第二章
2.3 幂函数
课时分层训练
1．下列函数中，是幂函数的为( )
A．y＝－x B．y＝3x2
C．y＝ D．y＝2x
解析：选C A是y＝－1×x；B是y＝3×x2；D是指数函数，故A、B、D都不是幂函数，只有C：y＝＝x－1符合幂函数的定义．
2．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(25)的值为( )
A．5 B．
C．25 D．
解析：选B 设f(x)＝xα，则9α＝，解得α＝－，
∴f(x)＝x－，
∴f(25)＝25－＝.
3．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
解析：选B 令x＝2，
则22>2>2－>2－2.
故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为2，，－，－2.故选B.
4．函数y＝x－2在区间上的最大值是( )
A. B．
C．4 D．－4
解析：选C ∵y＝x－2在上单调递减，
∴x＝时，取得最大值为4.
5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图象不过原点，则m的取值范围是( )
A．1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
解析：选B 由题意得
得m＝1或m＝2.
6．若幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3在(0，＋∞)上为减函数，则m的值为________．
解析：依题意得
解得m＝2.
答案：2
7．若幂函数y＝xα(α∈R)的图象在0
解析：由幂函数的图象和性质，当α小于1时符合题意．
∴α<1.
答案：α<1
8．函数y＝(m－1)xm2－m为幂函数，则函数为________(填序号)．
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．
解析：由题意得m－1＝1，∴m＝2，
∴y＝x2，为偶函数，但在(－∞，＋∞)上不具有单调性．
答案：②
9．比较下列各组数的大小：
(1)1.10.1,1.20.1；
(2)0.24－0.2,0.25－0.2；
(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
解：(1)由于函数y＝x0.1在第一象限内单调递增，
又因为1.1<1.2，所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于函数y＝x－0.2在第一象限内单调递减，
又因为0.24<0.25，所以0.24－0.2>0.25－0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小，由于函数y＝x0.3在第一象限内单调递增，而0.2<0.3，所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小，由于函数y＝0.3x在定义域内单调递减，而0.2<0.3，所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
10．讨论函数y＝x的定义域、奇偶性，作出它的草图，并根据图象，说明函数的单调性．
解：y＝x＝，∴x∈R.
令y＝f(x)，
对?x∈R有f(－x)＝＝f(x)，
∴函数y＝x是偶函数，图象关于y轴对称．
下面作出y＝x的图象．
∵0易知y＝x在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为减函数．
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D；又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.
2．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则( )
A．m>n B．mC．m＝n D．m与n的大小不确定
解析：选B 设f(x)＝x－1，已知a≠0，
则a2＋3>3>0，
f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则f(a2＋3)即(a2＋3)－1<3－1，
故m3．当0A．h(x)C．g(x)解析：选D 特值法．取x＝代入排除A、B、C，可知D正确．故选D.
4．设x>y>1,0A．x－a>y－a B．axC．axlogay
解析：选C 结合题意，x>y>1,0y－a不成立，应该是x－ay，则同时乘以a，不等号方向不变，故错误；对于C，由于底数大于零且小于1，由指数函数的性质可知成立；对于D，由对数函数的单调性可知不成立．
5．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
解析：因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.
答案：α<0
6．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则幂函数f(x)的解析式为________．
解析：由f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3是幂函数可得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3；当m＝－1时，f(x)＝x－3，由于当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，故f(x)＝x3.
答案：f(x)＝x3
7．若(a＋1)－<(3－2a) －，则a的取值范围为________．
解析：(a＋1) －<(3－2a) －?<，函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，
所以
解得故a的取值范围为.
答案：
8．已知幂函数f(x)＝xa，一次函数g(x)＝2x＋b，且函数f(x)·g(x)的图象过点(1,2)，函数的图象过点(，1)，若函数h(x)＝[f(x)]·－.
(1)证明函数h(x)为幂函数；
(2)判断函数h(x)的奇偶性．
解：(1)证明：函数f(x)·g(x)＝xa(2x＋b)过点(1,2)，则有1a(2×1＋b)＝2，得b＝0.
函数＝＝xa－1的图象过点(，1)，
则·()a－1＝1，即()a－1＝()2，得a＝3.
所以h(x)＝[f(x)]·－
＝(x3) ·－＝x，显然函数h(x)的解析式满足幂函数y＝xα(α是常数)的概念，所以函数h(x)为幂函数．
(2)由(1)知h(x)＝x，它的定义域为R，关于原点对称，又 h(－x)＝(－x)＝x＝h(x)，故h(x)为偶函数．
课件50张PPT。2.3 幂函数登高揽胜 拓界展怀1 课前自主学习√ × × √ × 剖析题型 总结归纳2 课堂互动探究知识归纳 自我测评3 堂内归纳提升word部分： 请做： 4 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块