第三章
3.1 3.1.2 用二分法求方程的近似解
课时分层训练
1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝ln x＋2x－6
C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝2x－1
解析：选C f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，零点是1，它的左、右两侧函数值同号．
2．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
解析：选C 观察图象知，x3附近两边的函数值都是负值，因此不能用二分法求．
3．根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是( )
f(1)＝－1
f(2)＝3
f(1.5)＝－0.125
f(1.75)＝1.109 375
f(1.625)＝0.416 015 62
f(1.562 5)＝0.127 197 26
A.1.75 B．1.625
C．1.612 5 D．1.56
解析：选D ∵f(1.5)·f(1.562 5)<0，且|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，∴函数f(x)在(1,2)上零点可以是(1.5,1.562 5)上的任何一个值，故选D.
4．设函数y＝x2与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B 令f(x)＝x2－x－2，则f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，∴f(x)的零点在区间(1,2)内，即函数y＝x2与y＝x－2的图象交点的横坐标x0∈(1,2)．
5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
解析：选B ∵f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，
∴f(1.25)·f(1.5)<0，
∴方程的根落在区间(1.25,1.5)内．
6．根据表格中的数据，可以断定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是________．
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
答案：(1,2)
7．若方程3x＋m＝0的根在(－1,0)内，则m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝3x＋m，由题意得
f(0)·f(－1)<0，
∴m(m－3)<0，得0答案：(0,3)
8．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(3)<0，则此时零点x0∈________.(填区间)
解析：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，∴x0∈(2,3)．
答案：(2,3)
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，
所以f(0)·f(2)<0，
由函数的零点存在性定理可得方程
f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．
(2)取x1＝(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，
由此可得f(1)·f(2)<0，下一个有解区间为(1,2)．
再取x2＝(1＋2)＝，得f＝－<0，
所以f(1)·f<0，下一个有解区间为.
再取x3＝＝，
得f＝>0，所以f·f<0，下一个有解区间为.
综上所述，得所求的实数解x0在区间内．
10．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
解：
如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；
再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；
再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m之间，即可迅速找到故障所在．
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值(精确到0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，关于下一步的说法正确的是( )
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.312 5)
解析：选C 由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间(1.375,1.5)，没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)．故选C.
2．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1]
C. D．
解析：选D 因为第一次所取的区间是[－2,4]，
所以第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，
所以第三次所取的区间可能为，，，.
3．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0,1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 开区间(0,1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以<0.01，
又n∈N*，所以n≥7，且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.
4．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过( )
A. B．
C．ε D．2ε
解析：选B 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝<，因此误差最大不超过.
5．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，
所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，
所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.
答案：a2＝4b
6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
－1.6
－1.4
－1.2
－1
－0.8
y＝2x
0.329 9
0.378 9
0.435 3
0.5
0.574 3
y＝x2
2.56
1.96
1.44
1
0.64
x
－0.6
－0.4
－0.2
0
…
y＝2x
0.659 8
0.757 9
0.870 6
1
…
y＝x2
0.36
0.16
0.04
0
…
若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值)，则a的值为________．
解析：令f(x)＝2x－x2，
由表中的数据可得f(－1)<0，
f(－0.6)>0；f(－0.8)<0，f(－0.4)>0，
所以根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内，
所以a＝－1或a＝－0.8.
答案：－1或－0.8
7．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________________．
解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．
答案：1.5,1.75,1.875,1.812 5
8．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．
解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数f(x)在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解.
(a，b)
(a，b) 的中点
f(a)
f(b)
f
(1,2)
1.5
f(1)<0
f(2)>0
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1)<0
f(1.5)>0
f(1.25)>0
(1,1.25)
1.125
f(1)<0
f(1.25)>0
f(1.125)<0
(1.125,1.25)
1.187 5
f(1.125)<0
f(1.25)>0
f(1.187 5)<0
因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.
课件41张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近似解登高揽胜 拓界展怀1 课前自主学习f(a)·f(b)<0 一分为二 零点 零点近似值 × × 剖析题型 总结归纳2 课堂互动探究知识归纳 自我测评3 堂内归纳提升word部分： 请做： 4 课时分层训练
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