，
∴∠OCD＝∠OAB，
∴AB∥CD.
14．解：连接DM，DN.
∵在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵AD⊥BC，
∴AD＝AB＝3 cm，BD＝CD＝3 cm.
∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴DM＝DN＝AB＝3 cm，
∴点A，M，N在⊙D上，点B，C在⊙D外．
15．证明：(1)∵AE⊥EF, EF∥BC，
∴AD⊥BC.
∵BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC.
(2)如图，连接BO，
∵AD是BC的垂直平分线，
∴BO＝CO.
又∵AO＝CO，
∴AO＝BO＝CO，
∴A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．
2.2 圆心角、圆周角
一、选择题
1.如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是（? ??）．
A.?17°???????????????????????????????????????B.?34°??????????????????????????????????????
?C.?56°??????????????? ? ?D.?68°
2.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝25°，则∠CAD的度数是（? ）
A.?25°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?65°???????????????????????????????????????D.?75°
3.如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（ ） ?
A.?25°???????????????????????????????????????B.?30°??????????????????????????????????????C.?40°??????????????????????????????????????D.?50°
4.如图，△ABC内接于⊙O，∠C= 45o，AB=4，则⊙O的半径为（??? ）
A.?2??????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?4
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM=60°，则∠B的正切值是（ ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
6.如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，则∠A等于（ ）
A.?α+β???????????????????????????????B.??????????????????????????????C.?180°﹣α﹣β?????????????????????????????D.?
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40，则∠AOC的度数为 ?
A.?20????????????????????????????????????B.?40????????????????????????????????????C.?60????????????????????????????????????D.?80
8.如图，圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的度数为（????）
A.?100°?????????????????????????????????????B.?130°?????????????????????????????????????C.?80°?????????????????????????????????????D.?50°
9.如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于（ ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?60°
10.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（???）
A.?32°???????????????????????????????????????B.?42°???????????????????????????????????????C.?58°???????????????????????????????????????D.?64°
二、填空题
11.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于________?°
12.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD＝________?°．
13.如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=9，BP=4，则PC=________?
14.圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A=________?°．
15.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是________度.
16.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是________度．
17.如图，点A、B、C在⊙O上，∠A=36°，则∠O=________．
三、解答题
18.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=． （1）求AC的长度； （2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）
19.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上． （1）求∠AED的度数； （2）若⊙O的半径为2，则的长为多少？ （3）连接OD，OE，当∠DOE=90°时，AE恰好是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
20.如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E． （1）求证：DE=AF； （2）若⊙O的半径为， AB=+1，求的值．
21.如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．
参考答案
一、选择题
1. D 2. C 3.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D 10.A
二、填空题
11.30 12.105 13.6 14.40 15.144 16.140 17. 72°
三、解答题
18.解：（1）∵OF⊥AB， ∴∠BOF=90°， ∵∠B=30°，FO=， ∴OB=6，AB=2OB=12， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC=AB=6； （2）∵由（1）可知，AB=12， ∴AO=6，即AC=AO， 在Rt△ACF和Rt△AOF中， ∴Rt△ACF≌Rt△AOF， ∴∠FAO=∠FAC=30°， ∴∠DOB=60°， 过点D作DG⊥AB于点G， ∵OD=6，∴DG=， ∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9， 即阴影部分的面积是9．
19.解：（1）连接BD，如图1所示： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠BAD=60°， ∵AB=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=60°， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°， ∴∠AED=120°； （2）∵∠AOD=2∠ABD=120°， ∴的长= =； （3）连接OA，如图2所示： ∵∠ABD=60°， ∴∠AOD=2∠ABD=120°， ∵∠DOE=90°， ∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°， ∴n==12．
20.（1）证明：连接EP、FP，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=90°，∠BPA=90° ∴∠FPE=90°， ∴∠BPF=∠APE， 又∵∠FBP=∠PAE=45°， ∴△BPF≌△APE， ∴BF=AE， 而AB=AD， ∴DE=AF； （2）解：连EF， ∵∠BAD=90°， ∴EF为⊙O的直径， 而⊙O的半径为， ∴EF=， ∴AF2+AE2=EF2=（）2=3①， 而DE=AF， DE2+AE2=3； 又∵AD=AE+ED=AB， ∴AE+ED=+1②， 由①②联立起来组成方程组，解之得：AE=1，ED=或AE=，ED=1， 所以：=或= 提示：（1）连接EF、EP、FP，可证明△AEP≌△BFP （2）设：AE=x，ED=AF=y 可得：x+y=和x2+y2=3， 解得x=，y=1或x=1，y=， 所以：=或=．
21.证明：如图，在AE上截取AF=BD，连接CF，CD； 在△ACF和△BCD中 ∴△ACF≌△BCD， ∴CF=CD， ∵CE⊥AD于E， ∴EF=DE， ∴AE=AF+EF=BD+DE．
2.3 垂径定理
一、选择题
1．下列命题错误的是( )
A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦
B．平分弦的直径平分这条弦所对的弧
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．弦的垂直平分线经过圆心
2．2018·菏泽如图K－14－1，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是( )
图K－14－1
A．64° B．58° C．32° D．26°
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10 cm，最短弦长为8 cm，则OM的长为( )
A．9 cm B．6 cm
C．3 cm D. cm
4．2017·泸州如图K－14－2所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝
1，则弦CD的长是 ( )
图K－14－2
A. B．2 C．6 D．8
5.2017·金华如图K－14－3，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
图K－14－3
A．10 cm B．16 cm
C．24 cm D．26 cm
6．如图K－14－4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为( )
图K－14－4
A．4
B．8
C．8
D．16
7．如图K－14－5，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝1，那么△ABC的面积为( )
图K－14－5
A．3 B. C．4 D.
8．2017·襄阳模拟⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD间的距离是( )
图K－14－6
A．7 cm B．8 cm
C．7 cm或1 cm D．1 cm
二、填空题
9．如图K－14－6，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，若∠O＝70°，则∠A＋∠C＝________°.
10．如图K－14－7，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.若P是AB上的一动点，则OP的取值范围是________．
图K－14－7
11．2017·孝感已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2 ，则∠COD的度数为________．
三、解答题
12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－14－8所示)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.
图K－14－8
13．如图K－14－9所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)，B(4，2)，C(6，0)，解答下列问题：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆圆心D的位置，并写出点D的坐标为________；
(2)连接AD，CD，求⊙D的半径(结果保留根号)．
图K－14－9
14．如图K－14－10，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D.
(1)判断BC，MD的位置关系，并说明理由；
(2)若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；
(3)若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
图K－14－10
15．如图K－14－11，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．
(1)求桥拱的半径；
(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？并说明理由．
图K－14－11
素养提升
探究性问题如图K－14－12，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.
(1)当BC＝6时，求线段OD的长．
(2)探究：在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
图K－14－12
参考答案
1．B
2．[解析] D ∵OC⊥AB，∴＝.∠ADC是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角，∴∠BOC＝2∠ADC＝64°，∴∠OBA＝90°－∠BOC＝90°－64°＝26°.故选D.
3．[解析] C 由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED⊥AB于点M，则ED＝10 cm，AB＝8 cm，由垂径定理知M为AB的中点，
∴AM＝4 cm.
∵半径OA＝5 cm，
∴OM2＝OA2－AM2＝25－16＝9，
∴OM＝3(cm)．
4．B
5．[解析] C 如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D.∵CD＝8 cm，OD＝13 cm，∴OC＝5 cm.
又∵OB＝13 cm，∴在Rt△BCO中，BC＝＝12 cm，∴AB＝2BC＝24 cm.
6．[解析] B ∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°.∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝4 ，∴CD＝2CE＝8 .故选B.
7．[解析] B ∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，
∴M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是等边三角形ABC的中位线．
∵MN＝1，∴AB＝AC＝BC＝2MN＝2，
∴S△ABC＝×2×2×sin60°＝2×＝.
8．C
9．[答案] 55
[解析] 连接OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO.
又∵OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，∠AOD＝70°，
∴＝，∠AOB＝140°，
∴∠C＝∠AOD＝35°，∠A＝∠ABO＝20°，
∴∠A＋∠C＝55°.故答案是55.
10．[答案] 3≤OP≤5
[解析] 连接OA，作OC⊥AB于点C，则AC＝AB＝4.由勾股定理，得OA＝＝5，则OP的取值范围是3≤OP≤5.
11．[答案] 150°或30°
[解析] 如图所示，连接OC，过点O作OE⊥AD于点E.∵OA＝OC＝AC，∴∠OAC＝60°.∵AD＝2 ，OE⊥AD，∴AE＝，OE＝＝，∴∠OAD＝45°，∴∠CAD＝∠OAC＋∠OAD＝105°或∠CAD＝∠OAC－∠OAD＝15°，∴∠COD＝360°－2×105°＝150°或∠COD＝2×15°＝30°.故答案为150°或30°.
12．解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE，
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
(2)连接OA，OC，由(1)可知OE⊥AB且OE⊥CD，
∴CE＝＝＝2 ，
AE＝＝＝8，
∴AC＝AE－CE＝8－2 .
13．(1)确定点D的位置略 (2，－2)
(2)⊙D的半径为2
14．解：(1)BC∥MD.
理由：∵∠M＝∠D，∠M＝∠C，
∴∠D＝∠C，∴BC∥MD.
(2)∵AE＝16，BE＝4，
∴OB＝＝10，∴OE＝10－4＝6.
连接OC，如图①.
∵CD⊥AB，∴CE＝CD.
在Rt△OCE中，∵OE2＋CE2＝OC2，
即62＋CE2＝102，
∴CE＝8，∴CD＝2CE＝16.
(3)如图②，∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，
∴∠D＝∠BOD.
又∵AB⊥CD，∴∠D＝×90°＝30°.
15．解：(1)如图①，设E是桥拱所在圆的圆心，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交⊙E于点D，则F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40米，
EF＝ED－FD＝AE－DF.
由勾股定理知AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2.
设⊙E的半径是r，则r2＝402＋(r－20)2，
解得r＝50.
即桥拱的半径为50米．
(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．
理由：如图②，设MN与DE交于点G，
GM＝30米．在Rt△GEM中，
GE＝＝＝40(米)．
∵EF＝50－20＝30(米)，
∴GF＝GE－EF＝40－30＝10(米)．
∵10米＞9米，
∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．
[素养提升]
解：(1)∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝3.
∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝＝4，
即线段OD的长为4.
(2)存在，DE的长度保持不变．理由：连接AB，如图．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝＝5.
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE＝AB＝，其长度保持不变．
2.4 过不共线三点作圆
一、选择题
1．已知O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为( )
A．40° B．80° C．120° D．160°
2．下列说法错误的是( )
A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等
C. 三角形的外心一定在三角形一边的垂直平分线上
D. 三角形任意两边的垂直平分线的交点，是这个三角形的外心
3．下列命题中正确的有( )
①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
5．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( )
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
6．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )
A．可以画一个圆，使点A，B，C都在圆周上
B. 可以画一个圆，使点A，B在圆周上，点C在圆内
C. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆外
D. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆内
7．2017·仙桃如图K－15－1所示，坐标平面上有A(0，a)，B(－9，0)，C(10，0)三点，其中a＞0，若∠BAC＝100°，则△ABC的外心在( )
图K－15－1
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
8．在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，则凳子应放在△ABC的三条________线的交点最适当.
9．若AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有________个．
10．由正方形的四个顶点和它的中心这五个点能确定________个不同的圆．
11．已知一个等边三角形的外接圆的半径为1，则圆心到三角形的边的距离为________．
12．如图K－15－2，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，直线EF与AD相交于点O，若OA＝2，则△ABC的外接圆的面积为________．
图K－15－2
13．2017·宁夏如图K－15－3，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过点A，B，C的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．
图K－15－3
三、解答题
14．某市要承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图K－15－4所示，那么运动员公寓应建立在何处？请你作出图形并加以说明．
图K－15－4
15．如图K－15－5所示，等腰三角形ABC的顶角∠A＝120°，BC＝12 cm，求它的外接圆的直径．
图K－15－5
16．2017·临沂如图K－15－6，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
图K－15－6
17．如图K－15－7，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC，BD交于点E，延长DA，CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE.
求证：(1)AB＝AF；
(2)点A为△BEF的外心(即△BEF外接圆的圆心)．
图K－15－7
素养提升
联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心．例：已知PA＝PB，则点P为△ABC的准外心(如图K－15－8①)．
(1)如图②，CD为等边三角形ABC的边AB上的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数；
(2)如图③，若△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，准外心P在AC边上，试求PA的长．
图K－15－8
参考答案
1．[解析] D ∵O为△ABC的外心，∠A＝80°，∴∠BOC＝2∠A＝160°.故选D.
2．[解析] B 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以到三个顶点的距离相等．
3．[解析] B ①③正确，②缺少“不在同一直线上的三点”的条件，④任意一个圆有无数个内接三角形．
4．B 5.B
6．[解析] D ∵A，B，C是平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，∴AB＋BC＝AC，∴可以画一个圆，使点A，C在圆上，点B在圆内．
7．[解析] D ∵B(－9，0)，C(10，0)，
∴△ABC的外心在直线x＝上．
∵∠BAC＝100°，
∴△ABC的外心在三角形的外部，
∴△ABC的外心在第四象限．
8．垂直平分
9．[答案] 2
[解析] 这样的圆能画2个．如图，作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3 cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3 cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求圆．
10．5
11．[答案] 0.5
[解析] 如图，连接OC.
∵△ABC是圆的内接正三角形，∴∠OCD＝30°.
又∵OD⊥BC，OC＝1，
∴OD＝OC＝0.5.
12．[答案] 4π
[解析] ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC.
∵分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，
∴EF垂直平分AC.
∵直线EF与AD相交于点O，
∴点O为△ABC外接圆的圆心，
∴AO为△ABC外接圆的半径，
∴△ABC的外接圆的面积为4π.
13．[答案] 5
[解析] 如图，分别作AB，AC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA长为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的圆．
由图可知，⊙O还经过点D，E，F，G，H这5个格点．
故答案为5.
14．解：连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线MN，FD，交点G即为运动员公寓所建立的位置．图略．
15．解：如图，过点A作直径AD，交BC于点E，连接OC.
∵AB＝AC，∴＝，
∴AD垂直平分BC，
∴EC＝BC＝6 cm.
∵∠BAC＝120°，
∴∠OAC＝60°.
又∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°.
在Rt△OEC中，sin∠EOC＝，
∴OC＝＝4 (cm)，
∴它的外接圆的直径为8 cm.
16．解：(1)证明：∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴＝，
∴∠DBC＝∠BAE.
∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB.
(2)连接CD，如图所示．
由(1)得＝，
∴CD＝BD＝4.
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝4 ，
∴△ABC外接圆的半径＝×4 ＝2 .
17．证明：(1)因为DC＝DE，
所以∠DEC＝∠ACD，
则∠ABF＝∠ADC＝120°－∠ACD＝120°－∠DEC＝120°－(60°＋∠ADE)＝60°－∠ADE，
而∠F＝60°－∠ACF.
因为∠ACF＝∠ADE，
所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF.
(2)四边形ABCD内接于⊙O，
所以∠ABD＝∠ACD.
又DE＝DC，所以∠ACD＝∠DEC＝∠AEB，
所以∠ABD＝∠AEB，所以AB＝AE.
又因为AB＝AF，所以AB＝AF＝AE，
即点A是△BEF的外心．
[素养提升]
解：(1)①若PB＝PC，连接PB，
则∠PCB＝∠PBC.
∵CD为等边三角形ABC的高，
∴AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴∠PBD＝∠PBC＝30°，
∴PD＝DB＝AB.
与已知PD＝AB矛盾，
∴PB≠PC.
②若PA＝PC，连接PA，则∠PCA＝∠PAC.
∵CD为等边三角形ABC的高，
∴AD＝BD，∠PCA＝30°，
∴∠PAD＝∠PAC＝30°，
∴PD＝DA＝AB.
与已知PD＝AB矛盾，
∴PA≠PC.
③若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，
∴∠BPD＝45°，故∠APB＝90°.
(2)①若PB＝PA，设PA＝x.
∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC＝12，则CP＝12－x，
∴x2＝(12－x)2＋52，
解得x＝，即PA＝.
②若PA＝PC，则PA＝6.
③若PC＝PB，由图知，在Rt△PBC中，不可能存在此种情况．
综上所述，PA＝或PA＝6.
2.5直线与圆的位置关系
一、选择题(每题3分，共24分)
1．已知圆的半径为6 cm，如果一条直线和圆心的距离为6 cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相离
2．如图3－G－1，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，PO＝26，PA＝24，则⊙O的半径为( )
图3－G－1
A．9 B．8 C．10 D．12
3．如图3－G－2，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度数是( )
图3－G－2
A．70° B．50° C．45° D．20°
4．如图3－G－3，已知△ABC的内心为I，∠BIC＝130°，则∠A的度数为( )
图3－G－3
A．60° B．65° C．80° D．70°
5.如图3－G－4，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若∠OAB＝30°，则∠APB的度数为( )
图3－G－4
A．60° B．90° C．120° D．无法确定
6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过直线l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长的最小值为( )
A．1 B. C. D．2
7．如图3－G－5所示，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB＝2，OD＝3，则BC的长为( )
图3－G－5
A. B. C. D.
8．如图3－G－6，点P在⊙O的直径BA的延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD，BD，已知PC＝PD＝BC.下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的个数是( )
图3－G－6
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(每题4分，共24分)
9．已知点M到直线m的距离是3 cm.若⊙M与直线m相切，则⊙M的直径是________．
10．如图3－G－7，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，AB是⊙O的直径，要使EF为⊙O的切线，还需要添加一个条件：________(写出一个即可)．
图3－G－7
11．如图3－G－8所示，∠MAB＝30°，P为AB上的点，且AP＝6，⊙P与AM相切，切点为M，则⊙P的半径为________．
图3－G－8
12．如图3－G－9，已知⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点D，E，F，△ABC的周长为24 cm，BC＝10 cm，则AE＝________cm.
图3－G－9
13．如图3－G－10，在三角板ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，⊙O的半径为1，现将三角板平移，使AC与⊙O相切，则AO＝________.
图3－G－10
14．如图3－G－11，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为(，0)，⊙M的切线OC与直线AB交于点C，则∠ACO＝________°.
图3－G－11
三、解答题(共52分)
15．(10分)如图3－G－12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，以R为半径画圆，若⊙C与AB相交，求R的取值范围．
图3－G－12
16．(10分)如图3－G－13，已知AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E.
求证：(1)DE是⊙O的切线；
(2)CD2＝CE·CB.
图3－G－13
17．(10分)如图3－G－14，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D.
(1)求证：△ADC∽△CDB；
(2)若AC＝2，AB＝CD，求⊙O的半径．
图3－G－14
18．(10分)如图3－G－15，已知I是△ABC的内心，延长AI交BC于点D，交外接圆O于点E.
求证：(1)IE＝EC；
(2)IE2＝ED·EA.
图3－G－15
19．(12分)如图3－G－16所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边交于点D，E为BC边的中点，连接DE.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)连接OE，AE，当∠CAB为多少度时，四边形AOED是平行四边形？请说明理由，并在此条件下求出sin∠CAE的值．
图3－G－16
参考答案
1．B 2.C 3.B 4.C
5．A [解析] ∵∠OAB＝30°，∴∠PAB＝90°－30°＝60°.又∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∴∠APB＝180°－60°－60°＝60°.
6．C
7．A [解析] ∵BC∥OD，∴∠B＝∠DOA.又∵∠ACB＝∠DAO＝90°，∴△ABC∽△DOA，∴＝，解得BC＝.
8．A [解析] ①连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO＝90°.在△PCO和△PDO中，
∵∴△PCO≌△PDO(SSS)，∴∠PCO＝∠PDO＝90°，又∵点D在⊙O上，∴PD与⊙O相切，故①正确；
②由①得∠CPB＝∠DPB，
在△CPB和△DPB中，
∵，∴△CPB≌△DPB(SAS)，∴BC＝BD，∴PC＝PD＝BC＝BD，∴四边形PCBD是菱形，故②正确；
③连接AC，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在△PCO和△BCA中，∵∴△PCO≌△BCA(ASA)，∴AC＝CO，∴AC＝CO＝AO，∴∠COA＝60°，∴∠CPO＝30°，∴CO＝PO＝AB，∴PO＝AB，故③正确；
④∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，∴DP＝DB，∴∠DPB＝∠DBP＝30°，∴∠PDB＝120°，故④正确．正确的有4个，故选A.
9．6 cm [解析] ∵点M到直线m的距离是3 cm，⊙M与直线m相切，∴⊙M的半径是3 cm，∴⊙M的直径是6 cm.
10．答案不唯一，如∠CAE＝∠B
11．3 [解析] 连接PM，在Rt△APM中，PM＝AP＝3.
12．2 [解析] ∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点D，E，F，设AF＝AE＝x，BD＝BF＝y，CE＝CD＝z，根据题意，得解得x＝2，∴AE＝2 cm.
13. [解析] 设AC与⊙O相切于点D，连接OD.在Rt△ABC中，∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，且OD＝1.在Rt△OAD中，sinA＝，∴OA＝＝＝.
14．30 [解析] ∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝60°.∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA－∠BOC＝30°.
15．解：过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴由勾股定理得AB＝＝＝5.
由三角形面积公式得AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝2.4，
∴当2.4＜R＜4时，⊙C与AB相交．
16．证明：(1)连接OD.
∵D是AC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥BC，
∴∠CED＝∠ODE＝90°，∴OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(2)连接DB.∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°.
在△CDB和△CED中，∠C＝∠C，∠CDB＝∠CED＝90°，∴△CDB∽△CED，
∴＝，∴CD2＝CE·CB.
17．解：(1)证明：连接CO.
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝∠BCD.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BCD.
在△ADC和△CDB中，
∴△ADC∽△CDB.
(2)设CD＝x，则AB＝x，OC＝OB＝x.
∵∠OCD＝90°，∴OD＝＝＝x，
∴BD＝OD－OB＝x－x＝x.
由(1)知△ADC∽△CDB，∴＝，
即＝，解得CB＝1，
∴AB＝＝，
∴⊙O的半径是.
18．证明：(1)连接IC.∵I是△ABC的内心，
∴∠ACI＝∠BCI，∠BAE＝∠CAE.
又∵∠BAE＝∠BCE，∴∠CAE＝∠BCE.
∴∠CAE＋∠ACI＝∠ICB＋∠BCE.
∴∠EIC＝∠ICE.∴IE＝EC.
(2)由(1)可知∠CAE＝∠BCE.
又∵∠AEC＝∠DEC，∴△DCE∽△CAE.
∴＝.∴EC2＝ED·EA.
∵IE＝EC，∴IE2＝ED·EA.
19．解：(1)证明：连接OD，BD.
易知△BDC是直角三角形，且E为BC的中点，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD.
又∵OD＝OB，且∠EBD＋∠DBO＝90°，
∴∠EDB＋∠ODB＝90°，即OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)当∠CAB＝45°时，四边形AOED是平行四边形．
理由如下：∵OA＝OD，∠CAB＝45°，∴∠ADO＝45°，∴∠AOD＝90°.
由(1)知∠ODE＝90°，∴DE∥AO.
∵O，E分别为AB，BC的中点，∴OE∥AD，
∴四边形AOED是平行四边形．
过点E作EH⊥AC于点H.设BC＝2k，
易得EH＝k，AE＝k，
∴sin∠CAE＝＝.
2.6 弧长与扇形面积
一、选择题
1.如图，某商标是由三个半径都为R的圆弧两两外切得到的图形，则三个切点间的弧所围成的阴影部分的面积是（??? ）
A.?（-π）R2????????????????B.?（+π）R2????????????????C.?（-π）R2????????????????D.?（+π）R2
2.如图是小李上学用的自行车，型号是24英吋（车轮的直径为24英吋，约60厘米），为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形），量出四边形ABCD中∠DAB=125°、∠ABC=115°，那么预计需要的铁皮面积约是（ ）
A.?942平方厘米?????????????????B.?1884平方厘米?????????????????C.?3768平方厘米?????????????????D.?4000平方厘米
3.钟面上的分针的长为1，从3点到3点30分，分针在钟面上扫过的面积是（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以AB为直径的⊙O与CD相切于E，与BC相交于F，若AB=4，AD=1，则图中两阴影部分面积之和为（ ）
A.??????????????????????????????????????B.?2-1?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
5.如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=，以BC的中点E为圆心的弧MPN与AD相切，则图中阴影部分的面积为（???????）
A.?π??????????????????????????????????????B.?π??????????????????????????????????????C.?π??????????????????????????????????????D.?
6.用半径为6cm、圆心角为120°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（?? ）
A.?2cm?????????????????????????????????????B.?3cm?????????????????????????????????????C.?4cm?????????????????????????????????????D.?6cm
7.如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
8.一个圆锥的侧面展开图形是半径为8 cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（?? ）
A.?cm??????????????????????????????????B.?cm??????????????????????????????????C.?3 cm??????????????????????????????????D.?cm
9.若一个扇形的半径是18 cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（?? ）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?60°??????????????????????????????????????C.?90°??????????????????????????????????????D.?120°
10.一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，测得P点与钢管的最短距离PB=25cm，最长距离PA=75cm．若钢管的厚度忽略不计，则劣弧的长为（ ）
A.?πcm????????????????????????????B.?50πcm????????????????????????????C.?πcm????????????????????????????D.?50πcm
二、填空题
11.已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________．
12.如图，用一个半径为R，圆心角为90°的扇形做成一个圆锥的侧面，设圆锥底面半径为r，则R：r=________?
13.已知扇形的圆心角是120°，半径是6，则它的面积是________
14.已知扇形的圆心角为120°,弧长等于一个半径为5cm的圆的周长,则扇形面积为________cm2 ．
15.圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为________?
16.如图，半径为6的⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则劣弧BD的长是________?（结果保留π）．
17.以A为圆心，半径为9的四分之一圆，与以C为圆心，半径为4的四分之一圆如图所示放置，且∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积为________．
18.已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为________cm．
三、解答题
19.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F． （1）求劣弧PC的长；（结果保留π） （2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
20.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）． （1）画出△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1OB1 ． （2）填空：点A1的坐标为???????????????． （3）求出在旋转过程中，线段OB扫过的扇形面积．
21.如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？
22.如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径，BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．若BC=6，∠BAC=50，求弧ED，弧FD的长度之和（结果保留π）．
参考答案
一、选择题
1.A 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7.C 8.A 9.D 10.A
二、填空题
11. 9 12.4：1 13.12π 14.75π 15.18 16. 17.π﹣36 18. 15
三、解答题
19.解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心， ∴PD⊥AB， ∵∠A=30°， ∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD， ∵PF⊥AC， ∴∠OPF=30°， ∴OF=OP， ∵OA=OC，AD=BD， ∴BC=2OD， ∴OA=BC=2， ∴⊙O的半径为2， ∴劣弧PC的长==； （2）∵OF=OP， ∴OF=1， ∴PF=， ∴S阴影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=﹣．
20.解：（1）△A1OB1如图所示； （2）点A1（-2，3）； （3）由勾股定理得，OB=， ∴线段OB扫过的扇形面积=．
21.解：由题意得，BE=2m，AC=3m，CD=0.5m， 作BG⊥AC于G，则AG=AD﹣GD=AC+CD﹣BE=1.5m， 由于AB=3，所以在Rt△ABG中，∠BAG=60°， 根据对称性，知∠BAF=120°， 故秋千所荡过的圆弧长是=2π≈6.3（米）．
22.解：∵AB=AC，∠BAC=50°， ∴∠ABC=∠ACB=65°， ∵BD=CD=BC， ∴△BDC为等边三角形， ∴∠DBC=∠DCB=60°， ∴∠DBE=∠DCF=55°， ∵BC=6，∴BD=CD=6， ∴弧ED的长度=弧FD的长度==； ∴弧ED，弧FD的长度之和为+=．
2.7正多边形与圆
一．选择题
1．（2015?广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B． 9 C． 18 D． 36
2．（2015?成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．2， B． 2，π C． ， D． 2，
（2） （3） （4） （6） （7）
3．（2015?杭州）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2015?随州）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A．R2﹣r2=a2 B． a=2Rsin36° C． a=2rtan36° D． r=Rcos36°
5．（2015?包头）已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（ ）
A．2 B． 3 C． 4 D． 6
6．（2015?金华）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D． 2
7．（2015?肥城市一模）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A． cm B． cm C． cm D． 1cm
8．（2015?雅安校级一模）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A．1：2： B． 2：3：4 C． 1：：2 D． 1：2：3
二．填空题
9．（2015?营口）圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为 cm2．
10．（2015?宁夏）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为 ．
（2015?铁岭）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为 ．
（10） （11） （13）
12．（2015?普陀区一模）正八边形的中心角等于 度．
13．（2015?江宁区一模）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD= 度．
三．解答题
14．（2012秋?合川区校级期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．
15．（2013秋?吴中区校级期末）如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
16．（2013秋?钦南区校级月考）已知：如图，⊙O的半径为2，正方形ABCD，A′B′C′D分别是⊙O的内接正方形和外切正方形．求两正方形的面积比S内：S外．
17．（2013秋?雁塔区校级月考）将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割纸片不得剩余）
第一次：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形．（后面就依次用剩下的正六边形按上述方法分割…）
（1）请画出第一次分割示意图；
（2）若原正六边形的面积为a，请你将第一次，第二次，第三次分割后所得的正六边形的面积填入下表：
分割次数（n）
1
2
3
…
正六边形的面积S
（3）猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系？（S用含a和n的代数式表示）
参考答案
一．选择题
1．C．2．D．3．B．4．A．5．B．6．C．7．A．8．D．
二．填空题
9． 24 10．（，﹣） ．11． 54° 12． 45 13． 36
三．解答题
14．解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cos30°===，解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
（14） （15） （16）
15．解：（1）连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠P=∠BOC=45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴BE===4
∴BC=2BE=2×4=8．
16．解：如图，连接OA，作OM⊥AD于点M．
∵⊙O的半径为2，
∴OA=2，
∴OM=OA=，
∴AB=2OM=2，A′B′=2OA=4，
∴S内：S外=AB2：A′B′2=（AB：A′B′）2=（2：4）2=（）2=．
17．解：
；
（2）S1=a S2=a S3=a；
（3）Sn=（）n a．
第2章达标检测卷
(150分，90分钟)
题 号
一
二
三
总 分
得 分
一、选择题(每题4分，共40分)
1．在下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( )
A．AE＝BE B.＝ C．OE＝DE D．∠DBC＝90°
(第2题) (第3题) (第5题)
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A．45° B．50° C．60° D．75°
4．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．5
5．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( )
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．AC＝BC D．∠BAC＝30°
6．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( )
A．3 B．3 C. D.
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，则点B经过的路径长为( )
A. B. C. D．π
8．现有一个圆心角为90°，半径为8 cm的扇形纸片，用它恰好能围成一个圆锥的侧面(接缝处忽略不计)，则该圆锥底面圆的半径为( )
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm
(第7题) (第9题) (第10题)
9．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是( )
A. B. C．5 D．无法确定
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为⊙O的切线，MN交BC于点M，交CD于点N，则△MCN的周长为( )
A．9 B．10 C．3 D．2
二、填空题(每题5分，共20分)
11．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论：____________________________．(至少填写两个)
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转∠α得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是________．
(第11题) (第12题)
(第13题) (第14题)
13．如图，有一圆弧形拱门的高AB为1 m，跨度CD为4 m，则这个拱门的半径为________m.
14．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C.连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．
①△CPD∽△DPA；
②若∠A＝30°，则PC＝BC；
③若∠CPA＝30°，则PB＝OB；
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．
三、解答题(15题8分，19、20题每题12分，21、22题每题14分，其余每题10分，共90分)
15．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′.
(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；
(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．
(第15题)
16．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
(2)若OC＝3，AB＝8，求⊙O的直径
(第16题)
．
17．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
(第17题)
18．如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于点C，过点C的直线y＝2x＋b交x轴于点D，且⊙P的半径为，AB＝4.
(1)求点B，P，C的坐标；
(2)求证：CD是⊙P的切线．
(第18题)
19．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D.已知OA＝OB＝6 cm，AB＝6 cm.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
(第19题)
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交⊙O于点E，∠ACB的平分线CF交⊙O于点F，BE和CF相交于点D，四边形AFDE是菱形吗？请证明你的结论．
(第20题)
21．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.
(1)求证：△PAC∽△PDF；
(2)若AB＝5，＝，求PD的长；
(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)
(第21题)
22．如图，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为(－2，0)．
(1)求线段AD所在直线的表达式；
(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？
(第22题)
答案
一、1.C
2．C 点拨：由垂径定理可得选项A，B是正确的；由直径所对的圆周角是直角可得选项D是正确的．故选C.
3．C 点拨：设∠ADC＝x°，则∠AOC＝2x°.∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠B＝∠AOC＝2x°.∵∠B＋∠ADC＝180°，∴2x＋x＝180.∴x＝60.∴∠ADC＝60°.故选C.
4．C 5.D 6. C 7.B
8．C 点拨：设该圆锥底面圆的半径为r cm，则＝2πr，解得r＝2.故选C.
9．B
(第10题)
10．A 点拨：作DH⊥BC于点H，如图所示，∵在四边形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，AB⊥AD.∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O的切线．∵CD和MN为⊙O的切线，∴DE＝DA＝2，CE＝CB，NE＝NF，MB＝MF.易知四边形ABHD为矩形，∴BH＝AD＝2，DH＝AB＝6，设BC＝x，则CH＝x－2，CD＝x＋2.在Rt△DCH中，∵CH2＋DH2＝CD2，∴(x－2)2＋62＝(x＋2)2.解得x＝4.5.∴CB＝CE＝4.5，∴△MCN的周长＝CN＋CM＋MN＝CN＋CM＋NF＋MF＝CN＋CM＋NE＋MB＝CE＋CB＝9.故选A.
二、11.OE＝OF，∠AOB＝∠COD 点拨：本题答案不唯一．
12.－
13．2.5 点拨：解答本题的关键是理解题中“拱高”和“跨度”，拱高是指弧的中点到弦的中点的线段长，跨度是指弦长，根据垂径定理的相关结论“平分弦且平分弦所对的一条弧的直线垂直于弦并且过圆心”，可知需构造直角三角形，故设所在圆的圆心为点O，连接OC，OB，可知点O，B，A在同一条直线上，则△OBC为直角三角形，且BC＝CD＝ 2 m．设⊙O的半径为x m，则OB＝(x－1) m．利用勾股定理，得OC2＝OB2＋BC2，则x2＝(x－1)2＋22，解得x＝2.5.即这个拱门的半径为2.5 m.
(第14题)
14．②③④ 点拨：如图，由AB为⊙O的直径知∠ACB＝90°，连接OC.因为PC为 ⊙O的切线，所以∠PCO＝90°，易得∠PCB＝∠A.若∠A＝30°，则∠CBA＝60°，易得∠CPB＝30°，所以∠CPB＝∠A，所以PC＝AC＝BC，故②正确．若∠CPA＝30°，则∠COP＝60°，又因为OC＝OB，所以△BOC为等边三角形，所以BC＝OB，∠CBO＝60°，所以 ∠PCB＝30°，所以PB＝BC，所以PB＝OB，故③正确．因为PD为∠APC的平分线，所以∠DPA＝∠APC.所以∠CDP＝∠DPA＋∠A＝(∠APC＋∠BOC)＝45°，即∠CDP＝45°为定值，故④正确．在△CPD和△DPA中，∠CPD＝∠DPA，而∠CDP＞∠A，∠PCD＞∠A，所以△CPD与△DPA不相似，故①错误．
三、15.解：(1)如图．
(2)如图，线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积就是扇形B′AB的面积，其中∠B′AB＝90°，AB′＝AB＝＝5.
所以线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积是×π×25＝π.
(第15题)
16．解：(1)∵OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，
∴＝.又∵∠AOD＝52°，∴∠DEB＝∠AOD＝26°.
(2)∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
∴在Rt△AOC中，AO＝＝＝5，∴⊙O的直径是10.
(第17题)
17．解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，
∴OP⊥AB.
在Rt△OPB中，
OP＝OB·tan∠OBP＝3·tan 30°＝.
如图，连接OQ，在Rt△OPQ中，
PQ＝＝＝.
(2)连接OQ，∵PQ2＝OQ2－OP2＝9－OP2，
∴当OP最小时，PQ最大．过O作OP′⊥BC，垂足为P′，当点P在P′的位置时，OP最小．在Rt△OP′B中，OP′＝OB·sin∠OBP′＝3×sin 30°＝.
∴PQ长的最大值为＝.
18．(1)解：如图，连接CA.
∵OP⊥AB，∴OB＝OA＝2.∴B(2，0)．
∵OP2＋OB2＝BP2，∴OP2＝5－4＝1，∴OP＝1.
∴P(0，1)．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB＝90°.
∵CP＝BP，OB＝OA，∴AC＝2OP＝2.
∴C(－2，2)．
(2)证明：∵直线y＝2x＋b过C点，∴b＝6.∴y＝2x＋6.
∵当y＝0时，x＝－3，∴D(－3，0)．∴AD＝1.
∵AC＝OB＝2，AD＝OP＝1，∠CAD＝∠BOP＝90°，
∴△DAC≌△POB.∴∠DCA＝∠ABC.
∵∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠DCA＋∠ACB＝90°，
即∠DCB＝90°.又∵BC为⊙P的直径，
∴CD是⊙P的切线．
(第18题)
(第19题)
19．解：(1)如图，连接OC，则OC⊥AB.
又∵OA＝OB，∴AC＝BC＝AB＝×6＝3(cm)．
∴在Rt△AOC中，OC＝＝＝3(cm)．
∴⊙O的半径为3 cm.
(2)∵OC＝OB，∴∠B＝30°，∴∠COD＝60°.
∴扇形COD的面积为＝π(cm2)．
∴阴影部分的面积为OC·BC－π＝×3×3－π＝－π (cm2)．
20．解：四边形AFDE是菱形．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ACF＝∠FCB.
∵∠FAB，∠FCB是同弧所对的圆周角，
∴∠FAB＝∠FCB，同理∠EAC＝∠EBC.
∴∠FAB＝∠ABE＝∠EAC＝∠ACF.
∴AF∥ED，AE∥FD，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵∠ABE＝∠ACF，∴＝，
∴AF＝AE.∴四边形AFDE是菱形．
21．(1)证明：∵四边形APCB内接于⊙O，∴∠FPC＝∠B.又∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC，∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝ ∠DPF.又∠PAC＝∠PDF，∴△PAC∽△PDF.
(2)解：连接PB.∵＝，∴PA＝PB.∵∠ACB＝90°，∴AB为直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴AP＝PB＝.在Rt△ACB中，AC＝2BC，AB＝5，
∴AC＝2 ，BC＝.由CD⊥AB，∠ACB＝90°，易得CB2＝BE·AB，CE2＝BE·AE，∴BE＝1，AE＝4，CE＝2，∴CD＝2CE＝4.∵△PAC∽△PDF，∴∠AFE＝∠PCA＝∠PBA＝45°，∴△AFE为等腰直角三角形，∴FE＝AE＝4，∴FD＝6，∵△PDF∽△PAC，∴＝，∴PD＝.
(3)解：过点G作GH⊥AB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交⊙O于Q，∵HC⊥CB，GH⊥GB，∴C，G都在以HB为直径的圆上，∴∠HBG＝ ∠ACQ.∵C，D关于AB对称，G在AB上，∴Q，P关于AB对称，∴＝，∴∠PCA＝∠ACQ，∴∠HBG＝∠PCA.∵△PAC∽△PDF，∴∠PCA＝∠AFD.∴y＝tan∠AFD＝ tan∠PCA＝tan∠HBG＝，∵HG＝tan∠HAG·AG＝tan∠BAC·AG＝·AG＝AG， ∴y＝·＝x.
22．解：(1)∵∠BAD＝60°，∠AOD＝90°，∴∠ADO＝30°.
又∵点A的坐标为(－2，0)，∴AO＝2，∴AD＝4，∴OD＝＝2，
∴点D的坐标为(0，2)．
设直线AD的表达式为y＝kx＋b，则
解得∴线段AD所在直线的表达式为y＝x＋2.
(2)∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴DC＝CB＝BA＝AD＝4，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝30°，如图．
(第22题)
①当点P在P1的位置且⊙P1与AC相切时，易得AP1＝2r＝2，∴t1＝2.
②当点P在P2的位置且⊙P2与AC相切时，易得CP2＝2r＝2，∴AD＋DP2＝6，∴t2＝6.
③当点P在P3的位置且⊙P3与AC相切时，易得CP3＝2r＝2，∴AD＋DC＋CP3＝10，∴t3＝10.
④当点P在P4的位置且⊙P4与AC相切时，易得AP4＝2r＝2，∴AD＋DC＋CB＋BP4＝14，∴t4＝14，
∴当t＝2，6，10或14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．
3.1投影同步测试
一、选择题
1.如图是某一天四个时刻的旗杆及它们的影子，请选出哪一个图形能表示大约是下午1点的图（用线段表示旗杆的影子）（ ）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?
2.皮影戏是在哪种光照射下形成的（?）
A.?灯光?????????????????????????????????B.?太阳光?????????????????????????????????C.?平行光?????????????????????????????????D.?都不是
3.给出以下命题，命题正确的有（???） ①太阳光线可以看成平行光线，这样的光线形成的投影是平行投影 ②物体的投影的长短在任何光线下，仅与物体的长短有关 ③物体的俯视图是光线垂直照射时，物体的投影 ④物体的左视图是灯光在物体的左侧时所产生的投影 ⑤看书时人们之所以使用台灯是因为台灯发出的光线是平行的光线。
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
4.下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A.??????????????????????????????????????????????B.? C.??????????????????????????????????????????D.?
5.房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（ ）
A.?三角形?????????????????????????????????B.?平行四边形?????????????????????????????????C.?圆?????????????????????????????????D.?梯形
6.一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是（?????? ）
A.???????????????B.????????????????C.????????????????D.?
7.晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（ ）
A.?变长???????????????????????????B.?变短???????????????????????????C.?先变长后变短???????????????????????????D.?先变短后变长
8.电影院里座位呈阶梯形状或下坡形状的原因是（ ）
A.?增大盲区??????????????????????????B.?使盲区不变???????????????????C.?减小盲区???????????????????D.?为了美观而设计的
9.小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（?? ）
A.?三角形??????????????????????????????????B.?线段??????????????????????????????????C.?矩形??????????????????????????????????D.?正方形
10.正午时分，水平放置的正方形在地面上的投影是（ ）
A.?正方形???????????????????????????????B.?长方形???????????????????????????????C.?平行四边形????????????????????????????????D.?菱形
二、填空题
11.小军晚上到乌当广场去玩，他发现有两人的影子一个向东，一个向西，于是他肯定的说“广场上的大灯泡一定位于两人________?”．
12.如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，则小桥所在圆的半径为________?m
13.物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是________?现象．举例________?、________?．
14.小新的身高是1.7m，他的影子长为5.1m，同一时刻水塔的影长是42m，则水塔的高度是________?m．
15.投影可分为________?和________?；一个立体图形，共有________?种视图．
16.为了测量水塔的高度，我们取一竹竿，放在阳光下，已知2米长的竹竿投影长为1.5米，在同一时刻测得水塔的投影长为30米，则水塔高为________?米．
17.太阳光线下形成的投影是________?投影．（平行或中心）
18.如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为________?m．
三、解答题
19.如图，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球， （1）球在地面上的阴影是什么形状？ （2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？ （3）若白炽灯到球心距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球在地面上阴影的面积是多少？
20.如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆， （1）请画出路灯O的位置； （2）画出标杆EF在路灯下的影子FH．
21.如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m，某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m． （1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF； （2）在测量AB的影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长． ?
22.如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点O）20米的点A沿AO方向行走14米到点C处，小明在A处，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处． （1）已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置． （2）若路灯（点P）距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ ?
23.如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点．现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l（图中的黑粗线）以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区．设l的左端点从M点开始，运动时间为t秒（0≤t≤3）．设△PAB区域内的盲区面积为y（平方单位）． （1）求y与t之间的函数关系式； （2）请简单概括y随t的变化而变化的情况． ?
参考答案
一、选择题
1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B 7.D 8.C 9.A 10.A
二、填空题
11.中上方 12. 5 13.投影 ；窗户的影子 ；遮阳伞的影子
14.14 15.平行投影；中心投影；三 16.40 17.平行 18.3
三、解答题
19.解：（1）因为球在灯光的正下方，所以阴影是圆形； （2）白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小； （3）设球在地面上阴影的半径为x米， 则， 解得：x2=， 则S阴影=π平方米．
20.解：（1）如图，点O为所作； （2）如图，FH为所作．
21.解：（1）如图所示：EF即为所求； （2）由题意可得： ?， 解得：DE=10， 答：DE的长为10m． ?
22.解：（1）如图???????????????????????????????????????????? ? （2）设在A处时影长AM为x米，在C处时影长CN为y米 由=，解得x=5， 由=，解得y=1.5， ∴x﹣y=5﹣1.5=3.5 ∴变短了，变短了3.5米．
23.解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点， ∴AM=2，盲区为梯形，且上底为下底的一半，高为2， 当0≤t≤1时，y=（t+2t）?2=3t， 当1＜t≤2时，y=（1+2）×2=3， 当2＜t≤3时，y=[3﹣t+2（3﹣t）]?2=9﹣3t； （2）1秒内，y随t的增大而增大；1秒到2秒，y的值不变；2秒到3秒，y随t的增大而减小．
3.2直棱柱和圆锥的侧面展开图
一、选择题
1．下图中是六棱柱展开图的是（ ）
2．一个扇形要围成以某圆为底的圆锥体，则扇形的弧长和某圆的周长（ ）
A．相等 B．扇形的弧长大于某圆的周长
C．扇形的弧长小于某圆的周长 D．以上都不对
3．如图是一个三边相等的三角形，三边的中点用虚线连接，如果将三角形沿虚线向上折叠，得到的立体图形是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥
C．正方体 D．圆锥
4．三棱柱中棱的条数是（ ）
A．三条 B．六条 C．八条 D．九条
5．八棱柱有（ ）面．
A．2个 B．8个 C．10个 D．12个
6．如图，哪些可以折成一个棱柱？
7．如图，把左边的图形折叠起来，它会变成右边的正方体（ ）。
8．将下图中左边的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到右图中的（ ）。
二、填空题
1．七棱柱有____个顶点，有____条棱，有______个侧面．
2．圆锥体的底面是_________形，圆锥体的侧面的平面展开图是_______形．
3．在图中是正方体展开图的有_________．
4． 请自己动手用硬纸板剪一个三边都相等的三角形，再用这个三角形围成一个几何体。围成的几何体有_____个面，所有的面都是______形，有______个顶点，_______条棱．其中棱长是原三角形边长的_______．
5．一个圆形薄铁，刚好做成两个无底圆锥形容器，则这个圆形薄铁的周长恰好是无底圆锥底面周长的________．
6．如图，圆中阴影部分可以是________体侧面的展开平面图．
三、判断题
1．如图中，①是②的表面展开图．（ ）
2．长方体的表面展开图只有一种．（ ）
3．由于圆锥体可以由直角三角形旋转得到，所以圆锥体的侧面展开图也可以是三角形．（ ）
4．圆锥体的侧面展开图只有一种．（ ）
四、解答题
1．底面是三角形，四边形的棱柱各有多少条棱？
2．想一想，再折一折，下面两图经过折叠能否围成棱柱？
3．将图甲（A）中的平面图形按图甲（B）所示的方法折叠，能得到什么样的空间图形？图乙（A）按图乙（B）所示的方法折叠呢？
4．如图，右图是左图表面的展开图，右图已有两个面标出是长方体的下面和右面，请你在右图中把长方体的其他面标出来。
5．请你举出利用圆柱体、长方体的表面能展开成平面图形的原理，在生产和生活中做圆柱形和长方体用品的实例。 参考答案
一、
1．B 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B，C，D 7．B 8．D
二、
1．14、21、7 2． 圆、扇 3． ②、④ 4． 4、三角形、4、6、
5．2倍 6．圆锥．
三、
1． × 2． × 3． × 4． √
四、
1．9，12．
2．A能，B不能．
3．正方体，四棱锥（你可以用自己的语言描述这个几何体）．
4．
5．圆柱形水桶、长方体包装盒。
3.3三视图同步测试
一、选择题
1.一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
2.下列几何体的主视图、俯视图和左视图都是长方形的是（）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
3.由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何体三种视图叙述正确的是（?? ）
A.?左视图与俯视图相同??????B.?左视图与主视图相同??????C.?主视图与俯视图相同??????D.?三种视图都相同
4.下面四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有（ ） ?
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
5.如图，是某物体的主视图和俯视图，依据此物体的主视图和俯视图找出符合该物体的左视图（ ）
A.??????????????????????????????????????????B.? C.??????????????????????????????????????????D.?
6.一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为8， 则a的值为（ ）
A.???????????????????????????????????????B.?2+??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?2
7.下面如图是一个圆柱体，则它的正视图是（ ）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
8.如图，摆放的几何体的俯视图是（ ）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
9.（2013?营口）如图，下列水平放置的几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
10.如图是由6个相同的小正方体构成的几何体，其俯视图是（?? ）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
二、填空题
11.如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为________?cm2 ． （结果可保留根号）．
12.某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是________．
13.如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为________cm2 ．
14.长方体的主视图、俯视图如图，则其左视图面积为________?．
15.如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是________．
16.写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体?________．
17.某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是________
18.由一些大小相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需的小正方形的个数最少为________．
三、解答题
19.如图，是某个几何体的三视图， （1）请描述这个几何体的形状； （2）按三视图的图上的实际尺寸，画出它的表面展开图（按6：1比例缩小）； （3）若三视图的实际尺寸如图所示，求这个几何体的侧面积和表面积．
20.一个圆柱的轴截面平行于投影面，圆柱的正投影是邻边长分别为4cm，3cm的矩形，求圆柱的表面积和体积．
21.如图为一个几何体的三视图． （1）写出这个几何体的名称； （2）若俯视图中等边三角形的边长为4cm，主视图中大长方形的周长为28cm，求这个几何体的侧面积．
22.某工厂要加工一批茶叶罐，设计者给出了茶叶罐的三视图，如图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积．（单位：毫米）
23.一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图．
参考答案
一、选择题
1.B 2.B 3.B 4.B 5.C 6.A 7.A 8.B 9.B 10.D
二、填空题
11.360+7512. 5 13.4π 14.3 15. 7 16.球或正方体 17.5 18.4
三、解答题
19.解：（1）底面是上底为80，下底为140，高为30的等腰梯形，棱长为120的直四棱柱， （2）（如图所示） （3）S侧面积=2×60×120+80×120+140×120=40800（mm2） S表面积=S侧+2S底=40800+2×=40800+6600（mm2）．
20.解：∵一个圆柱的轴截面平行于投影面，圆柱的正投影是邻边长分别为4cm，3cm的矩形， ∴①当圆柱底面圆的半径为1.5cm，高为4cm， 则圆柱的表面积为：2π××4+2π（）2=12π+π=π（cm2）， 体积为：π（）2×4=9π（cm3）； ②当圆柱底面圆的半径为2cm，高为3cm 则圆柱的表面积为：2π×2×3+2π×22=12π+8π=20π（cm2）， 体积为：π×22×3=12π（cm3）．
21.解：（1）这个几何体是三棱柱； （2）28÷2﹣4 =14﹣4 =10（cm）， 10×4×3=120（cm2）． 故这个几何体的侧面积是120cm2 ．
22.解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径2R为100毫米， 高H为150毫米， ∵每个密封罐所需钢板的面积即为该圆柱体的表面积， ∴S表面积=2πR2+2πRH =2π×502+2π×50×150 =20000π（毫米2）． 答：制作每个密封罐所需钢板的面积为20000π毫米2 ．
23.解：如图所示：
第3章达标检测卷
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）小明在某天下午测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（ ）
A．6m，5m，4m B．4m，5m，6m C．4m，6m，5m D．5m，6m，4m
3．（4分）如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（4分）小杰从正面（图示“主视方向”）观察左边的热水瓶时，得到的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）由四个大小相同的长方体搭成的立体图形的左视图如图所示，则这个立体图形的搭法不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）图（1）表示一个正五棱柱形状的高大建筑物，图（2）是它的俯视图．小健站在地面观察该建筑物，当他在图（2）中的阴影部分所表示的区域活动时，能同时看到建筑物的三个侧面，图中∠MPN的度数为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
7．（4分）一个长方体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（ ）
A．66 B．48 C．48+36 D．57
8．（4分）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
9．（4分）墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1.6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD= ．
10．（4分）小亮在上午8时，9时30分，10时，12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为 ．
11．（4分）如图所示，电视台的摄像机1、2、3、4在不同位置拍摄了四幅画面，则：
A图象是 号摄像机所拍，
B图象是 号摄像机所拍，
C图象是 号摄像机所拍，
D图象是 号摄像机所拍．
12．（4分）下图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是 ?（把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上）?
13．（4分）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m=AC；③n=AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是 ．
﹙多填或错填的得0分，少填的酌情给分﹚．
14．（4分）观察下列由棱长为1小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见，…则第⑥个图中，看不见的小立方体有 个．
三、解答题（共44分）
15．（10分）按规定尺寸作出下面图形的三视图．
16．（10分）如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01，≈1.732，≈1.414）
17．（12分）如图是一个几何体的三视图．
（1）写出该几何体的名称，并根据所示数据计算这个几何体的表面积；
（2）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．
18．（12分）如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，注意看得到的棱画实线．
2．（4分）小明在某天下午测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（ ）
A．6m，5m，4m B．4m，5m，6m C．4m，6m，5m D．5m，6m，4m
【分析】下午时，太阳落下，旗杆的影子长度越来越长，由此可对各选项进行判断．
【解答】解：下午太阳落下，旗杆的影子长度越来越长，所以按时间顺序，学校旗杆的影子长度可能为4m、5m、6m．
故选B．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
3．（4分）如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得第一层有2个正方形，第二层有3个正方形，
共5个正方形，面积为5．
故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（4分）小杰从正面（图示“主视方向”）观察左边的热水瓶时，得到的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得到图形的左边是一个小矩形，右边是一个同心圆，故选C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．（4分）由四个大小相同的长方体搭成的立体图形的左视图如图所示，则这个立体图形的搭法不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可．
【解答】解：各选项中只有选项A从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为1，2．
故选A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是理解左视图的定义及掌握其应用．
6．（4分）图（1）表示一个正五棱柱形状的高大建筑物，图（2）是它的俯视图．小健站在地面观察该建筑物，当他在图（2）中的阴影部分所表示的区域活动时，能同时看到建筑物的三个侧面，图中∠MPN的度数为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【分析】根据正五边形的内角为108°，观察图形，利用三角形内角和为180°，和对顶角相等，可求出∠MPN的度数．
【解答】解：由题意我们可以得出，正五棱柱的俯视图中，正五边形的内角为=108°，那么∠MPN=180°﹣（180°﹣108°）×2=36°．
故选B．
【点评】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．本题的关键是弄清所求角与正五棱柱的俯视图的关系．
7．（4分）一个长方体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（ ）
A．66 B．48 C．48+36 D．57
【分析】根据三视图图形得出AC=BC=3，EC=4，即可求出这个长方体的表面积．
【解答】解：∵如图所示：
∴AB=3，
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=BC=3，
∴正方形ABCD面积为：3×3=9，
侧面积为：4AC×CE=3×4×4=48，
∴这个长方体的表面积为：48+9+9=66．
故选A．
【点评】此题主要考查了利用三视图求长方体的表面积，得出长方体各部分的边长是解决问题的关键．
8．（4分）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由俯视图易得此组合几何体有3层，三列，2行．找从左面看所得到的图形，应看俯视图有几行，每行上的小正方体最多有几个．
【解答】解：从左面看可得到2列正方形从左往右的个数依次为2，3，故选D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
二、填空题（每小题4分，共24分）
9．（4分）墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1.6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD= m ．
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程组，通过解方程组求出灯泡与地面的距离即可．
【解答】解：如图：
根据题意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m
∵BG∥AF∥CD
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD
∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD
设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m，则
即=，
解得：x=，
把x=代入=，
解得：y=，
∴CD=m．
故答案为：m．
【点评】考查了中心投影，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程组，通过解方程组求出灯泡与地面的距离．
10．（4分）小亮在上午8时，9时30分，10时，12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为 上午8时 ．
【分析】根据北半球不同时刻物体在太阳光下的影长是由长变短，再变长．故在上午影子最长的时刻为即最早的时刻：上午8时．
【解答】解：根据地理知识，北半球不同时刻太阳高度角不同影长也不同，规律是由长变短，再变长．故答案为上午8时．
【点评】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
11．（4分）如图所示，电视台的摄像机1、2、3、4在不同位置拍摄了四幅画面，则：
A图象是 2 号摄像机所拍，
B图象是 3 号摄像机所拍，
C图象是 4 号摄像机所拍，
D图象是 1 号摄像机所拍．
【分析】1号机正对壶柄，为D图形；
2号机看到的壶柄在右边，为A图形；
3号机的位置看不到壶柄，为B图形；
4号机看到的壶柄在左边，为C图形．
【解答】解：根据4个机器的不同位置可得到A图象是2号摄像机所拍，B图象是3号摄像机所拍，C图象是4号摄像机所拍，D图象是1号摄像机所拍．
【点评】解决本题的关键是抓住拍摄物体的一个特征得到位于不同位置所得到的不同图形．
12．（4分）下图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是 ①②④ ?（把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上）?
【分析】依次分析所给几何体从正面看及从左面看得到的图形是否与所给图形一致即可．
【解答】解：①主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；
②主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；
③主视图左往右2列正方形的个数均依次为1，2，不符合所给图形；
④主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形．
故答案为：①②④．
【点评】考查由视图判断几何体；用到的知识点为：主视图，左视图分别是从正面看及从左面看得到的图形．
13．（4分）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m=AC；③n=AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是 ①③④ ．
﹙多填或错填的得0分，少填的酌情给分﹚．
【分析】点光源固定，当线段AB旋转时，影长将随物高挡住光线的不同位置发生变化．
【解答】解：当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示当AB与光线BC垂直时，m最大，则m＞AC，①成立；
①成立，那么②不成立；
最小值为AB与底面重合，故n=AB，故③成立；
由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立．
【点评】本题动手操作根据物高与点光源的位置可很快得到答案．
14．（4分）观察下列由棱长为1小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见，…则第⑥个图中，看不见的小立方体有 125 个．
【分析】由题意可知，看不见的小正方体的个数=（序号数﹣1）×（序号数﹣1）×（序号数﹣1）．
【解答】解：n=1时，看不见的小立方体的个数为0个；
n=2时，看不见的小立方体的个数为（2﹣1）×（2﹣1）×（2﹣1）=1个；
n=3时，看不见的小立方体的个数为（3﹣1）×（3﹣1）×（3﹣1）=8个；
…
n=6时，看不见的小立方体的个数为（6﹣1）×（6﹣1）×（6﹣1）=125个．
故应填125个．
【点评】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
三、解答题（共44分）
15．（10分）按规定尺寸作出下面图形的三视图．
【分析】观察图形，可得此图形的主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图是圆环．
【解答】解：
（三个视图各（2），位置正确给（1），共（7）．）
【点评】此题主要考查三视图的画法，主要实线和虚线的表示．
16．（10分）如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01，≈1.732，≈1.414）
【分析】如下图所示，求甲楼投在乙楼上的影子的高度即需求线段CE的长，而要想求出CE，必须要有DE的值．DE现处在一个直角三角形BDE中，且∠DBE=30°，BD=AC=楼间距24米，所以解直角三角形即可．
【解答】解：延长MB交CD于E，连接BD．
由于AB=CD=30，
∴NB和BD在同一直线上，
∴∠DBE=∠MBN=30°，
∵四边形ACDB是矩形，
∴BD=AC=24，
在Rt△BED中tan30°=，
DE=BD?tan 30°=24×，
∴CE=30﹣8≈16.14，
∴投到乙楼影子高度是16.14m．
【点评】此题主要考查了我们对正切的理解和应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到解直角三角形中．
17．（12分）如图是一个几何体的三视图．
（1）写出该几何体的名称，并根据所示数据计算这个几何体的表面积；
（2）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．
【分析】（1）易得此几何体为圆锥，圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．
（2）将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AC．线段AC与BB'的交点为D，线段BD是最短路程
【解答】解：（1）名称：圆锥，
利用三视图可获取此几何体是圆锥，其底面直径是4，母线长为6，
展开后为侧面为扇形，扇形半径为6，弧长为4π，
∴侧面积为12π，
底面是圆，
∴面积为4π，
∴全面积为16π，
（2）如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BD为所求的最短路程．
设∠BAB′=n°．
∵，
∴n=120即∠BAB′=120°．
∵C为弧BB′中点，
∴∠ADB=90°，∠BAD=60°，
∴BD=AB?sin∠BAD=6×=3
∴最短距离：3．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维，圆锥表面积的计算公式．
18．（12分）如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是9.6 m．
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？
【分析】（1）依题意得到△APM∽△ABD，∴再由它可以求出AB；
（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F则BF即为此时他在路灯AC的影子长，容易知道△EBF∽△CAF，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．
【解答】解：（1）由对称性可知AP=BQ，设AP=BQ=x m
∵MP∥BD∴△APM∽△ABD
∴
∴
∴x=3
经检验x=3是原方程的根，并且符合题意．
∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）
答：两个路灯之间的距离为18米．
（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，
则BF即为此时他在路灯AC的影子长，
设BF=y m
∵BE∥AC
∴△EBF∽△CAF
∴，即
解得y=3.6，
经检验y=3.6是分式方程的解．
答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6米．
【点评】两个问题都主要利用了相似三角形的性质：对应边成比例．
4.1随机事件与可能性
一、选择题
1.掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A.?有5次正面朝上???????B.?不可能10次正面朝上???????C.?可能有5次正面朝上???????D.?不可能10次正面朝下
2.下列事件是必然事件的是（?? ）
A.?打开电视机正在播放广告??????????????????????????B.?投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次 C.?任意一个一元二次方程都有实数根???????????D.?在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°
3.在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是（ ）
A.?男、女生做代表的可能性一样大?????????????????????? B.?男生做代表的可能性较大 C.?女生做代表的可能性较大????????????????????????????????????D.?男、女生做代表的可能性的大小不能确定
4.下列事件中，必然事件是（?? ）
A.?掷一枚硬币，正面朝上???????????????????????????????????????B.?任意三条线段可以组成一个三角形 C.?明天太阳从西方升起???????????????????????????????????????????D.?抛出的篮球会下落
5.下列说法中，正确的是（?? ）
A.?投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次?????B.?随机事件发生的概率为0.5 C.?概率很小的时间不可能发生????????????????????????????????????????????????????????? D.?不可能事件发生的概率为0
6.有两个事件，事件A：掷一次骰子，向上的一面是3；事件B：篮球队员在罚球线上投篮一次，投中．则（?? ）
A.?只有事件A是随机事件???????????????????????????????????????? B.?只有事件B是随机事件 C.?事件A和B都是随机事件?????????????????????????????????????? D.?事件A和B都不是随机事件
7.2012﹣2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是（?? ）
A.?科比罚球投篮2次，一定全部命中???????????????????????B.?科比罚球投篮2次，不一定全部命中 C.?科比罚球投篮1次，命中的可能性较大????????????????D.?科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小
8.如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数小于7的可能性大小是（ ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?
9.一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A.?至少有1个球是黑球?????B.?至少有1个球是白球??????C.?至少有2个球是黑球??????D.?至少有2个球是白球
10.下列事件中，为必然事件的是（????）
A.?购买一张彩票中奖????????????????????????????????????????????? ?B.?打开电视机正在播放广告 C.?抛掷一枚硬币，正面向上????????????????????????????????????D.?a为实数，≥0
二、填空题
11.一个袋中装有10个红球、3个黄球，每个球只有颜色不同，现在任意摸出一个球，摸到________球的可能性较大．
12.袋子里装有5个红球、3个白球、1个黑球，每个球除颜色之外其余都相同，伸手进袋子里任摸一个球，则摸到________球可能性最小．
13.小明同学参加“献爱心”活动，买了2元一注的爱心福利彩票5注，则“小明中奖”的事件为?________事件（填“必然”或“不可能”或“随机”）．
14.某校八年级（1）班男生有24人，女生有26人，从中任选一人是男生的事件是________事件.
15. “一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是________．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）
16.玉树地震灾区小朋友卓玛从某地捐赠的2种不同款式的书包和2种不同款式的文具盒中，分别取一个书包和一个文具盒进行款式搭配，则不同搭配的可能有________?种．
17.下列事件：①打开电视机，它正在播广告；②从一只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰是白球；③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13；④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上，其中为随机事件的是________?（填序号）。
18.下列事例属于确定事件的是________（只填序号） ①下雨天不拿雨具走在雨中，衣服肯定被淋湿； ②教师明天上课时提问是你； ③下次体育课上，甲同学跳远成绩为1.60米； ④用直角三角板在纸上画出一个三角形，它的内角和等于180°
三、解答题
19.下面第一排表示十张扑克牌的不同情况，任意摸一张，请你将摸到红色扑克牌的可能性与对应的方框用线连起来．
20.掷一枚骰子1点朝上和4点朝上的可能性哪个大？
21.请在你的班里做一项有关师生关系的调查，分四个方面：①自由平等的师生关系②既注重师道尊严，又注重平等的师生关系③传统的尊师爱生的关系④不太协调的关系，请你统计出四个方面的人数，回答以下问题． ①列出表格，并作出相应的统计图． ②任取一名同学，他与老师之间的关系是自由平等的师生关系，是哪一种事件？可能性约为多少？
22.从一副扑克牌中任意抽取一张，（1）这张牌是“A”（2）这张牌是“红心的”（3）这张牌是“大王”（4）这张牌是“红色的”估计上述事件发生的可能性的大小，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．
23.大家看过中央电视台“购物街”节目吗？其中有一个游戏环节是大转轮比赛，转轮上平均分布着5、10、15、20一直到100共20个数字．选手依次转动转轮，每个人最多有两次机会．选手转动的数字之和最大不超过100者为胜出；若超过100则成绩无效，称为“爆掉”． （1）某选手第一次转到了数字5，再转第二次，则他两次数字之和为100的可能性有多大？ （2）现在某选手第一次转到了数字65，若再转第二次了则有可能“爆掉”，请你分析“爆掉”的可能性有多大？
参考答案
一、选择题
1.D 2.D 3.B 4.D 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.D
二、填空题
11.红 12.黑 13.随机 14.随机 15.不可能事件 16.4 17.①④ 18.①④
三、解答题
19.解：
20.解：出现的可能性相同，因为一枚均匀的骰子上只有一个“1”和“4”，所以出现的点数为1和4的机会相同．故答案为可能性一样大．
21.解：①表格为：
师生关系
①自由平等的师生关系
②既注重师道尊严
③传统的尊师爱生的关系
④不太协调的关系
人数
15
30
10
5
统计图为（直方图）： ②任取一名同学，他与老师之间的关系是自由平等的师生关系，是不确定事件； 可能性为?
22.解：从一副扑克牌中任意抽取一张，（1）这张牌是“A”的概率为 ；（2）这张牌是“红心”的概率为 ；（3）这张牌是“大王”的概率为 ；（4）这张牌是“红色的”的概率为 ， 故（3）＜（1）＜（2）＜（4）．
23.解：（1）由题意分析可得：要使他两次数字之和为100，则第二次必须转到95，因为总共有20个数字，所以他两次数字之和为100的可能性为； （2）由题意分析可得：转到数字35以上就会“爆掉”，共有13种情况，因为总共有20个数字， 所以“爆掉”的可能性为．
4.2概率及其计算
一、选择题
1.一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2.同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（???）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
3.如图，AB、CD是水平放置的轮盘（俯视图）上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
4.一个口袋中装有4个红球，3个绿球，2个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅均后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是（ ）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.??
5.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，先从中摸出一个小球，再从余下的球中摸出一个小球，第二次摸到小球的编号大于第一次编号的概率是（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
6.一个均匀的立方体骰子六个面上标有数1，2，3，4，5，6，若以连续掷两次骰子得到的数m,n作为点P的坐标，则点P落在反比例函数图象与坐标轴所围成区域内（含落在此反比例函数的图象上的点）的概率是（ ）
A.? ????????????????????????????????????B.? ????????????????????????????????????C.? ????????????????????????????????????D.?
7.桌面上放有6张卡片（卡片除正面的颜色不同外，其余均相同），其中卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色．现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是（ ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.??
8.某地气象局预报称：明天A地区降水概率为80%，这句话指的是（ ）
A.?明天A地区80%的时间都下雨??????????????????????????????B.?明天A地区的降雨量是同期的80% C.?明天A地区80%的地方都下雨??????????????????????????????D.?明天A地区下雨的可能性是80%
9.在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放加搅匀，再从袋中任意摸一个球，那么两次都摸到黄球的概率是（??? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.??
10.从1，2，3这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是奇数的概率是（ ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
11.如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为________．
12.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是________．
13.有两组卡片，第一组的三张卡片上分别写有数字3，4，5，第二组的三张卡片上分别写有数字1，3，5，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为正数的概率为________．
14.毛泽东在《沁园春?雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是________．
15.在1，π， ，2，﹣3.2这五个数中随机取出一个数，则取出的这个数大于2的概率是________．
16.在一个不透明的纸箱内放有除颜色外无其他差别的2个红球，8个黄球和10个白球，从中随机摸出一个球为黄球的概率是?________．
17.在如图所示的电路中，随机闭合开关S1 ， S2 ， S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是________．
18.在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则n=________．
三、解答题
19.已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片. （1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果； （2）求抽出的两张卡片数字积恰好为1的概率．
20.中考报名前各校初三学生都要进行体检，某次中考体验设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处进行中考体检，请用表格或树状图分析： （1）求甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的概率； （2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率．
21.中央电视台“幸运 52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）．某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是多少？
22.在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，， +6．（卡片除了实数不同外，其余均相同） （1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率； （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次恰好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．
23.某商场举办购物有奖活动，在商场购满价值50元的商品可抽奖一次，丽丽在商场购物共花费120元，按规定抽了两张奖券，结果其中一张中了奖，能不能说商场的抽奖活动中奖率为50%？为什么？
24.在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案． 甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明； （2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）
参考答案
一、选择题
1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D 9.C 10.A
二、填空题
11.12.13. 14.15.16.17.18.1
三、解答题
19.解：（1）画树状图得： 所有可能的结果为（，1）（，3）（，2）（，1）（，3）（，2）（1，1）（1，3）（1，2）共9种结果； （2）由（1）知积为1的有2种，所以抽出的两张卡片数字积恰好为1的概率为.
20.解：（1）画树状图为： ? 共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的结果数为2， 所以甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的概率==； （2）甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的结果数为4， 所以甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率==．
21.解：∵20个商标中2个已翻出，还剩18张，18张中还有3张有奖的， ∴第三次翻牌获奖的概率是：?
22.解：（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，+6 ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是3的概率是：； （2）画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况， ∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为：=．
23.解：不能． 因为中奖是随机事件，而计算中奖率应该是以中奖的奖券数除以奖券的总数．
24.解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下： 列表法，
?????? 小明 小刚
?2
?3
?4
?5
?2
?（2，3）
?（2，4）
?（2，5）
?3
?（3，2）
?（3，4）
?（3，5）
?4
?（4，2）
?（4，3）
?（4，5）
?5
?（5，2）
?（5，3）
?（5，4）
所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平； （2）不公平．理由如下：
?????? 小明 小刚
?2
?3
?4
?2
?（2，3）
?（2，4）
?3
?（3，2）
?（3，4）
?4
?（4，2）
?（4，3）
所有可能出现的结果共有6种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：4种，故小明获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平．
4.3用频率估计概率
一、选择题
1.2015年4月30日，苏州吴江蚕种全部发放完毕，共计发放蚕种6460张（每张上的蚕卵有200粒左右），涉及6个镇，各镇随即开始孵化蚕种，小李所记录的蚕种孵化情况如表所示，则可以估计蚕种孵化成功的概率为（ ）
累计蚕种孵化总数/粒
200
400
600
800
1000
1200
1400
孵化成功数/粒
181
362
541
718
905
1077
1263
A.?0.95??????????????????????????????????????B.?0.9???????????????????????????????????????C.?0.85??????????????????????????????????????D.?0.8
2.小明在一只装有红色和白色球各一只的口袋中摸出一只球，然后放回搅匀再摸出一只球，反复多次实验后，发现某种“状况”出现的机会约为50%，则这种状况可能是（ ）
A.?两次摸到红色球?????????????????????????????????????????????????? B.?两次摸到白色球 C.?两次摸到不同颜色的球????????????????????????????????????? ??D.?先摸到红色球，后摸到白色球
3.下列模拟掷硬币的实验不正确的是（????）
A.?抛掷一个矿泉水瓶盖，掷得盖面朝上相当硬币正面朝上，掷得盖面朝下相当于硬币正面朝下。 B.?在袋中有两个除颜色外完全一样小球，一个红色一个白色，随机地摸，摸出红色表示硬币正面朝上，摸出白色表示硬币正面朝下。 C.?在没有大小王的同一副扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上，否则表示硬币正面朝下。 D.?抛掷一枚均匀的正方体骰子，掷得奇数相当硬币正面朝上，掷得偶数相当于硬币正面朝下。
4.某林业部门要查某种幼树在一定条件的移植成活率．在同样条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率．如下表：
移植总数（n）
成活数（m）
成活的频率（）
10
8
0.80
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.89
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
9000
8073
0.897
14000
12628
0.902
所以可以估计这种幼树移植成活的概率为（ ）
A.?0.1???????????????????????????????????????B.?0.2???????????????????????????????????????C.?0.8???????????????????????????????????????D.?0.9
5.在一个袋子中装有4个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复上述过程．一共摸了40次，其中有10次摸到黑球，则估计袋子中白球的个数大约是（ ）
A.?12?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?30
6.在一个不透明的布袋中，红色、黑色的球共有10个，它们除颜色外其他完全相同．张宏通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在20%附近，则口袋中红球的个数很可能是（ ）
A.?2个??????????????????????????????????????B.?5个??????????????????????????????????????C.?8个??????????????????????????????????????D.?10个
7.在一个不透明的袋子中装有2个白球和若干个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该实验多次，发现摸到白球的频率稳定在0.4，由此可判断袋子中黑球的个数为（ ）
A.?2个??????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?4个???????????????????????????????????????D.?5个
8.下列模拟掷硬币的实验不正确的是（ ）
A.?抛掷一个矿泉水瓶盖，掷得盖面朝上相当硬币正面朝上，掷得盖面朝下相当于硬币正面朝下 B.?在袋中有两个除颜色外完全一样小球，一个红色一个白色，随机地摸，摸出红色表示硬币正面朝上，摸出白色表示硬币正面朝下 C.?在没有大小王的同一副扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上，否则表示硬币正面朝下 D.?抛掷一枚均匀的正方体骰子，掷得奇数相当硬币正面朝上，掷得偶数相当于硬币正面朝下
9.在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在， 因此可以估算出m的值大约是（ ）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?20
10.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）个．
A.?12?????????????????????????????????????????B.?24?????????????????????????????????????????C.?36?????????????????????????????????????????D.?48
二、填空题
11.在1个不透明的口袋里装了2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀．据此，请你设计一个摸球的随机事件：________?
12.某口袋中有10个红球、8个黄球和若干个白球，将它们充分摇匀后从中摸出一球，小明通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中大约有________?个白球．
13.小明在做掷一枚普通的正方体骰子实验，请写出这个实验中一个可能发生的事件：________?
14.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他安全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在0.15左右，则口袋中红色球可能有________个． ?15.用6个相同的小方块搭成一个几何体,要求它的俯视图如图1所示. 那么一次搭成左视图恰好如图2的概率是________.
16.某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有________个．
17.在一个不透明的口袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外其它完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在40%附近，则口袋中白球可能有________?个．
18.在一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%．那么估计a大约有________?个．
三、解答题
19.某彩民在上期的体彩中，一次买了100注，结果有一注中了二等奖，三注中了四等奖，该彩民高兴地说：“这期彩票的中奖率真高，竟高达4%”．请对这一事件做简单的评述．
20.某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n
100
200
400
500
800
1000
落在“可乐”区域的次数m
60
122
240
298
604
落在“可乐”区域的频率
0.6
0.61
0.6
0.59
0.604
（1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1） （2）请估计当n很大时，频率将会接近 ？ ， 假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是 ？ ；（结果全部精确到0.1） （3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ ?
21.你还记得什么是频数、什么叫频率、什么叫概率吗？请举例说明．
22.通常，选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．现有20道选择题，小明认为只要在每道题中任选1个选择支，其中必有5题的选择结果是正确的．你认为小明的推断正确吗？说说你的理由．
23.小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率． （2）小颖说：“根据实验得出，出现5点朝上的机会最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4. D 5.A 6.A 7.B 8.A 9.D 10.B
二、填空题
11.从中任意摸出一个球是红球 12.12
13.正面朝上的数字为3（答案不唯一） 14.6 15.16.18 17.12 18.12
三、解答题
19.解：该彩民的说法错误．他只购买了1次彩票就断定中奖率为4%，由于实验次数不是足够大，因此频率与机会就可能不完全相符，只有当实验次数足够大（即他买彩票的次数足够多时），才能说明频率值接近概率．
20.解：（1）298÷500≈0.6；0.59×800=472； （2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是0.6； （3）（1﹣0.6）×360°=144°， 所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是144°． 故答案为0.6，0.6．
21.解：频数：多次重复实验中，某一事件发生的次数叫频数． 频率：多次实验中，某一事件发生的频数与实验总次数的比值叫该事件在这组实验中发生的频率． 概率：某一事件发生的可能程度．
22.解：小明的推断是不正确的，因为20题的题量较小，只有当题量很大时，在每道选择题中任选1个选择支，其选择结果正确的频率才能在常数0.25附近摆动，由此才可以估计其选择的结果正确的概率为0.25．
23.解：（1）3点朝上的频率为=； 5点朝上的频率为=； （2）小颖和小红说法都错，因为实验是随机的，不能反映事物的概率．
第4章达标检测卷
(150分，90分钟)
题 号
一
二
三
总 分
得 分
二、选择题(每题4分，共40分)
1．下列说法中正确的是( )
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“概率为0.000 1的事件”是不可能事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，出现正面向上的次数一定是5次
2．某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是( )
A．买1张这种彩票一定不会中奖
B．买1张这种彩票一定会中奖
C．买100张这种彩票一定会中奖
D．当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%
3．有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形．投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是( )
A．1 B. C. D.
4. 用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是( )
A. B. C. D.
(第4题)
(第5题)
5．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和点B，在余下的7个格点中任取1个点C，使△ABC为直角三角形的概率是( )
A. B. C. D.
6．一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有8个，黄、白色小球的数目相同．为估计袋中黄色小球的数目，每次将袋中的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色，然后把它放回布袋中，摇匀后再随机摸出一个小球，记下颜色，…，多次试验发现摸到红色小球的频率稳定于，则估计袋中黄色小球的数目是( )
A．2个 B．20个 C．40个 D．48个
7. 从2，－1，－2三个数中任意选取一个作为直线y＝kx＋1中的k值，则所得的直线不经过第三象限的概率是( )
A. B. C. D．1
8. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复上述过程，共摸球396次，其中88次摸到黑球，估计盒中有白球( )
A．28个 B．30个 C．36个 D．42个
9．一纸箱内有红、黄、蓝、绿四种颜色的纸牌，如图为各颜色纸牌数量的统计图．若小华从箱内抽出一张牌，且每张牌被抽出的机会相等，则他抽出红色牌或黄色牌的概率为( )
A. B. C. D.
(第9题)
(第10题)
10．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正方体骰子一次，向上的面点数是4
二、填空题(每题5分，共20分)
11．在一个不透明的纸箱内放有除颜色外无其他差别的2个红球，8个黄球和10个白球，从中随机摸出一个球为黄球的概率是________．
12．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数
100
1 000
5 000
10 000
50 000
100 000
摸出黑球次数
46
487
2 506
5 008
24 996
50 007
根据列表，可以估计出n的值是________．
13．哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，记下数字，计算抽得的两个数字之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜．该游戏________．(填“公平”或“不公平”)
14．从－3，－2，－1，0，4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既是不等式组的解，又在函数y＝的自变量取值范围内的概率是________．
三、解答题(19题9分，15、16、21题每题10分，其余每题17分，共90分)
15．掷两个普通的正方体骰子，把两个骰子的点数相加，请问：下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？并说明原因．
(1)和为1；(2)和为4；(3)和为12；(4)和小于14.
16．如图是一个转盘，转盘被等分成8个扇形，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向边界线时，当作指向右边的扇形)．求下列事件的概率：
(第16题)
(1)指针指向红色；
(2)指针指向黄色或绿色．
17．某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．
(1)求取出纸币的总额是30元的概率；
(2)求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．
18．A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B，C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的接球者将球随机地传给其他两人中的某一人．
(1)求两次传球后，球恰在B手中的概率；
(2)求三次传球后，球恰在A手中的概率．
19．如图所示，有A，B两个大小均匀的转盘，其中A转盘被分成3等份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上数．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数记作一次函数表达式中的k，将B转盘指针指向的数记作一次函数表达式中的b.
(1)请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；
(2)求一次函数y＝kx＋b的图象经过一、二、四象限的概率．
(第19题)
20．在一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除所标数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这两个小球上的数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
出现“和为7”的次数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
出现“和为7”的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
(2)根据(1)，若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．
21．2015年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试．为了了解该校九年级(1)班学生的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制出以下不完整的频数分布表和扇形统计图(如图)．请根据图表中的信息解答下列问题：
分组
分数段/分
频数
A
36≤x<41
2
B
41≤x<46
5
C
46≤x<51
15
D
51≤x<56
m
E
56≤x<61
10
(第21题)
(1)求全班学生人数和m的值；
(2)直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段；
(3)该班中考体育成绩满分(60分)共有3人，其中男生2人，女生1人．现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流．请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好选到一男一女的概率．
答案
一、1. B 2.D 3.D 4.D
(第5题)
5．D 点拨：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和点B组成直角三角形，所以P(使 △ABC为直角三角形)＝.故选D.
6．B 点拨：根据频率估计概率的知识，即可求得布袋中小球的总数，从而可求得布袋中黄色小球的数目．
7．C 点拨：因为y＝kx＋1，所以当直线不经过第三象限时，k＜0，一共有3个数，其中小于0的数有2个，容易得出所求的概率为 .故选C.
8．A 点拨：共摸球396次，其中88次摸到黑球，那么有308次摸到白球，由此可知：摸到黑球与摸到白球的次数之比为88∶308；已知有8个黑球，那么根据频率估计概率的知识，即可求出白球数量．故选A.
9．B 点拨：根据统计图求出纸牌的总张数及红色牌和黄色牌的总张数，利用概率公式进行计算即可．故选B.
10．D 点拨：A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故A选项错误；B.将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是＝，故B选项错误；C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项错误；D.掷一个质地均匀的正方体骰子，向上的面点数是4的概率为≈0.17，故D选项正确．
二、11. 12.10
13．不公平 点拨：本题考查概率的计算．P(和为奇数)＝，P(和为偶数)＝，因为P(和为奇数)＜P(和为偶数)，所以哥哥胜的概率较大，所以该游戏不公平．
14. 点拨：不等式组的解为－＜x＜，要使函数y＝有意义，则分母2x2＋2x≠0，解得x≠0且x≠－1.在所给的五个数－3，－2，－1，0，4中，－3与－2既满足－＜x＜，又满足x≠0且x≠－1，故所求概率为.
三、15.解：(1)最小的和为2，所以是不可能事件；(2)和可能为2到12之间的任意一个整数，所以是随机事件；(3)和可能为2到12之间的任意一个整数，所以是随机事件；(4)和最大为12，所以是必然事件．
16．解：按颜色把8个扇形分为红1、红2、绿1、绿2、绿3、黄1、黄2、黄3，所有等可能的结果有8种．
(1)指针指向红色的结果有2种，∴P(指针指向红色)＝＝；
(2)指针指向黄色或绿色的结果有3＋3＝6(种)，
∴P(指针指向黄色或绿色)＝＝.
17．解：某人从钱包内随机取出2张纸币，可能出现的结果有3种，即10元与20元，10元与50元，20元与50元，并且它们出现的可能性相等．
(1)取出纸币的总额是30元(记为事件A)的结果有1种，即10元与20元，所以P(A)＝.
(2)取出纸币的总额可购买一件51元的商品(记为事件B)的结果有2种，即10元与50元，20元与50元，所以P(B)＝.
18．解：(1)两次传球的所有结果有4种，分别是A→B→C，A→B→A，A→C→B，A→C→A，每种结果发生的可能性相等，两次传球后，球恰在B手中的结果只有一种，所以两次传球后，球恰在B手中的概率是.
(2)由树状图(如图)可知三次传球的所有结果有8种，每种结果发生的可能性相等．
(第18题)
其中，三次传球后，球恰在A手中的结果有A→B→C→A，A→C→B→A这2种，所以三次传球后，球恰在A手中的概率是＝.
19．解：(1)列表如下：
k
b
－1
－2
3
－1
(－1，－1)
(－2，－1)
(3，－1)
－2
(－1，－2)
(－2，－2)
(3，－2)
3
(－1，3)
(－2，3)
(3，3)
4
(－1，4)
(－2，4)
(3，4)
(2)由表格可知，所有等可能的情况有12种．一次函数y＝kx＋b的图象经过一、二、四象限时，k＜0，b＞0，有4种情况，则P(一次函数y＝kx＋b的图象经过一、二、四象限)＝＝.
20．解：(1)利用频率估计概率可知，估计出现“和为7”的概率是.
(2)列表如下：
乙和甲
2
3
4
x
2
——
5
6
2＋x
3
5
——
7
3＋x
4
6
7
——
4＋x
x
2＋x
3＋x
4＋x
——
由表格可知一共有12种等可能的结果，由(1)知，估计出现“和为7”的概率为，∴“和为7”的结果有×12＝4(种)．若2＋x＝7，则x＝5，此时P(和为7)＝，符合题意；若3＋x＝7，则x＝4，不符合题意；若4＋x＝7，则x＝3，不符合题意．∴x＝5.
21．解：(1)全班学生人数：15÷30%＝50(人)，m＝50－2－5－15－10＝18.(2)51≤x<56.
(3)画树状图如图：
(第21题)
或列表如下：
男1
男2
女
男1
男2男1
女男1
男2
男1男2
女男2
女
男1女
男2女
由树状图或表格可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等， “一男一女”的结果有4种，即男1女，男2女，女男1，女男2，
∴P(一男一女)＝＝.
