第三章
3.1 3.1.1 方程的根与函数的零点
课时分层训练
1．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f(x)
3.4
2.6
－3.7
则函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(－∞，1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3，＋∞)
解析：选C 若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0则f(x)在(a，b)上一定存在零点．因为f(2)>0，f(3)<0，所以f(x)在(2,3)上一定存在零点．
2．函数f(x)＝ax＋8的零点为4，则实数a的值为( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选B 由题意得4a＋8＝0，即a＝－2.
3．函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选C f(2)＝22－1＋2－5<0，f(3)＝23－1＋3－5>0，故f(2)·f(3)<0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．
4．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 由得x＝0，
由得x＝，
∴函数f(x)的零点的个数为3.
5．函数f(x)＝2x·|log0.5x|－1的零点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由2x·|log0.5x|－1＝0得|log0.5x|＝x.
在同一坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝x的图象，如图所示，
由图可知两个函数的图象有两个交点，∴f(x)有2个零点．
6．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：由得
所以g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－，－.
答案：－，－
7．已知函数f(x)＝lg x＋x－10的零点在区间(k，k＋1)上，k∈Z，则k＝________.
解析：由题意知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数．
且f(9)＝lg 9＋9－10＝lg 9－1<0，
f(10)＝lg 10＋10－10＝1>0，
即f(9)f(10)<0，
所以函数f(x)在(9,10)内存在唯一的零点，
因为函数f(x)＝lg x＋x－10的零点在区间(k，k＋1)上，k∈Z，所以k＝9.
答案：9
8．已知函数f(x)＝3mx－4，若在区间[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)在[－2,0]上存在零点x0使f(x0)＝0，且f(x)单调，所以f(－2)·f(0)≤0，所以(－6m－4)×(－4)≤0，解得m≤－.所以，实数m的取值范围是.
答案：
9．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝2x＋b；
(2)f(x)＝－x2＋2x＋3；
(3)f(x)＝log3(x＋2)；
(4)f(x)＝2x－2.
解：(1)令2x＋b＝0，解得x＝－，即函数f(x)＝2x＋b的零点是x＝－.
(2)令－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或x＝3，即函数f(x)＝－x2＋2x＋3的零点是x1＝－1，x2＝3.
(3)令log3(x＋2)＝0，解得x＝－1，即函数f(x)＝log3(x＋2)的零点是x＝－1.
(4)令2x－2＝0，解得x＝1，即函数f(x)＝2x－2的零点是x＝1.
10．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
解：(1)由题意得
解得2≤a＜.
(2)由题意得f(1)＝5－2a＜0，
解得a＞.
(3)由题意知
解得＜a＜.
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则该函数的零点个数是( )
A．1 B．2
C．0 D．无法确定
解析：选B 因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以该函数有两个零点，故选B.
2．若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选C 构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，所以ex＋x＝2的解在区间(0,1)上．
3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
解析：选C 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1,2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾，故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点．
4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C 由题意可得f(1)f(2)＝(0－a)(3－a)<0，
解得0
5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上，函数f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
答案：3 0
6．已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：分a>1与0由图知，当a>1时，两个函数的图象有两个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
7．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示．
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a答案：a8．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．
(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解：(1)作出g(x)＝x＋(x>0)的图象如图：
可知若g(x)＝m有零点，则有m≥2e.
故m的取值范围为{m|m≥2e}．
(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．在同一平面直角坐标系中，作出g(x)＝x＋(x>0)和f(x)的图象，如图．
因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
其图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，
即m＞－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个不同的交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，
所以m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1.
课件52张PPT。3．1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点登高揽胜 拓界展怀1 课前自主学习f(x)＝0 × × √ × 连续不断 f(a)·f(b)<0 f(c)＝0 × × √ × × 剖析题型 总结归纳2 课堂互动探究知识归纳 自我测评3 堂内归纳提升word部分： 请做： 4 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块