第三章
3.2 3.2.1 几类不同增长的函数模型
课时分层训练
1．如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )
A. B．
C.－1 D．－1
解析：选D 设月平均增长率为x,1月份的产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，故x＝－1.
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知ax＝a(1＋0.104)y，即y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．
3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200双 B．400双
C．600双 D．800双
解析：选D 要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，
即10x－(5x＋4 000)≥0，解得x≥800.
4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x
C．x>2x>lg x D．lg x>x>2x
解析：选A 结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x>lg x.
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
6．若a>1，n>0，则当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是______________．
解析：由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有logax
答案：logax7．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．
解析：因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5 min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．
答案：②④
8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________．
解析：由
得所以y＝－2×0.5x＋2，
所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75万件
9．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解：
函数f(x)与g(x)的图象如图所示：
根据图象易得：
当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x＞4时，f(x)＜g(x)．
10．某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每支0.5元，该店推出两种优惠办法：
(1)买一本软皮本赠送一支铅笔；
(2)按总价的92%付款．
现要买软皮本4本，铅笔若干支(不少于4支)，若购买x支铅笔，付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？
解：由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为y＝2×4＋0.5(x－4)＝0.5x＋6(x≥4，且x∈N)．
由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为y＝(0.5x＋2×4)×92%＝0.46x＋7.36(x≥4，且x∈N)．
令0.5x＋6＝0.46x＋7.36，解得x＝34，且当4≤x＜34时，0.5x＋6＜0.46x＋7.36，当x>34时，0.5x＋6>0.46x＋7.36.即当购买铅笔少于34支(不少于4支)时，用优惠办法(1)合算；当购买铅笔多于34支时，用优惠办法(2)合算；当购买铅笔34支时，两种优惠办法支付的总钱数是相同的，即一样合算．
1．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比．若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安 B．240安
C．75安 D．135安
解析：选D 设比例系数为k，则电流强度I＝kr3，由已知可得当r＝4时，I＝320，故有320＝43k，解得k＝＝5，所以I＝5r3，则当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．
2．有一组实验数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
解析：选C 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而选项A，D中的函数增长速度越来越慢，而选项B中的函数增长速度保持不变，故选C.
3．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等．
其中正确的是( )
A．①③ B．①②
C．②③④ D．①②④
解析：选B 由题意知图象单调递增，底数大于1，又过点(2,4)，故①对；令t＝5，得y＝25＝32>30，故②对；若浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过的时间是1.5个月，则有12＝23.5，因为23.5＝8≠12，故③错；由指数函数模型的图象上升特征，可知④错．
4．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化先越来越慢，后越来越快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
答案：(4) (1) (3) (2)
5．某品牌汽车的月产量y(万辆)与月份x(3＜x≤12且x∈N)满足函数关系式y＝a·x－3＋b，现已知该品牌汽车今年4月，5月的产量分别是1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车7月的产量为________万辆．
解析：依题意有解得a＝－2，b＝2，∴y＝－2·x－3＋2，当x＝7时，y＝－2×4＋2＝1.875.
答案：1.875
6．如图所示，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2 m，边坡的倾角为45°，水深h m，则横截面中有水面积A m2与水深h m的函数关系为________________．
解析：关键是求梯形上底．由已知得梯形上底为2＋2h，所以A＝[2＋(2＋2h)]h＝h2＋2h(h>0)．
答案：A＝h2＋2h(h>0)
7．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：
①当x＞1时，甲走在最前面；
②当x＞1时，乙走在最前面；
③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不正确)．
解析：作出fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，
由图象知，③④⑤正确．
答案：③④⑤
8．某企业常年生产一种出口产品，由于技术革新后，该产品的产量平稳增长．记2012年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：
f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数)；
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2019年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量．
解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，
若模型为f(x)＝2x＋a，
则由f(1)＝21＋a＝4，
得a＝2，
即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f(x)＝logx＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合．
由已知得
解得
所以f(x)＝1.5x＋2.5，x∈N*.
(2)2019年预计年产量为f(8)＝1.5×8＋2.5＝14.5，
2019年实际年产量为14.5×(1－30%)＝10.15(万件)．
课件42张PPT。3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型登高揽胜 拓界展怀1 课前自主学习增函数 增函数 y轴 x轴 越来越快 越来越慢 × × 剖析题型 总结归纳2 课堂互动探究知识归纳 自我测评3 堂内归纳提升word部分： 请做： 4 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块